הצגת המקור של הדף "משוואה ממעלה שנייה"

'''משוואה ממעלה שנייה''' או '''משוואה ריבועית''' היא [[משוואה]] מהצורה  <math>\ ax^2 + bx + c=0 </math> כאשר <math>\ a,b,c</math> הם מקדמים ב[[שדה (מבנה אלגברי)|שדה]] נתון (למשל, [[שדה המספרים הרציונליים|המספרים הרציונליים]]). מבחינה [[גאומטריה אנליטית|גאומטרית]], מציאת הפתרון שקולה למציאת חיתוכי ה[[פרבולה]]  <math>\ y=ax^2 + bx + c</math> עם ה[[קו ישר|ישר]] <math>\ y=0</math>.

לרקע היסטורי ראו [[היסטוריה של פתרון משוואות פולינומיות#משוואה ריבועית|היסטוריה של פתרון משוואות פולינומיות]].

==נוסחת השורשים לפתרון משוואה ריבועית==
[[קובץ:Polynomialdeg2.svg|ממוזער|שמאל|300px|גרף הפונקציה <math>y = x^2-x-2</math> חוצה את ציר ה-x בנקודות <math>x=-1</math> ו- <math>x=2</math>, שהן הפתרונות של המשוואה הריבועית <math>x^2-x-2 = 0</math>]]
הפתרונות למשוואה הריבועית <math>ax^2+bx+c=0</math> הם <math>x_{1,2}=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}</math>.

את הפתרון מקבלים על ידי [[השלמה לריבוע]]: כפל ב-<math>\ 4a</math> והוספת ה[[דיסקרימיננטה|דיסקרימיננט]] <math> \!\, \Delta=b^2-4ac</math> לשני האגפים, מביא את המשוואה לצורה <math>\!\, (2ax+b)^2=\Delta</math>. לאחר [[הוצאת שורש ריבועי]] מתקבלים הפתרונות <math>x_{1,2}=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}</math>. אם a קטן, אפשר לשם הדיוק הנומרי להשתמש בנוסחה  <math>x_{1,2}=\frac{-2c}{b\pm\sqrt{\Delta}}</math>, המתקבלת מהנוסחה המקורית על ידי הכפלת המונה והמכנה בצמוד. ב[[חישוב נומרי]] אפשר לפתור את המשוואה באמצעות [[שיטת מולר]].

כאשר מקדמי המשוואה הם [[מספר ממשי|ממשיים]], מספר הפתרונות הממשיים תלוי בדיסקרימיננטה: אם היא גדולה מאפס, יש שני פתרונות. אם היא שווה לאפס, יש פתרון יחיד (אבל [[סדר של קוטב|כפול]]), ואם היא קטנה מאפס, אין פתרון  ממשי, אבל יש פתרונות [[שדה המספרים המרוכבים|מרוכבים]].

==משפט ויאטה==
מקרה פרטי של [[נוסחאות ויאטה|משפט ויאטה]], הקרוי על שמו של ה[[מתמטיקאי]] ה[[צרפתי]] [[פרנסואה וייט]], מציג קשר בין שני [[שורש (של פונקציה)|שורשיה]] של משוואה ריבועית. כאשר נתונה המשוואה הריבועית הכללית
<math>\ ax^2 + bx + c=0 </math>

ושורשיה הם <math>\ x_{1} , x_{2}</math>, הרי מתקיים הקשר הבא:

<math>\ x_{1} \cdot x_{2}=\frac{c}{a} </math>


<math>\ x_{1}+x_{2}=-\frac{b}{a} </math>

קל להוכיח קשר זה על בסיס נוסחת השורשים המופיעה לעיל.

משפט ויאטה נותן טכניקה נוספת לפתרון משוואה ריבועית, ובמשוואות פשוטות (כאלה שמקדמיהן הן מספרים שלמים קטנים) הוא מאפשר להגיע אל הפתרון בצורה מיידית.

בנוסחאות אלה אפשר להשתמש גם כדי לבדוק מתי שורשי המשוואה שוני סימן, שווי סימן, חיוביים ושליליים.

{| class="wikitable" border="1"
! התנאים
! שוני סימן
! שווי סימן
! שניהם חיוביים
! שניהם שליליים
|-
|
| <math>\ \frac{c}{a}<0</math>{{הערה|אין צורך בתנאי <math>\ \Delta>0</math> כי הוא נובע מהתנאי <math>\ c/a<0</math>}}
| <math>\ \Delta>0</math>{{ש}}<math>\ c/a>0</math>
| <math>\ \Delta>0</math>{{ש}}<math>\ c/a>0</math>{{ש}}<math>\ -b/a>0</math>
| <math>\ \Delta>0</math>{{ש}}<math>\ c/a>0</math>{{ש}}<math>\ -b/a<0</math>
|}

==קישורים חיצוניים==
{{ויקישיתוף בשורה}}
* {{לא מדויק|2008/01/26/solving_quadratic_equations|אז איך פותרים משוואה ריבועית?}}
* {{לא מדויק|2023/12/16/quadratic_equations|אז איך באמת פותרים משוואה ריבועית?}}
* [http://g-math.co.il/kvachim/algebra/mishvaa_ribuit/mishvaa-ribuit-mat1/index.html משוואה ריבועית]{{קישור שבור}}, באתר "g-math"
* [http://youtu.be/WDXw3J8sF8s סרטון המדגים כיצד להגיע לנוסחת השורשים]
* [http://www.freewebs.com/trigo/quadratic.html מחשבון לפתרון משוואה ריבועית]
* {{MathWorld}}
* {{בריטניקה}}
* {{יוטיוב|7RMefNjjtU8|שם=למה משוואה ריבועית?}}
*{{יוטיוב|b_O30YvPg58|דביר רוס|שם=שיר הפרבולה|קליפ=כן}}, כולל הדרכה איך לפתור משוואה ריבועית במחשבון.

==הערות שוליים==
{{הערות שוליים}}
{{משוואות פולינומיות}}
{{בקרת זהויות}}

[[קטגוריה:אלגברה בסיסית]]
[[קטגוריה:משוואות פולינומיות]]