הצגת המקור של הדף "מרחב שרפינסקי"

ב[[טופולוגיה]], '''מרחב שרפינסקי''' הוא [[מרחב טופולוגי]] בעל שני איברים. חשיבותו בהיותו [[דוגמה נגדית]] פשוטה לטענות רבות בטופולוגיה. זוהי הטופולוגיה הקטנה ביותר שאינה [[טופולוגיה טריוויאלית|טריוויאלית]] או [[טופולוגיה דיסקרטית|דיסקרטית]].

המרחב נקרא על שם המתמטיקאי הפולני [[ואצלב שרפינסקי]].

==הגדרה==
'''מרחב שרפינסקי''' הוא קבוצה <math>X=\{ a,b\} </math> יחד עם ה[[טופולוגיה (טופולוגיה)|טופולוגיה]] <math>\tau=\{ \phi ,\{ a\} ,\{ a,b\} \} </math>. בדיקה ישירה של כל האפשרויות לאיחוד וחיתוך מראה שזהו אכן מרחב טופולוגי.

שתי הטופולוגיות האפשריות האחרות על <math>X=\{ a,b\} </math> הן [[הטופולוגיה הטריוויאלית]] ו[[הטופולוגיה הדיסקרטית]]. הטופולוגיה <math>\tau=\{ \phi ,\{ b\} ,\{ a,b\} \} </math> [[הומאומורפיזם|הומאומורפית]] לטופולוגיה שהוגדרה לעיל.

==תכונות==
*במרחב שרפינסקי ה[[יחידון]] <math>\{a\}</math> [[קבוצה פתוחה|פתוח]] ולא [[קבוצה סגורה|סגור]], בעוד היחידון <math>\{b\}</math> סגור ולא פתוח. 
*המרחב הוא [[מרחב קשיר|קשיר]] ו[[מרחב קשיר מסילתית|קשיר מסילתית]].
*המרחב [[קבוצה קומפקטית|קומפקטי]], כי הוא [[קבוצה סופית|סופי]].
*המרחב מקיים את [[אקסיומות ההפרדה|תכונת ההפרדה]] <math>{T}_{0}</math> אך לא את התכונה <math>{T}_{1}</math> (ניתן לבודד את a מ-b, אך לא את b מ-a). בפרט, המרחב אינו [[מרחב מטריזבילי]].
*במרחב זה [[גבול (טופולוגיה)|התכנסות]] סדרות מעניינת - כל סדרה מתכנסת לאיבר <math>b</math> ואילו סדרה תתכנס ל-<math>a</math> אך ורק אם החל ממקום מסוים היא שווה לו זהותית.
*ההעתקות הרציפות מהמרחב לעצמו הן רק [[פונקציית הזהות|הזהות]] והעתקות [[פונקציה קבועה|קבועות]].

==הכללה==
ניתן להכליל את המרחב הנ"ל לכל קבוצה לא [[הקבוצה הריקה|ריקה]] <math>X</math>, כאשר בהינתן <math>a \in X</math> מגדירים את הטופולוגיה <math>T=\{ \phi ,\{ a\} ,X\} </math>. מרחב זה מקיים חלק מן התכונות שהובאו לעיל.

[[עוצמה (מתמטיקה)|כמות]] המרחבים הללו היא כעוצמת הקבוצה <math>X</math>, אך כולם [[הומיאומורפיזם|הומיאומורפיים]].


[[קטגוריה:מרחבים טופולוגיים יחידאים|שרפינסקי]]