הצגת המקור של הדף "מרחב n-קשיר"

ב[[טופולוגיה]], '''n-קשירות''' (n-connectedness) היא תכונה טופולוגי של [[מרחב טופולוגי]] או של [[הומומורפיזם]] טופולוגי, המכלילה [[מרחב קשיר מסילתית|קשירות מסילתית]] ו[[מרחב פשוט קשר|פשיטות קשר]]. תכונה זו מוגדרת על ידי התאפסות <math>n</math> [[חבורות ההומוטופיה]] הראשונות של המרחב, ובמקרה של הומומורפיזם - על ידי התאפסות חבורות ההומוטופיה של [[סיב ההומוטופיה]] המתאים להעתקה.

[[מרחב קשיר מסילתית]] הוא מרחב 0-קשיר, בעוד ש[[מרחב פשוט קשר]] הוא מרחב 1-קשיר. על כן, מונח זה מהווה הכללה למונחים המדוברים. שימוש נפוץ במיוחד ב-n-קשירות הוא ב[[משפט הורוויץ (טופולוגיה אלגברית)|משפט הורוויץ]], המייצר איזומורפיזם בין [[חבורות ההומוטופיה]] ל[[חבורות ההומולוגיה]] מסוימות של מרחבים n-קשירים.

==מרחב n-קשיר==
[[מרחב טופולוגי]] <math>X</math> נקרא '''n-קשיר''' (עבור <math>n \ge 1</math>), אם הוא לא [[קבוצה ריקה|ריק]], [[מרחב קשיר מסילתית|קשיר מסילתית]] וכל [[חבורות ההומוטופיה]] שלו עד <math>n</math> מתאפסות:

<math>\forall 1 \le i \le n: \pi_i(X) = 0</math>

יש לשים לב כי במקרה הכללי של חבורות ההומוטופיה עבור <math>n \ge 2</math>, יש משמעות לבחירת נקודת הבסיס. עם זאת, ל[[מרחב פשוט קשר]] (עבורו <math>\pi_1(X)=0</math>) בחירת נקודת הבסיס אינה משנה - שתי חבורות עם נקודות בסיסי שונות שוות (ולא רק איזומורפיות). על כן, להגדרה לעיל אכן יש משמעות.

היות שהקבוצה <math>\pi_0(X)</math> נמצאת בהתאמה ל[[מרחב קשיר#רכיבי קשירות|רכיב הקשירות המסילתית]] של המרחב, הדרישה שהמרחב יהיה קשיר מסילתית שקולה לכך ש-<math>\pi_0(X)</math> טריוויאלי. על כן, מרחב לא ריק <math>X</math> הוא n-קשיר אם ורק אם <math>\pi_i(X)=0</math> לכל <math>0 \le i \le n</math>.

==העתקה n-קשירה==
[[פונקציה רציפה (טופולוגיה)|העתקה רציפה]] בין מרחבים טופולוגיים <math>f:X \to Y</math> '''נקראת n-קשירה''', אם [[סיב ההומוטופיה]] המתאים להעתקה <math>Ff</math> הוא מרחב טופולוגי (n-1)-קשיר. באופן שקול, הפונקציה היא n-קשירה אם ורק אם הפונקציה המושרית <math>f_* : \pi_i(X) \to \pi_i(Y)</math> מהווה [[איזומורפיזם#איזומורפיזם בין חבורות|איזומורפיזם]] עבור <math>i < n</math>, ומהווה העתקה על עבור <math>i=n</math>.

השקילות בין ההגדרות נובעת מ[[סדרה מדויקת]] הקושרת בין חבורות ההומוטופיה של סיב ההומטופיה ושל המרחבים:

<math>\dots \to \pi_i(X) \overset{\pi_i(f)}{\to} \pi_i(Y) \to \pi_{i-1}(Ff)\to \dots</math>

==ראו גם==
* [[סיב ההומוטופיה]]

{{מיון רגיל:מרחב, קשיר}}
[[קטגוריה:תורת ההומוטופיה]]
[[קטגוריה:קשירות]]