הצגת המקור של הדף "משוואות אוילר (מכניקה של גוף קשיח)"

{{תקציר פורטל|פיזיקה}}ב[[מכניקה קלאסית]] '''משוואות אוילר''' הן [[משוואה דיפרנציאלית|משוואות דיפרנציאליות]] [[וקטור (פיזיקה)|ווקטוריות]] מסדר ראשון המתארות את הסיבוב של [[מכניקה של גוף קשיח|גוף קשיח]]. המשוואות קושרות את [[מומנט כוח|מומנט הכח]] ל[[טנזור התמד|טנזור ההתמד]], ל[[מהירות זוויתית|מהירות הזוויתית]] של הגוף ולנגזרתה. תוך שימוש במערכת הצירים הראשית של הגוף שהיא [[מערכת ייחוס]] מסתובבת הצמודה לגוף המסתובב ומסתובבת איתו, בה מכפלות ההתמדה של [[טנזור]] האינרציה מתאפסים ומפשטים את החישובים במידה ניכרת.

צורתה הכללית של הנוסחה:

:<math>
{d\mathrm{J} \over dt}=\mathrm{I} \cdot \dot{\omega} + \omega \times \left(\mathrm{I} \cdot \omega \right)
= \mathrm{I} \cdot \dot\omega+\omega \times \mathrm{J} = \mathrm{M}
</math>

כאשר ''M'' הוא סכום המומנטים הפועל על הגוף, ''I'' הוא [[טנזור התמד|טנזור ההתמד]] וω היא המהירות הזוויתית של הגוף הנמצא במערכת הצירים הראשית של הגוף. ובה כאשר פורטים את וקטורי הסיבוב וטנזור ההתמד למרכיבי הכיוון תתקבלנה המשוואות:

:<math>
\begin{align}
I_1\dot{\omega}_{1}+(I_3-I_2)\omega_2\omega_3 &= M_{1}\\
I_2\dot{\omega}_{2}+(I_1-I_3)\omega_3\omega_1 &= M_{2}\\
I_3\dot{\omega}_{3}+(I_2-I_1)\omega_1\omega_2 &= M_{3}
\end{align}
</math>
:כאשר המספר התחתי מייצג את הציר לגביו נפרט הווקטור.

=== פיתוח הנוסחה ===
תנע זוויתי של גוף מוגדר כ[[מכפלה וקטורית|מכפלה ווקטורית]] בין המרחק מהציר ל[[תנע|תנע הקווי]].

<math>
\mathrm{J}\,\overset{\underset{\mathrm{def}}{}}{=}\, \mathrm{r}\times \mathrm{p}=\mathrm{r}\times m \mathrm{v} =
m \mathrm{r} \, \times (\omega\times \,\mathrm{r}) = \mathrm{I}\cdot \omega
</math>

בדומה ל[[חוקי התנועה של ניוטון|כח]] מומנט הכח מוגדר כשינוי התנע הזוויתי ביחס לזמן.

<math>
\mathrm{M}\,\overset{\underset{\mathrm{def}}{}}{=}\, \Delta \mathrm{J}=\frac{d\,\mathrm{J}}{dt}
</math>

בגלל שאנחנו נמצאים במערכת ייחוס שהצירים בה אינם קבועים ה[[נגזרת (אלגברה)|גזירה]] בזמן צריכה לערב לא רק את גזירת הווקטור עצמו אלא להוסיף לו גם איבר הנובע משינוי הצירים, שכן הווקטור לא רק משתנה בעצמו אלא גם שינוי המערכת משנה אותו.

הצירים במקרה של מערכת מסתובבת מסתובבים ביחס לזמן במהירות זוויתית של <math>
\omega
</math> . ולכן ווקטור במערכת ישתנה בנוסף לשינוי העצמי שלו גם ב <math>
\mathrm{A}\times \omega
</math> מכאן ש- <math>
\mathrm{M}\,\overset{\underset{\mathrm{def}}{}}{=}\, \frac{d\,\mathrm{J}}{dt}=\frac{d\,\mathrm{I}\cdot \omega}{dt}
+\mathrm{J}\times \omega=\mathrm{I}\cdot \dot \omega+\omega\times (\mathrm{I}\cdot \omega)
</math>

=== ניתוח תנועת סביבון ===
על מנת לתאר סיבוב של גוף קשיח במרחב יש צורך לתארו תוך שימוש בשלושה צירי סיבוב. הסביבון בתרשים מסתובב סביב ציר <math>y' </math> במהירות זוויתית <math>\dot \theta </math> סביב ציר הסימטריה שלו <math>z' </math> במהירות זוויתית <math>\dot\psi </math> וסביב ציר <math>z </math> במהירות זוויתית <math>\dot\varphi </math>.

מכאן שווקטור המהירות הזוויתית של הסביבון היא: <math>\vec{\omega}=\dot\psi \hat z'+\dot\varphi\hat z-\dot\theta \hat y' </math> קל לראות באמצעות [[טריגונומטריה]] פשוטה כי <math>\hat z =\cos\theta \hat z'-\sin \theta \hat x' </math>.

מכאן שהמהירות הזוויתית תהיה שווה ל:

<math>\vec{\omega}=\dot\psi \hat z'+\dot\varphi(\cos\theta \hat z'-\sin \theta \hat x')-\dot\theta \hat y' </math>
[[קובץ:תרשים לניתוח תנועת סביבון באמצעות משוואות אוילר .jpg|ממוזער|בתרשים סביבון הנע במערכת אינרציאלית XYZ ומתואר באמצעות מערכת צירים ראשית 'x'y'z המסתובב סביב ציר הסימטריה שלו, סביב ציר 'x וסביב ציר Z.]]
והתנע הזוויתי של הסביבון יהיה שווה ל:

<math>\mathrm{J}=\mathrm{I}\mathrm{\omega}=\mathrm{I}_{x'} \omega_{x'} + \mathrm{I}_{y'}\omega_{y'}+\mathrm{I}_{z'}
\omega _{z'}= \mathrm{I}_{z'}(\dot\varphi\cos\theta+\dot\psi)\hat z'-\mathrm{I}_{y'}\dot\theta\hat y'-\mathrm{I}_{x'}
\dot\varphi \sin\theta\hat x' </math>

לשם פתירת מערכת משוואות של מקרה כללי יש צורך לדעת את [[גרר (כוח)|התנגדות האוויר]] שלשם כך יש צורך לנתח את [[אווירודינמיקה|המבנה האווירודינמי]] של הסביבון ויש צורך לנתח את ה[[חיכוך]] עם הקרקע.

תנועת סביבון נפוצה היא כאשר <math>\dot\varphi\ll\dot\psi </math> . וכאשר אין שינוי בזווית ביחס לקרקע כלומר <math>\dot\theta=0 </math>.

במקרה כזה מכיוון מתקבל וקטור תנע התלוי בציר Z בלבד שגודלו: <math>\mathrm{J}= \mathrm{I}_{z'}\dot\psi \hat z' </math> מכיוון שהמהירות הזוויתית קבועה הנגזרת של ווקטור המהירות הזוויתית שווה ל-0 הביטוי השני מתאפס והביטוי השלישי הוא זניח ביחס לגורם הראשון וכיוון שהפעולה היא פעולת חיבור ניתן להתעלם ממנו.

מגזירת הווקטור מתקבל המומנט שלפי משוואות אוילר הוא שווה ל:

<math>
{d\mathrm{J} \over dt}=\mathrm{I} \cdot \dot{\omega} + \omega \times \left(\mathrm{I} \cdot \omega \right)=\mathrm{I} \cdot \dot\omega+\omega \times \mathrm{J}

=0+\dot \varphi\hat z \times \mathrm{I}_{z'}\dot\psi \hat z'=-\dot \varphi
\dot\psi\mathrm{I}_{z'}\sin\theta\hat y=\mathrm{M}
</math>

אך המומנט היחידי הפועל במערכת בהזנחת החיכוך עם הרצפה ועם האוויר הוא המומנט הנוצר [[כוח (פיזיקה)|מכוח]] [[כבידה|המשיכה]] מכאן ש:

<math>
\mathrm{M}=-mgl\sin\theta \hat y
= -\dot \varphi
\dot\Psi\mathrm{I}_{z'}\sin\theta\hat y

</math>

ומפתירת המשוואה נמצא כי אומדן טוב לפרסציה של הסביבון שווה ל:

<math>
\Longrightarrow \dot\varphi=\frac{mgl}{\mathrm{I}_{z'}\psi}

</math>

== ראו גם ==
* [[זוויות אוילר]]
* [[מכניקה אנליטית]]
* [[לאונרד אוילר]]
* [[אנליזה וקטורית]]
{{בקרת זהויות}}

[[קטגוריה:מכניקה]]
[[קטגוריה:לאונרד אוילר]]