הצגת המקור של הדף "מרחב קשיר מקומית"

[[קובץ:Neighborhood illust1.svg|left|ממוזער|במרחב הטופולוגי בתמונה, ''<math>V</math>'' היא סביבה של ''<math>p</math>'' המכילה סביבה קשירה (דיסק ירוק כהה) המכילה את ''<math>p</math>''.]]
'''מרחב קשיר מקומית''' ב[[טופולוגיה]], ובתחומים [[מתמטיקה|מתמטיים]] נוספים, הוא [[מרחב טופולוגי]] שבו כל [[סביבה (טופולוגיה)|סביבה]] של נקודה מכילה סביבה פתוחה ו[[קבוצה קשירה|קשירה]]. תכונת הקשירות המקומית קרובה באופייה לתכונת ה[[קבוצה קשירה|קשירות]], אבל השתיים אינן גוררות זו את זו.

==רקע==
[[קשירות (טופולוגיה)|קשירות]] ו[[קבוצה קומפקטית|קומפקטיות]] הן שתי תכונות בסיסיות בטופולוגיה. חשיבותן של תכונות אלה הוכרה בתחילה עבור תת-קבוצות של ה[[מרחב אוקלידי|מרחב האוקלידי]], אלא שעד מהרה הוברר שהתכונות אינן תלויות ב[[מטריקה]] המוגדרת על המרחב, אלא במאפיינים הטופולוגיים שלו.

[[קובץ:CombSpace 1000.gif|left|ממוזער|[[מרחב המסרק]], המוגדר על ידי איחוד של ציר ''x'' עם קווים המקבילים לציר ''y'' במרחק <math>1/n</math> הוא קשיר מסילתית, אך אינו קשיר מקומית סביב הנקודה המסומנת]]
[[משפט היינה-בורל]], ומשפטים חזקים נוספים, מאפשרים לתאר את הקבוצות הקומפקטיות במרחב האוקלידי. אפילו במקרה זה, המבנה של קבוצות קשירות מורכב יותר. לדוגמה, כל [[מרחב האוסדורף]] קומפקטי הוא [[מרחב קומפקטי מקומית|קומפקטי מקומית]], ועם זאת, מרחב קשיר אינו חייב להיות קשיר מקומית, אפילו אם מדובר על תת-מרחב של המרחב האוקלידי (ראו [[מרחב המסרק]] באיור משמאל).

==הגדרות ותכונות בסיסיות==
מרחב טופולוגי <math>X</math> הוא '''קשיר מקומית''' בנקודה <math>x</math>, אם לכל קבוצה פתוחה <math>V</math> המכילה את ''<math>x</math>'', קיימת תת-קבוצה קשירה ופתוחה <math>U</math> עבורה <math>x \in U \subset V</math>. מרחב שהוא קשיר מקומית בכל נקודה הוא '''מרחב קשיר מקומית'''{{הערה|1=Willard, Definition 27.4, p. 199}}.

אם לכל קבוצה פתוחה <math>V</math> המכילה את ''<math>x</math>'' קיימת קבוצה פתוחה וקשירה <math>N \subset V</math> כך ש-''<math>x</math>'' נמצא בפנים של <math>N</math>, אומרים ש-''<math>X</math>'' '''קשיר מקומית באופן חלש''' ב''-<math>x</math>''.{{הערה|1=Willard, Definition 27.14, p. 201}}. המרחב קשיר מקומית בנקודה ''<math>x</math>'' אם יש לו [[בסיס מקומי]] של קבוצות פתוחות וקשירות, וקשיר מקומית באופן חלש, אם יש לו שם בסיס מקומי של סביבות קשירות (כל קבוצה פתוחה הכוללת את הנקודה היא סביבה שלה, אבל ההפך אינו נכון). מכאן שאם המרחב קשיר מקומית בנקודה, הוא גם קשיר שם מקומית באופן חלש. ההפך אינו נכון, ועם זאת, מרחב שהוא קשיר מקומית באופן חלש בכל נקודה שלו, הוא בהכרח קשיר מקומית בכל נקודה.{{הערה|1=Willard, Theorem 27.16, p. 201}}

כל [[קשירות מסילתית|מרחב קשיר מסילתית]] הוא קשיר, ולכן [[מרחב קשיר מסילתית מקומית]] הוא גם קשיר מקומית.

==דוגמאות ==

# לכל מספר טבעי <math> n</math>, המרחב האוקלידי <math>\mathbb{R}^n</math> קשיר וקשיר מקומית.
# המרחב <math> [0,1] \cup [2,3] </math> קשיר מקומית, איך אינו קשיר.
# המרחב <math>\{ ( x, \sin{\frac{1}{x}} ) | x \in (0, \infty ) \} \cup \{0\} \times [0,1]</math> (הידוע כ"[[עקומת הסינוס של הטופולוגים]]") קשיר, אך אינו קשיר מקומית ואינו קשיר מסילתית.{{הערה|שם=Steen|1=Steen &amp; Seebach, pp. 137–138}}
# מרחב ה[[מספר רציונלי|מספרים הרציונליים]] <math>\mathbb{Q}</math>, עם הטופולוגיה המושרית מן הישר הממשי, אינו קשיר ואינו קשיר מקומית.
# [[מרחב המסרק]] (ראו תמונה למעלה) קשיר וקשיר מסילתית אך אינו קשיר מקומית.
# תהי <math> X</math> קבוצה אינסופית [[קבוצה בת מנייה|בת מנייה]]. תחת [[הטופולוגיה הקו-סופית]] מתקיים כי <math> X</math> קשירה מקומית אך לא קשירה מסילתית מקומית.{{הערה|1=Steen &amp; Seebach, pp. 49–50}}

==תכונות נוספות==
על פי ההגדרה, קשירות מקומית היא תכונה מקומית. עם זאת, כל התכונות המתקיימות במרחב קשיר מתקיימות באופן מקומי במרחב קשיר מקומית, למשל:

# מרחב הוא קשיר מקומית אם ורק אם קיים לו [[בסיס לטופולוגיה|בסיס]] המכיל רק קבוצות קשירות.
# איחוד זר של מרחבים הוא קשיר מקומית אם ורק אם כל אחד מהמאוחדים קשיר מקומית. בפרט, היות שמרחב הנקודה קשיר מקומית, כל [[טופולוגיה דיסקרטית|מרחב דיסקרטי]] הוא קשיר מקומית. מצד שני, מרחב דיסקרטי הוא [[מרחב בלתי קשיר לחלוטין|בלתי קשיר לחלוטין]] ועל כן הוא קשיר אם ורק אם יש בו לכל היותר נקודה אחת.
# מרחב בלתי קשיר לחלוטין יהיה קשיר מקומית אם ורק אם הוא דיסקרטי. מכאן נובעת באופן מיידי הטענה בדוגמאות לפיה המספרים הרציונליים אינם מהווים מרחב קשיר מקומית.

==רכיבי קשירות==
ההגדרות המובאות בחלק זה מבוססות על התוצאה הבאה:

:למה: תהי <math>\{Y_\alpha \}_{\alpha \in I}</math> משפחה של תת-קבוצות במרחב טופולוגי ''<math>X</math>'', שהחיתוך של כולן אינו ריק. אם כל קבוצה <math>Y_\alpha</math> קשירה (קשירה מסילתית) אזי האיחוד <math>\bigcup_{\alpha \in I} Y_\alpha</math> קשיר (קשיר מסילתית){{הערה|1=Willard, Theorem 26.7a, p. 192}}.

עתה נוכל לדון ב[[יחס שקילות|יחס השקילות]] המוגדר כך ש-<math>x \equiv y</math> אם קיימת תת-קבוצה קשירה של ''<math>X</math>'' המכילה את ''<math>x</math>'' ואת ''<math>y</math>''. ברור כי היחס הזה רפלקסיבי וסימטרי, והטרנזיטיביות שלו נובעת מהלמה. מחלקות השקילות של היחס נקראות '''רכיבי הקשירות''' של ''<math>X</math>''. מחלקת השקילות המכילה את ''<math>x</math>'' נקראת '''רכיב הקשירות של ''<math>x</math>''''' ונהוג לסמנה על ידי <math>C_x</math>.

מהלמה נובע כי רכיב הקשירות של ''<math>x</math>'' הוא תת-הקבוצה הקשירה המקסימלית המכילה את ''<math>x</math>''. היות שהסגור של <math>C_x</math> הוא קבוצה קשירה, ניתן להסיק שכל רכיבי הקשירות סגורים ב-''<math>X</math>''.

אם למרחב ''<math>X</math>'' יש מספר סופי של רכיבי קשירות, אזי כל רכיב קשירות הוא המשלים של איחוד סופי של קבוצות סגורות ועל כן פתוח בעצמו. באופן כללי רכיבי קשירות אינם מוכרחים להיות פתוחים (לדוגמה ניתן לקחת את מרחב קנטור, שהוא מרחב בלתי קשיר לחלוטין אך אינו מרחב דיסקרטי). עם זאת, [[מרחב קשיר מקומית#רכיבי קשירות של מרחב קשיר מקומית|רכיבי הקשירות של מרחב קשיר מקומי הם פתוחים]]. מכאן מתקבל שמרחב קשיר מקומית ''<math>X</math>'' שווה לאיחוד רכיבי הקשירות שלו. מצד שני, אם לכל קבוצה סופית ''<math>U</math>'' של ''<math>X</math>'' מתקיים שרכיבי הקשירות של ''<math>U</math>'' פתוחים, אזי ל''-<math>X</math>'' בסיס של קבוצות קשירות ולכן קשיר מקומית{{הערה|1=Willard, Theorem 27.9, p. 200}}.

דוגמה: הקבוצה <math> I \times I</math> כאשר <math>I = [0,1]</math>, ביחד עם [[טופולוגיית סדר|טופולוגיית הסדר]] המושרית מיחס הסדר ה[[סדר אלפביתי|לקסיקוגרפי]] היא בעלת רכיב קשירות אחד (כי היא קשירה). עם זאת, כל קבוצה מהצורה <math>a \times I</math> מהווה רכיב קשירות מסילתית.

===רכיבי קשירות של מרחב קשיר מקומית===
:'''טענה''': בהינתן <math>X</math> מרחב קשיר מקומית, כל רכיבי הקשירות שלו פתוחים.{{הערה|1=Willard, Corollary 27.10, p. 200}}
:'''הוכחה''': יהי <math>X</math> מרחב קשיר מקומית ויהי <math>C</math> רכיב קשירות. לכל <math>x\in X</math> יש קבוצה פתוחה קשירה <math>U_x</math> כך ש-<math>x\in U_x</math> וגם <math>C\subset U_x</math>. לכן:
: <math>C=\bigcup_{x\in C}U_x</math>
: ומכאן <math>C</math> פתוחה כאיחוד פתוחות.

==מקורות==
* [[John L. Kelley]]; <cite>General Topology</cite>; {{ISBN|0-387-90125-6}}
* {{Citation|first=James|last= Munkres|year=1999|title= Topology|edition= 2nd|publisher=Prentice Hall|isbn=0-13-181629-2}}
* [[Stephen Willard]]; <cite>General Topology</cite>; Dover Publications, 2004.

==ראו גם==
* [[מרחב טופולוגי]]
* [[מרחב קשיר]]
* [[מרחב קשיר מסילתית]]
* [[מרחב קשיר מסילתית מקומית]]
* [[מרחב קומפקטי]]
* [[מרחב קומפקטי מקומית]]
* [[טופולוגיה קו-סופית]]

==קישורים חיצוניים==
* {{MathWorld}}

==הערות שוליים==
{{הערות שוליים|יישור=שמאל}}

[[קטגוריה:מרחבים טופולוגיים|קשיר מקומית]]
[[קטגוריה:קשירות]]