הצגת המקור של הדף "מרחב Lp"

{{שם שגוי|מרחב L<sup>''p''</sup>}}
{{מקורות|רמה=מחפש|נושא=מדעי הטבע|נושא2=כלכלה}}
ב[[אנליזה מתמטית]], '''מרחבי L<sup>''p''</sup>''' הם [[מרחב פונקציות|מרחבי פונקציות]] על [[מרחב מידה]], המוגדרים על ידי הכללה טבעית של [[נורמה (אנליזה)|נורמות]]-p של [[מרחב וקטורי|מרחבים וקטוריים]] סוף-ממדיים. הם מהווים מחלקה חשובה של דוגמאות ל[[מרחב בנך|מרחבי בנך]] ול[[מרחב וקטורי טופולוגי|מרחבים וקטוריים טופולוגיים]]. יש להם שימושים ב[[פיזיקה]], [[סטטיסטיקה]], [[כלכלה]], [[הנדסה]] ובתחומים אחרים. לעיתים הם קרויים '''מרחבי לבג''', על שמו של [[אנרי לבג]].

== מרחבי l<sup>p</sup><sub>n</sub> מממד סופי==

[[הנורמה האוקלידית]] על [[המרחב האוקלידי]] <math>\mathbb{R}^n</math> היא זו המושרית מן ה[[מכפלה פנימית|מכפלה הפנימית]] הסטנדרטית: האורך של וקטור <math>x=\left(x_{1},x_{2},\dots,x_{n}\right)</math> נתון על ידי <math>\|x\|_2=\left(x_1^2+x_2^2+\cdots+x_n^2\right)^{1/2}</math>.

אך זוהי בהחלט לא הדרך היחידה להגדיר 'אורך' ב-<math>\mathbb{R}^n</math>. אם <math>p \ge 1</math> הוא [[מספר ממשי]], נגדיר את [[נורמה (אנלזיה)|נורמת]] <math>{\ell}^p</math> של וקטור <math>x</math> להיות

:<math>\|x\|_p=\left(|x_1|^p+|x_2|^p+\cdots+|x_n|^p\right)^{1/p}</math>

(ולכן נורמת <math>{\ell}^2_n</math> היא הנורמה האוקלידית המוכרת, בעוד שהמרחק בנורמת <math>{\ell}^1_n</math> ידוע בתור [[מטריקת מנהטן]]).

ניתן גם להגדיר נורמה ל-<math>p = \infty</math> על ידי

:<math>\|x\|_\infty=\max \left\{|x_1|, |x_2|, \ldots, |x_n|\right\}</math>

למעשה מתקיים <math>\left\Vert x\right\Vert _{\infty}=\lim_{p\to\infty}\left\Vert x\right\Vert _{p}</math> ולכן מקובל סימון זה. נורמה זו ידועה בשמות [[נורמת הסופרמום]], נורמת המקסימום או נורמת התכנסות במידה שווה.

לכל <math>p \ge 1</math> ההגדרות לעיל מקיימות את התכונות של  [[נורמה]]. מפורשות:

* '''חיוביות''' - <math>||x||_p \ge 0 </math> ו-<math>||x||_p=0</math> [[אם ורק אם]] <math>x=0</math>,
* '''[[פונקציה הומוגנית|הומוגניות]] חיובית''' - <math>||c \cdot x||_p=|c| \cdot ||x||_p</math>, ו-
* '''[[אי-שוויון המשולש]]''' (ובמקרה פרטי זה קרוי גם [[אי-שוויון מינקובסקי]]) - <math>||x+y||_p \le ||x||_p + ||y||_p</math>.

יתרה מזאת, לכל <math>p \ge 1</math>,<math>\mathbb{R}^n</math> יחד עם נורמת <math>{\ell}^p</math> (או פשוט נורמת-p) מהווה [[מרחב בנך]], כלומר הנורמה [[מרחב מטרי שלם|שלמה]]. מרחב זה מסומן לעיתים על ידי <math>\ell_{n}^{p}</math>.

לעיתים מגדירים את <math>\ell_{n}^{p}</math> להיות המרחב הווקטורי <math>\mathbb{C}^{n}</math> מעל [[שדה המספרים המרוכבים]]. ההגדרות הן כלעיל (הפעם הערך המוחלט הוא [[מספר מרוכב|מרוכב]]), והתכונות הן אותן תכונות (בפרט, מתקבל מרחב בנך).

===p בין 0 ל-1===

ב-<math>\mathbb{R}^n</math> כאשר <math>n>1</math>, הנוסחה

:<math>\|x\|_p=\left(|x_1|^p+|x_2|^p+\cdots+|x_n|^p\right)^{1/p}</math>

מגדירה מספר ממשי אי-שלילי אם <math>0 < p < 1</math>, אבל ההעתקה המתקבלת <math>x\mapsto\left\Vert x\right\Vert _{p}</math> איננה נורמה, מכיוון שהיא לא מקיימת את אי-שוויון המשולש. למרות זאת, הפונקציה

:<math>d_{p}\left(x,y\right)=\left\Vert x-y\right\Vert _{p}^{p}=\sum_{i=1}^{n}\left|x_{i}-y_{i}\right|^{p}</math>

היא [[מטריקה]]. בדומה למקרה <math>p \ge 1</math>, נהוג לסמן את המרחב המטרי <math>\left(\mathbb{R}^{n},d_{p}\right)</math> ב-<math>\ell_{n}^{p}</math> וגם אותו ניתן להגדיר בדומה מעל המרוכבים.

אף על פי ש[[כדור יחידה|כדור היחידה]] במטריקה <math>d_p</math>, המסומן <math>B_n^p</math>, הוא "קעור" (קרי, לא [[קבוצה קמורה|קמור]]), ה[[טופולוגיה]] המושרית על <math>\mathbb{R}^n</math> על ידה היא הטופולוגיה הסטנדרטית על <math>\mathbb{R}^n</math> ולכן <math>\ell_{n}^{p}</math> הוא [[מרחב וקטורי טופולוגי קמור מקומית]]. מעבר לטענה איכותית זו, דרך כמותית למדוד את חוסר הקמירות של <math>\ell_{n}^{p}</math> היא להתבונן ב-<math>C_{p}\left(n\right)</math>, הקבוע הקטן ביותר <math>C</math> שעבורו ה[[ניפוח]] <math>C\cdot B_{n}^{p}</math> של כדור היחידה בנורמת-p מכיל את ה[[קמור]] של <math>B_n^p</math> (שהוא למעשה <math>B_n^1</math> לכל <math>0<p<1</math>). מסתבר שמתקיים <math>C_{p}\left(n\right)=n^{-1+1/p}</math> לכל <math>n</math> טבעי. העובדה שערך זה שואף לאינסוף כאשר <math>n \to \infty</math> (עבור <math>0<p<1</math> קבוע) משקפת את העובדה שמרחב הסדרות האינסוף-ממדי <math>\ell^{p}</math> (המוגדר למטה) הוא כבר לא קמור מקומית.

===p=0===

ב[[מתמטיקה בדידה]], נורמת-p מוגדרת גם עבור <math>p=0</math> לפי

: <math>\left\Vert x\right\Vert _{0}=\lim_{p\searrow0}\left(\left|x_{1}\right|^{p}+\left|x_{2}\right|^{p}+\cdots+\left|x_{n}\right|^{p}\right)</math>

שהוא פשוט מספר הרכיבים השונים מאפס בוקטור <math>x</math>. אם נגדיר <math>0^0 = 0</math>, אז נורמת האפס של <math>x</math> שווה ל-<math>\left|x_{1}\right|^{0}+\cdots+\left|x_{n}\right|^{0}</math>. זוהי '''אינה''' נורמה במובן הרגיל של המילה, אך היא יכולה לשמש למדידת דלילות, למשל בתחום של [[Compressed sensing]].

==מרחבי L<sup>p</sup> מממד בן מניה==
כהכללה של הממד הסופי, מגדירים את המרחב <math>\ell^p</math> להיות אוסף ה[[סדרה (מתמטיקה)|סדרות]] <math>\{x_n\}_{n \in \mathbb{N}}</math> כך ש-<math>\sum_{n=1}^{\infty} {|x_n|^p}< \infty</math>, ומגדירים את נורמת-p להיות <math>\Vert x_{ n }\Vert_{ p }=\sqrt [ p ]{ \sum _{ n=1 }^{ \infty  }{ |x_{ n }|^{ p } }  } </math>.

כאשר <math>p=\infty</math> מגדירים, כמו במקרה הסופי, <math>\Vert\{x_n\}\Vert_\infty = \sup \{x_n\}</math>, וגם כאן מתקיים <math>\left\Vert x\right\Vert _{\infty}=\lim_{p\to\infty}\left\Vert x\right\Vert _{p}</math> .

המרחבים שמתקבלים בבנייה זו גם הם מרחבי בנך. ניתן להוכיח זאת ישירות, אך החלק הבא מסביר זאת בצורה טובה מאוד.

== מרחבי L<sup>p</sup> ממד כללי==
ניתן לשים לב שבמקרים הקודמים התחלנו מקבוצות סופיות, עברנו לבנות מנייה, וכעת נרצה לעבור לעוצמה כללית - מסדרות סופיות, לסדרות בנות מנייה, נעבור ל[[לפונקציה|פונקציות]], ובמקום סכימה נבצע [[אינטגרל|אינטגרציה]].

פורמלית, עבור <math>1 \le p< \infty</math> מגדירים את <math>\mathcal{L}^p(\mathbb{K},X,S,\mu)</math> עבור [[מרחב מידה]] <math>(X,S,\mu)</math> ו[[שדה (מבנה אלגברי)|שדה]] <math>\mathbb{K} \in \{\mathbb{R}, \mathbb{C}\}</math> להיות-

<math>\mathcal{L}^p(\mathbb{K},X,S,\mu)=\{f:X \to \mathbb{K} : \int_{X}{|f|^p d \mu} < \infty\}</math>

כאשר ה[[אינטגרל]] הוא [[אינטגרל לבג]]. מגדירים את נורמת-p להיות <math>||f||_p=\sqrt [ p ]{ \int_{X}{|f|^p}d \mu } </math>. מיפוי זה איננו נורמה, מפני שפונקציות ששוות [[כמעט כל (מתמטיקה)|כמעט בכל מקום]] לאפס, עדיין יחזירו אינטגרל אפס. כדי להתגבר על בעיה זו, מגדירים את המרחב <math>L_\mathbb{K}^p(X,S,\mu)</math> שאיבריו הוא אוסף [[יחס שקילות|מחלקות השקילות]] עד כדי שוויון כמעט בכל מקום.  כעת, <math>|| \cdot ||_p</math> היא אכן נורמה - היא חיובית ו[[פונקציה הומוגנית|הומוגנית]] חיובית, ומקיימת את אי שוויון המשולש - זהו [[אי-שוויון מינקובסקי]]. המרחבים גם שלמים - ניתן להוכיח זאת בשימוש משפטי התכנסות מתורת המידה (למשל, [[משפט ההתכנסות הנשלטת]] של לבג).

מרחבי <math>L^p</math> הם הדוגמה הקלאסית למרחב בנך ב[[אנליזה מתמטית|אנליזה]] וב[[טופולוגיה]].

===במקרה p=2===
המקרה <math>p=2</math> הוא מקרה מיוחד, מפני שבמקרה זה המרחב <math>L^2</math> הוא אף [[מרחב הילברט]] - [[מרחב מכפלה פנימית]] שלם מעל השדה, כאשר המכפלה הפנימית היא <math><f,g>=\int_{X}{f\cdot \overline{g} d \mu}</math>. זוהי דוגמה קלאסית למרחב הילברט, ולמעשה ידוע יותר מכך - '''כל''' מרחב הילברט איזומורפי למרחב <math>L^2(A,P(A),\#)</math>, כאשר <math>A</math> קבוצה כלשהי.

===המקרה ∞=p===
במקרה <math>p=\infty</math> אי אפשר להגדיר, כמו במקרה הסופי, את <math>L^\infty</math> להיות אוסף הפונקציות החסומות, משום שפונקציה יכולה לקבל את הערך אינסוף על [[קבוצה ממידה אפס]]. כדי להתגבר על הבעיה, מגדירים '''essential supremum''' של פונקציה:

<math>\operatorname{esssup}f=\inf\{a \in \mathbb{R} : \mu(f^{-1}(a,\infty) )=0\}</math>

והמרחב <math>L^\infty</math> הוא אוסף הפונקציות עבורן <math>\operatorname{esssup}|f|<\infty</math>, הנקראות גם '''[[פונקציה חסומה#פונקציות חסומות בעיקר|פונקציות חסומות בעיקר]]''' (essentially bounded functions). המרחב שמתקבל אף הוא [[מרחב בנך]], ומתקיים <math>||f||_\infty = \lim_{p \rightarrow \infty} {||f||_p}</math>. מרחב זה חשוב במיוחד בתורת ה[[מרחב מטרי|מרחבים המטריים]] והשלמות, ראו [[מרחב מטרי שלם]].

===ביחס למקרים הקודמים===
המקרה הסוף-ממדי <math>\ell^p _n</math> מתקבל כמקרה פרטי של <math>L^p</math>, עבור <math>X=\{1,...,n\}</math> ו-<math>\mu=\#</math> [[מידת הספירה]] (הסופרת כמה איברים יש בקבוצה).

המקרה הבן-מנייה מתקבל עבור <math>X=\mathbb{N}</math> ומידת הספירה. בפרט אפשר להסיק ש-<math>\ell^p</math> [[מרחב בנך]] בלי להוכיח זאת בנפרד. נובע גם ש-<math>\ell^2</math> הוא [[מרחב הילברט]], ומפורשות ניתן לאמר ש-<math>\ell^2 \cong L^2(\mathbb{N},P(\mathbb{N}),\#)</math>.

==תכונות מרחבי L<sup>p</sup>==
===התכנסות בנורמה===
היות שהמרחב <math>L^p</math> הוא [[מרחב נורמי]], מתאימה עבורו התכנסות בנורמה - נאמר שסדרת פונקציות <math>\{f_n\}</math> '''מתכנסת בנורמה-p''' לפונקציה <math>f</math> אם <math>||f_n-f||_p \to 0</math> כאשר <math>n \to \infty</math>. המשפט הבסיסי והחשוב בנושא הוא:

''משפט'': תהי <math>\{f_n\} \subseteq L_\mathbb{K}^p(X,S,\mu)</math> כך ש- <math>f_n \to f</math> '''נקודתית''' [[כמעט כל (מתמטיקה)|כמעט בכל מקום]], וכן נניח שיש  <math>g \in L_\mathbb{K}^p(X,S,\mu)</math> כך ש-<math>|f_n| \le g</math> (כלומר <math>f_n</math> [[משפט ההתכנסות הנשלטת|נשלטת]] על ידי <math>g</math>), אז ההתכנסות היא גם בנורמה-p, כלומר <math>\lim_{n \rightarrow \infty}{||f_n-f||_p}=0</math>.

בכיוון ההפוך יש טענה מעט חלשה יותר-

''משפט'' - תהי <math>f \in L_\mathbb{K}^p(X,S,\mu)</math> ונניח שיש סדרה <math>\{f_n\}</math> כך ש-<math>\lim_{n \rightarrow \infty}{||f_n-f||_p}=0</math>. אזי ל-<math>\{f_n\}</math> יש [[תת-סדרה]] המתכנסת נקודתית ל-<math>f</math> כמעט בכל מקום.

במקרה של [[התכנסות במידה שווה]], הטיעון 'חלק' יותר:

''משפט'': במרחב ממידה סופית, אם <math>f_n \to f</math> במידה שווה, אז ההתכנסות היא גם בנורמה-p.

תכונה טופולוגית נוספת של המרחב, היא שאוסף ה[[פונקציה פשוטה|פונקציות הפשוטות]] היא [[קבוצה צפופה]] ב-<math>L^p</math>. ניתן לראות זאת בקלות לפי המשפטים לעיל - ידוע שלכל פונקציה אינטגרבילית יש סדרה מונוטונית של פונקציות פשוטות <math>\phi_n</math> שמתכנסת אליה, ומפני שמתקיים <math>|f- \phi_n|^p \le 2^{p-1}(| f|^p+|\phi_n|^p) \to 2^p|f|^p</math>, נקבל שיש התכנסות גם בנורמת-p. למעשה, המרחב <math>L_\mathbb{K}^p(X,S,\mu)</math> הוא ה[[מרחב מטרי שלם|השלמה]] של מרחב הפונקציות הפשוטות שיושב בו.

===שיכונים===
במרחבים ממידה סופית, יש [[שיכון (מתמטיקה)|שיכונים]] בין מרחבי <math>L^p</math>, ביחס הפוך לסדר.

''משפט'' - יהי <math>(X,M,\mu)</math> [[מרחב מידה]] סופי, כלומר <math>\mu (X) < \infty</math>. אזי:
* אם <math>1<p<q</math> יש שיכון טבעי - <math>L_\mathbb{K}^q(X,S,\mu) \hookrightarrow  L_\mathbb{K}^p(X,S,\mu)</math>. יותר מכך, השיכון רציף, משום שזהו [[אופרטור ליניארי חסום]]. מפורשות, [[אי-שוויון ינסן]] (באחת מגרסאותיו) טוען כי <math>||f||_p \le \mu(X) ^{\frac{1}{p}-\frac{1}{q}}\cdot||f||_q</math>.
* לכל <math>p>1</math> מתקיים <math>L_\mathbb{K}^\infty(X,S,\mu) \subseteq L_\mathbb{K}^p(X,S,\mu)</math>.

==קישורים חיצוניים==
* {{אנציקלופדיה למתמטיקה|Lp_spaces}}
<div class="mw-content-ltr">
* [http://www.math.ksu.edu/~nagy/real-an/4-03-lp-spaces.pdf The Lp Spaces]
</div>

{{אנליזה מתמטית}}
{{עץ מיון של מרחבי פונקציות}}
{{בקרת זהויות}}
[[קטגוריה:אנליזה פונקציונלית]]
[[קטגוריה:תורת המידה]]
[[קטגוריה:מרחבים נורמיים]]