הצגת המקור של הדף "מרחב CAT(0)"

{{שם שגוי|מרחב CAT(0)&lrm;}}
במתמטיקה, '''מרחב CAT(0){{D}}''' הוא [[מרחב מטרי]] שהמשולשים שלו "דקים" כמו המשולשים במישור האוקלידי, או יותר. המרחב האוקלידי, בכל ממד, הוא מרחב CAT(0){{D}}. למרחבים כאלה יש [[עקמומיות]] 0 לכל היותר, בכל נקודה, והם תמיד [[מרחב כוויץ|כוויצים]].

ראו גם [[מרחב (CAT(k]], למושג הכללי יותר.

== הגדרה ==

משולש גאודזי ב[[מרחב גאודזי]] X מקיים את "תנאי <math>\ \mbox{CAT}(0)</math>", אם המרחק בין כל שתי נקודות על הצלעות שלו קטן או שווה למרחק בין הנקודות המתאימות על משולש במישור האוקלידי, בעל אותם ארכי צלעות.

כל מרחב <math>\ \mbox{CAT}(k)</math>, עם k שלילי, הוא <math>\ \mbox{CAT}(0)</math>; וכל מרחב <math>\ \mbox{CAT}(0)</math> הוא מרחב <math>\ \mbox{CAT}(k)</math> לכל k חיובי.

== מרחבי אדמר ==
מרחב <math>\ \mbox{CAT}(0)</math> [[מרחב שלם|שלם]] נקרא '''מרחב אדמר'''. התכונה הבולטת של מרחבי אדמר היא שפונקציות המרחק שלהם [[פונקציה קמורה|קמורות]]: אם <math>\ \gamma_1,\gamma_2 : [a,b] \rightarrow X</math> הן שתי מסילות גאודזיות, אז הפונקציה <math>\ f(t) = d(\gamma_1(t),\gamma_2(t))</math> קמורה כפונקציה של t. (ראו גם [[משפט קרטן-אדמר]]).

== תכונות ==
לתכונות מקומיות ראו [[מרחב (CAT(k]]. 

[[מרחב כיסוי אוניברסלי|מרחב הכיסוי האוניברסלי]] של מרחב <math>\ \mbox{CAT}(0)</math> הוא כוויץ. בפרט, [[חבורות ההומוטופיה]], מן השנייה ואילך, הן טריוויאליות. 

מרחב <math>\ \mbox{CAT}(0)</math> הוא [[מרחב היפרבולי|היפרבולי]] אם ורק אם אין לו תת-מרחב איזומטרי למישור האוקלידי <math>\ \mathbb{R}^2</math> (עם המטריקה הרגילה).

== חבורות CAT(0){{D}} ==
חבורה הפועלת באופן איזומטרי וקו-קומפקטי על מרחב <math>\ \mbox{CAT}(0)</math> הגון (כזה שבו כל הכדורים הסגורים קומפקטיים) נקראת "חבורת <math>\ \mbox{CAT}(0)</math>". חבורה כזו היא [[חבורה מוצגת סופית|מוצגת סופית]], ויש בה פתרון ל[[בעיית המלה]] ו[[בעיית ההצמדה]]. יש בה מספר סופי של מחלקות צמידות של תת-חבורות סופיות. כל תת-חבורה [[חבורה פתירה|פתירה]] של חבורת <math>\ \mbox{CAT}(0)</math> היא דמוית-<math>\ \mathbb{Z}^n</math>. 

מכפלה ישרה של חבורות <math>\ \mbox{CAT}(0)</math> היא חבורת <math>\ \mbox{CAT}(0)</math>. מכפלה חופשית של שתי חבורות <math>\ \mbox{CAT}(0)</math> עם התכה לאורך תת-חבורות שהן דמויות-<math>\ \mathbb{Z}</math>, היא <math>\ \mbox{CAT}(0)</math>. [[הרחבת HNN]] של חבורת <math>\ \mbox{CAT}(0)</math> ביחס לחבורה סופית, היא <math>\ \mbox{CAT}(0)</math>.

[[חבורת קוקסטר|חבורות קוקסטר]] הן <math>\ \mbox{CAT}(0)</math>.

== ראו גם ==
* [[מרחב (CAT(k]]

[[קטגוריה:מרחבים מטריים]]