הצגת המקור של הדף "מרחב עקום"

'''מרחב עקום''' מתייחס לרוב [[מרחב תלת-ממדי|לגאומטריה מרחבית]] שאינה "שטוחה". מרחב שטוח הוא מרחב בעל [[עקמומיות]] אפס, כפי שמתואר ב[[גאומטריה אוקלידית]].<ref>{{Cite web|title=The Feynman Lectures on Physics Vol. II Ch. 42: Curved Space|url=https://www.feynmanlectures.caltech.edu/II_42.html#:~:text=In%20general,%20a%20two-dimensional,of%20discrepancy%20or%20the%20other.|access-date=2024-01-18|website=www.feynmanlectures.caltech.edu}}</ref> בדרך כלל מתארים מרחבים עקומים באמצעות גאומטריה רימאנית, אם כי ניתן לתאר כמה מקרים פשוטים בדרכים אחרות. מרחבים עקומים ממלאים תפקיד מהותי ב[[תורת היחסות הכללית]], כאשר [[כבידה|כוח הכבידה]] מתואר לעיתים קרובות באמצעות מרחב עקום.<ref>{{Cite web|title=Curved Space|url=https://www.math.brown.edu/tbanchof/STG/ma8/papers/dstanke/Project/curved_space.html|access-date=2024-01-18|website=www.math.brown.edu}}</ref> [[מטריקת פרידמן-למטר-רוברטסון-ווקר]] היא [[מטריקה]] עקומה, המהווה את הבסיס הנוכחי לתיאור [[התפשטות היקום]].<ref>{{צ-מאמר|מחבר=M. Lachieze-Rey, J. P. Luminet|שם=Cosmic Topology|כתב עת=Physics Reports|כרך=254|שנת הוצאה=1995-03|עמ=135–214|doi=10.1016/0370-1573(94)00085-H|קישור=http://arxiv.org/abs/gr-qc/9605010}}</ref> העובדה שלמרות של[[פוטון|פוטונים]] אין [[מסה]], הם מושפעים מכוח הכבידה, פירושה שההסבר צריך להיות משהו מלבד מסה פוטונית. מכאן הרעיון שגופים מסיביים מעקמים את המרחב-זמן. ולכן אור, המתקדם ב[[מרחב-זמן]] עקום, ייראה ככפוף לכוח הכבידה.

== דוגמה דו־ממדית פשוטה ==
פני השטח של כדור מהווים דוגמה קלאסית למרחב עקום. למרות שהכדור עצמו נתפס כתלת־ממדי, אובייקט המוגבל לפני השטח שלו יכול לנוע במרחב דו־ממדי בלבד. ניתן לתאר את פני השטח של הכדור באמצעות שני ממדים, כיוון שמדובר במשטח. אפילו פני השטח של כדור הארץ, למרות מורכבותם הפרקטלית, מהווים בסופו של דבר גבול דו־ממדי שתוחם נפח מסוים.<ref>{{Cite web|title=Curved Space - Special and General Relativity - The Physics of the Universe|url=https://www.physicsoftheuniverse.com/topics_relativity_curved.html|access-date=2024-01-18|website=www.physicsoftheuniverse.com}}</ref>

== שיכון ==
[[קובץ:Pythagorean_triangle.png|ממוזער| על פי [[משפט פיתגורס]], במרחב שטוח, סכום הריבועים של הניצבים של משולש ישר-זווית שווה לריבוע היתר. יחס זה אינו תופס עבור חללים עקומים.]]
אחד המאפיינים המגדירים של מרחב עקום הוא שמשפט [[משפט פיתגורס|פיתגורס]] לא מתקיים במרחב עקום. כלומר, במרחב עקום

: <math>dx^2 + dy^2 \neq dl^2</math> .

לעיתים קרובות ניתן ל"הציל" את משפט פיתגורס על ידי הוספת מימד לתיאור המרחב. נניח מרחב תלת-ממדי [[גאומטריה לא-אוקלידית|לא אוקלידי]] עם קואורדינטות <math>\left(x',y',z'\right)</math>. מכיוון שהמרחב אינו שטוח

: <math>dx'^2 + dy'^2 + dz'^2 \ne dl'^2 \,</math> .

אם נוסיף למרחב מימד נוסף ונייצג את המרחב כמרחב ''ארבע'' ממדי (<math>x,y,z,w</math>) נוכל ''לבחור'' קואורדינטות <math>w</math> כך ש

: <math>dx^2 + dy^2 + dz^2 + dw^2 = dl^2 \,</math> .

מובן שהקואורדינטה <math>x</math> אינה זהה לקואורדינטה <math>x'</math> וכנ"ל לשתי הקואורדינטות <math>y</math> ו <math>z</math>.

כדי שהיצוג הארבע-ממדי ייתארו באופן נאמן את המרחב התלת-ממדי המקורי, עליו להיות בעל אותו מספר [[דרגות חופש (פיזיקה וכימיה)|דרגות חופש]]. מכיוון שלמרחב ארבע ממדי יש ארבע דרגות חופש, יש להטיל עליו אילוץ. למשל, ניתן להטיל אילוץ הדורש את קיום משפט פיתגורס במרחב הארבע ממדי החדש. כלומר

: <math>x^2 + y^2 + z^2 +w^2 = \textrm{constant} \,</math> .

הקבוע יכול להיות חיובי או שלילי. מקובל לבחור את הקבוע להיות

: <math>\kappa^{-1}R^2</math> כאשר <math>R^2 \,</math> הוא חיובי ו <math>\kappa = \plusmn 1</math> .

ניתן להשתמש באילוץ הזה כדי להסיר את הקואורדינטה הרביעית, המלאכותית, <math>w</math>. הדיפרנציאל של משוואת האילוץ הוא

: <math>xdx + ydy + zdz + wdw = 0 \,</math> כלומר <math>dw = -w^{-1}(xdx + ydy +zdz) \,</math> .

הצבה של <math>dw</math> במשוואה המקורית נותן

: <math>dl^2 = dx^2 + dy^2 + dz^2 + \frac{(xdx+ydy+zdz)^2}{\kappa^{-1}R^2 - x^2 - y^2 - z^2}</math> .

צורה זו בדרך כלל אינה אסתטית במיוחד, ולכן עוברים לרוב ל[[קואורדינטות כדוריות|קואורדינטות הכדוריות]] <math>r, \theta, \phi</math> כאשר <math>x = r\sin\theta\cos\phi</math>, <math>y = r\sin\theta\sin\phi</math>, <math>z = r\cos\theta</math> . עם טרנספורמצית הקואורדינטות הזו מקבלים

: <math>dl^2 = \frac{dr^2}{1-\kappa\frac{r^2}{R^2}} + r^2d\theta^2 + r^2\sin^2\theta d\phi^2</math> .

== ללא שיכון ==
ניתן לתאר את הגאומטריה של מרחב n-ממדי באמצעות [[גאומטריה רימנית|גאומטריה רימאנית]]. ניתן לתאר מרחב [[wiktionary:isotropic|איזוטרופי]] [[wiktionary:homogeneous|והומוגני]] על ידי המטריקה:

: <math>dl^2 = e^{-\lambda(r)}{dr^2} + r^2d\theta^2 + r^2\sin^2\theta d\phi^2 \,</math> .

זה מצטמצם ל[[מרחב אוקלידי]] כאשר <math>\lambda = 0</math> . אבל ניתן לומר שמרחב הוא "שטוח" כאשר כל הרכיבים של {{קישור שפה|אנגלית|Weyl tensor|טנזור וייל}} מתאפסים. במרחב תלת־ממדי תנאי זה מתקיים כאשר {{קישור שפה|אנגלית|Ricci curvature|טנזור העקמומיות של ריצ'י}} (<math>R_{ab}</math>) שווה למטריקה המוכפלת ב{{קישור שפה|אנגלית|Ricci scalar|סקלר של ריצ'י}} (לא להתבלבל עם <math>R</math> של הסעיף הקודם). זה <math>R_{ab} = g_{ab} R</math> . חישוב של רכיבים אלה מתוך המדד נותן
: <math>\lambda = -\frac{1}{2}\ln \left(1 - k r^2 \right)</math> כאשר <math>k \equiv \frac{R}{2}</math> .

זה נותן את המטריקה

: <math>dl^2 = \frac{dr^2}{1-k{r^2}} + r^2d\theta^2 + r^2\sin^2\theta d\phi^2</math> .

כאשר <math>k</math> יכול להיות אפס, חיובי או שלילי ואינו מוגבל ל-±1.

== מרחב פתוח, שטוח, סגור ==
ניתן לתאר מרחב [[wiktionary:isotropic|איזוטרופי]] [[wiktionary:homogeneous|והומוגני]] על ידי המטריקה

: <math>dl^2 = \frac{dr^2}{1-\kappa\frac{r^2}{R^2}} + r^2d\theta^2 + r^2\sin^2\theta d\phi^2</math> .

בגבול שבו קבוע העקמומיות (<math>R</math>) גדל לאינסוף, מתקבל [[מרחב אוקלידי]] שטוח. גבול זה שקול למקרה <math>\kappa=0</math>. אם <math>\kappa</math> אינו אפס המרחב אינו אוקלידי. כאשר <math>\kappa = +1</math> אומרים שהמרחב ''סגור'' או [[גאומטריה אליפטית|אליפטי]]. כאשר <math>\kappa = -1</math> אומרים שהחלל ''פתוח'' או [[גאומטריה היפרבולית|היפרבולי]] .

סכום הזוויות של משולש, השוכן על פני משטח של מרחב פתוח, יהיה קטן מ-180°. סכום הזוויות של משולש, השוכן על פני משטח של מרחב סגור, יהיה גדול מ-180°.

== ראו גם==
* [[מרחב (CAT(k|CAT( ''k'') רווח]]

==הערות שוליים==
{{הערות שוליים}}

== לקריאה נוספת ==
* [https://www.feynmanlectures.caltech.edu/II_42.html הרצאות פיינמן על פיזיקה כרך 2.] [https://www.feynmanlectures.caltech.edu/II_42.html II Ch.] [https://www.feynmanlectures.caltech.edu/II_42.html 42: מרחב עקום]

== קישורים חיצוניים ==
* [https://www.geometrygames.org/CurvedSpaces Curved Spaces], מדמה ליקומים מקושרים שפותח על ידי ג'פרי וויקס
[[קטגוריה:תורת היחסות הכללית]]
[[קטגוריה:גאומטריה דיפרנציאלית]]