הצגת המקור של הדף "משוואה ממעלה שישית"

[[קובץ:Sextic_Graph.svg|שמאל|ממוזער|233x233 פיקסלים| גרף של פונקציה ממעלה שישית, עם 6 [[שורש (של פונקציה)|שורשים]] [[שדה המספרים הממשיים|ממשיים]] (חותכים את ציר x) ו-5 נקודות קריטיות.]]
'''משוואה ממעלה שישית''' היא משוואה מהצורה <math>ax^6+bx^5+cx^4+dx^3+ex^2+fx+g=0</math>, כאשר <math>a \neq 0</math> והמקדמים <math>a, b, c, d, e, f, g</math> יכולים להיות [[מספר שלם|מספרים שלמים]], [[מספר רציונלי|מספרים רציונליים]], [[שדה המספרים הממשיים|מספרים ממשיים]], [[מספר מרוכב|מספרי מרוכבים]] או, באופן כללי יותר, איברים של כל [[שדה (מבנה אלגברי)|שדה]].

פונקציה ממעלה שישית היא [[פונקציה]] המוגדרת על ידי [[פולינום]] ממעלה שישית. משום שיש להן מעלה זוגית, היא דומה מבחינה [[גרף של פונקציה|גרפית]] לפונקציה ממעלה רביעית. עם זאת, לפונקציה ממעלה שישית עשויים להיות [[נקודת קיצון|נקודות קיצון מקומיות]] נוספות. [[נגזרת]] של פונקציה ממעלה שישית היא [[משוואה ממעלה חמישית|פונקציה ממעלה חמישית]].

מאחר שפונקציה ממעלה שישית על ידי פולינום ממעלה זוגית, יש לה את אותו ה[[גבול (מתמטיקה)|גבול]] כאשר הארגומנט הולך ל[[אינסוף]] חיובי או שלילי. אם [[מקדם (מתמטיקה)|המקדם המוביל]] <math>a</math> הוא חיובי, אז הפונקציה עולה לפלוס אינסוף משני הצדדים ולכן לפונקציה יש מינימום גלובלי. כמו כן, אם <math>a</math> שלילי, הפונקציה יורדת עד מינוס אינסוף משני הצדדים ולכן יש לה מקסימום גלובלי.

== פתרון ==
כמה משוואות ממעלה שישית, כמו <math>ax^6 + dx^3 + g = 0</math> ניתנות ל[[פתרון באמצעות רדיקלים]], אבל משוואות אחרות לא ניתנות לפתרון. בשנת [[1824]] הוכיח [[נילס הנריק אבל]] כי אין פתרון כללי באמצעות רדיקלים למשוואה ממעלה חמישית ומעלה. שנים ספורות לאחר מכן מצא [[אווריסט גלואה]] אפיון מלא של כל המשוואות הפולינומיות שניתנות לפתרון באמצעות רדיקלים: אלו המשוואות ש[[חבורת גלואה]] המתאימה להן היא [[חבורה פתירה]]. מחקרים אלו הולידו את [[תורת גלואה]] ואת [[תורת החבורות]]. גלואה פיתח טכניקות לקביעה האם משוואה נתונה ניתנת לפתרון על ידי רדיקלים{{הערה|{{קישור כללי|הכותב=אריק ווייסטיין|כותרת=Sextic Equation|כתובת=http://mathworld.wolfram.com/SexticEquation.html|מידע נוסף=באתר [[MathWorld]]|שפה=אנגלית}}}}. מתורת גלואה נובע כי משוואה ממעלה שישית ניתנת לפתרון במונחים של רדיקלים, [[אם ורק אם]] חבורת הגלואה שלה נמצאת בחבורה מסדר 48, [[פעולת חבורה|המייצבת]] חלוקה של קבוצת השורשים לשלוש תת-קבוצות של שני שורשים, או חבורה מסדר 72 המייצבת חלוקה של מערכת השורשים לשתי תת-קבוצות של שלושה שורשים. קיימות נוסחאות כדי לבדוק כל מקרה, ולחשב את השורשים, במקרים שהמשוואה ניתנת לפתרון{{הערה|T. R. Hagedorn, General formulas for solving solvable sextic equations, J. Algebra 233 (2000), 704-757|כיוון=שמאל}}. ב-[[1867]] (בעקבות עבודתו של הרמיט על [[משוואה ממעלה חמישית]]), הראה Joubert שכל [[הרחבת שדות]] ספרבילית מממד 6, במאפיין שאינו 2, נוצרת על ידי איבר המקיים משוואה מהצורה <math> x^6+bx^4+cx^2+d(x+1)</math>{{הערה|H. Kraft / Journal of Algebra 297 (2006) 234–253}}. 

משוואה כללית ממעלה שישית ניתנת לפתרון במונחים של פונקציות קמפה דה פרייט. ישנן משוואות ממעלה שישית הניתנות לפתרון על ידי [[פונקציה היפרגאומטרית]] כללית במשתנה אחד, באמצעות הגישה של [[פליקס קליין]] לפתרון [[משוואה ממעלה חמישית]].

== דוגמאות ==
{{אנ|Watt's curve|עקומת וואט}}, שנחקרה בעבודה הראשונית על [[מנוע קיטור|מנוע הקיטור]], היא משוואה ממעלה שישית עם שני משתנים.

אחת השיטות לפתרון [[משוואה מעוקבת]] כוללת שינוי במשתנים כדי להשיג משוואה ממעלה שישית, שמשתניה ממעלות 6, 3 ו-0 בלבד. בדרך זו, ניתן לפתור אותה כמו [[משוואה ממעלה שנייה|משוואה ריבועית]].

==ראו גם==
* [[פונקציה ממעלה שלישית|פונקציה מעוקבת]]

== הערות שוליים ==
{{הערות שוליים}}
{{משוואות פולינומיות}}

[[קטגוריה:פולינומים]]
[[קטגוריה:תורת גלואה]]
[[קטגוריה:משוואות פולינומיות]]
[[קטגוריה:דפים עם תרגומים שלא נסקרו]]
[[קטגוריה:בעיות לא פתירות במתמטיקה]]