הצגת המקור של הדף "מרחב פסאודו-מטרי"

ב[[טופולוגיה]], '''מרחב פסאודו-מטרי''' הוא [[קבוצה (מתמטיקה)|קבוצה]] עם [[פונקציה|פונקציית]] מרחק שבה ייתכן מרחק 0 בין שני איברים השונים זה מזה. פונקציית מרחק כזו נקראת .'''פסאודו-מטריקה'''. מרחב פסאודו-מטרי מהווה הרחבה של ה[[מרחב מטרי|מרחב המטרי]].

להגדיר פסאודו-מטריקה על קבוצה <math>X</math> שקול ללתת [[יחס שקילות]] <math>\sim</math> על <math>X</math> ולהגדיר [[מטריקה]] על [[מרחב מנה|מרחב המנה]] <math>X/\sim</math> (ראו [[מרחב פסאודו-מטרי#זיהוי מטרי|להלן]]). כך שהמושג מרחב פסאודו-מטרי לא מספק אובייקטים מתמטיים השונים באופן מהותי [[מרחב מטרי|ממרחבים מטריים]]. עם זאת, המושג נוח כאשר טבעי יותר לדבר על אברי הקבוצה <math>X</math> מאשר על [[מחלקת שקילות|מחלקות השקילות]] בה (ראו [[מרחב פסאודו-מטרי#דוגמאות|דוגמאות להלן]]).

מרחבים פסאודו-מטרים הוגדרו לראשונה על ידי ה[[מתמטיקאי]] ה[[סרבים|סרבי]] [[דורו קורפה]] בשנת [[1934]].<ref>{{צ-ספר|שם=Functional Analysis and Numerical Mathematics|קישור=https://www.google.com/books/edition/Functional_Analysis_and_Numerical_Mathem/7gzjBQAAQBAJ|מו"ל=Academic Press|שנת הוצאה=2014-05-12|ISBN=978-1-4832-6400-4|מחבר=Lothar Collatz|שפה=en}}</ref>

== הגדרה מתמטית ==
בהינתן קבוצה <math>M</math> ופונקציה <math>d:M\times M\to\mathbb{R}_{\ge 0}</math>, כאשר <math>\mathbb{R}_{\ge 0}</math> היא קבוצת ה[[מספר ממשי|מספרים הממשיים]] ה[[מספרים חיוביים ושליליים|אי-שליליים]], הפונקציה <math>d</math> תקרא '''פסאודו-מטריקה''' [[אם ורק אם]] היא מקיימת את התנאים הבאים:<ref>{{קישור כללי|כתובת=https://encyclopediaofmath.org/wiki/Pseudo-metric|כותרת=Pseudo-metric - Encyclopedia of Mathematics|אתר=encyclopediaofmath.org|תאריך_וידוא=2024-09-24}}</ref>

# לכל <math>x\in M</math> מתקיים <math>d(x,x)=0</math>
# לכל <math>x,y\in M</math> מתקיים <math>d(x,y)=d(y,x)</math> (כלומר, <math>d</math> [[פונקציה סימטרית]])
# לכל <math>x,y,z\in M</math> מתקיים <math>d(x,y)\le d(x,z)+d(z,y)</math> (כלומר, <math>d</math> מקיימת את [[אי-שוויון המשולש|אי השוויון המשולש]])

הזוג <math>(M,d)</math> נקרא "'''מרחב פסאודו-מטרי'''". הגדרה זו זהה להגדרה של [[מרחב מטרי]] למעט התנאי הראשון, בו עבור מרחבי מטרי מתקיים ש-<math>d(x,y)=0</math> אם ורק אם <math>x=y</math>. על כן, כל מרחב מטרי הוא מרחב פסאודו-מטרי.

== טופולוגיה ==
בצורה דומה למרחבים מטריים, ניתן להגדיר [[מרחב טופולוגי]] באמצעות הפסאודו-מטריקה על ידי לקיחת כל ה[[כדור (טופולוגיה)|כדורים הפתוחים]] <math>B_r(x_0):=\{x\in M\mid d(x,x_0)<r\}</math> ולהשתמש בהם כ[[בסיס (טופולוגיה)|בסיס]] לטופולוגיה. בטופולוגיה זו, הפסאודו-מטריקה <math>d</math> היא בהכרח [[פונקציה רציפה (טופולוגיה)|פונקציה רציפה]] בשני המשתנים שלה.

ניתן להוכיח כי המרחב הטופולוגי הנוצר באמצעות הפסאודו-מטריקה יהיה בהכרח [[מרחב רגולרי לחלוטין]]. כמו כן, ניתן להראות כי אם הטופולוגיה מקיימת את [[אקסיומות ההפרדה|אקסיומת ההפרדה]] <math>T_0</math> אז בהכרח הפסאודו-מטריקה היא בעצם מטריקה.

== זיהוי מטרי ==
בהינתן מרחב פסאודו-מטרי <math>(M,d)</math>, ניתן להגדיר על <math>M</math> [[יחס שקילות]] <math>\sim</math> כך ש-<math>x\sim y</math> אם ורק אם <math>d(x,y)=0</math>.<ref>{{קישור כללי|כתובת=https://ncatlab.org/nlab/show/metric+space|כותרת=metric space in nLab|אתר=ncatlab.org|שפה=en|תאריך_וידוא=2024-09-24}}</ref> ניתן להראות כי אם <math>x_1\sim x_2</math> ו-<math>y_1\sim y_2</math> אז בהכרח <math>d(x_1,y_1)=d(x_2,y_2)</math>. מסיבה זו ניתן להגדיר פונקציה <math>d^*:(M/\sim)\times(M/\sim)\to\mathbb{R}_{\ge 0}</math> כך שלכל <math>[x],[y]\in M/\sim</math> מתקיים <math>d^*([x],[y]):=d(x,y)</math>. פונקציה זו מוגדרת היטב מכיוון שערך המרחק בין מחלקות שקילות אינו תלוי בנציג.

ניתן להוכיח כי <math>d^*</math> היא מטריקה ולכן <math>(M/\sim,d^*)</math> הוא מרחב מטרי. <math>d^*</math> תקרא '''מטריקת הזיהוי'''. כלומר, על-ידי זיהוי נקודות בעלות מרחק 0 זו מזו כאותה נקודה ניתן להפוך את המרחב הפסאודו-מטרי למרחב מטרי.

הטופולוגיה על מרחב מטרי זה מהווה את אותה הטופולוגיה של המרחב הפסאודו-מטרי המקורי עד כדי זיהוי נקודות. כלומר, אם <math>U\subseteq M</math> היא [[קבוצה פתוחה]] לפי הטופולוגיה של הפסאודו-מטריקה, אז <math>U':=\{[x]\mid x\in U\}</math> היא קבוצה פתוחה לפי מטריקת הזיהוי.

== דוגמאות ==
* בהינתן מרחב מטרי <math>(M,d)</math> ניתן להגדיר מרחב <math>(P(M),h)</math> כאשר <math>P(M)</math> היא קבוצת כל התת-קבוצות של <math>M</math> (לאו דווקא פתוחות או סגורות) ו-<math>h</math> הוא [[מרחק האוסדורף]] המוגדר כך שלכל <math>X,Y\in P(M)</math> מתקיים ש-<math>h(X,Y):=\sup_{m\in M}{|\inf_{x\in X}{d(x,m)}-\inf_{y\in Y}{d(y,m)}|}</math>. המרחב <math>(P(M),h)</math> הוא מרחב פסאודו-מטרי.
* בהינתן [[מרחב וקטורי]] <math>V</math> ו[[נורמה-למחצה|נורמה למחצה]] עליו <math>\rho</math>, ניתן להגדיר פסואודו-מטריקה <math>d</math> על <math>V</math> כך ש-<math>d(v,u):=\rho(v-u)</math>.
* בהינתן [[מידה (מתמטיקה)|מרחב מידה]] <math>(\Omega, \mathcal{A},\mu)</math> ניתן להגדיר פסאודו-מטריקה <math>d</math> על <math>\mathcal{A}</math> כך שלכל <math>A,B\in\mathcal{A}</math> מתקיים ש-<math>d(A,B):=\mu(A \vartriangle B)</math>.

== ראו גם ==
* [[מרחב מטרי]]
* [[נורמה-למחצה|נורמה למחצה]]

== הערות שוליים ==
{{הערות שוליים|יישור=שמאל}}
[[קטגוריה:טופולוגיה]]
[[קטגוריה:מרחבים מטריים]]