הצגת המקור של הדף "משוואות לוטקה-וולטרה"

[[קובץ:Vulpes vulpes with pray in Vuosaari, Helsinki, Finland, 2009.jpg|ממוזער|230px|[[שועל אדום]] טורף [[ארנבת]] בפינלנד. הסיכוי של הטורפים והנטרפים לשרוד תלוי במצבם היחסי באוכלוסייה. מעט מדיי ארנבות ישפיעו על כמות השועלים בסביבה.]]

'''משוואות לוטקה-וולטרה''' ('''Lotka Volterra''') הן צמד [[משוואה דיפרנציאלית|משוואות דיפרנציאליות]] [[מערכת לא ליניארית|לא ליניאריות]] המתארות מודל מפורסם של התנהגות [[טריפה|אוכלוסיות טורף-נטרף]]. המשוואות הוצגו (באופן בלתי תלוי) על ידי [[אלפרד לוטקה]], ועל ידי [[ויטו וולטרה]] ב[[שנות העשרים של המאה העשרים]].

המודל מתאר [[אוכלוסייה|אוכלוסיות]] של שני מיני [[בעלי חיים]] - [[טורפים (ביולוגיה)|טורפים]] (דוגמת [[שועל מצוי|שועלים]]) ונטרפים (דוגמת [[ארנב]]ות). נסמן את כמות הנטרפים ב-x ואת כמות הטורפים ב-y. אוכלוסיית הנטרפים מתרבה בקצב <math> \alpha</math> ונטרפת על ידי הטורפים בקצב <math> \beta y</math>. הטורפים מתים בקצב <math> \gamma</math> ומתרבים בקצב <math> \delta x</math> כתוצאה מטריפה. השינוי באוכלוסיית הטורפים והנטרפים מתואר לפיכך על ידי המשוואות הבאות:
<div style="text-align: center;">
:<math>\frac{dx}{dt} = \alpha x- \beta xy</math>

:<math>\frac{dy}{dt} = - \gamma y + \delta xy</math>
</div>
במודל זה מתקבלות תנודות מחזוריות באוכלוסיות הטורפים והנטרפים. לדוגמה, כאשר מספר הארנבות גדול יש טרף רב לזאבים. הזאבים יתרבו ויקטינו את אוכלוסיית הארנבות. כך יישאר פחות טרף לזאבים ומספרם יחל להתדלדל. עם הקטנת מספר הזאבים תחזורנה הארנבות לשגשג וחוזר חלילה. תנודות דומות אכן נצפו בטבע.

המודל המתואר על ידי משוואות לוטקה-וולטרה סובל ממספר בעיות (שהעיקרית שבהן אי עמידות בפני [[רעש (פיזיקה)|רעשים]]) והוא פשטני מכדי להוות מודל ריאליסטי להתנהגות אוכלוסיות בעלי-חיים בטבע. למרות זאת יש למודל חשיבות רבה בתחום הדינמיקה של אוכלוסיות. הוא מהווה בסיס למחקרים רבים וזכה למגוון רב של הרחבות.

== ניתוח מתמטי==
[[קובץ:Lotka_Volterra_1.jpg|שמאל|ממוזער|250px|גרף של פתרון משוואות לוטקה-וולטרה (עבור k=2/3). הקו הירוק מייצג את אוכלוסיית הנטרפים, והאדום את אוכלוסיית הטורפים. תנודות מחזוריות מתקבלות עבור שתי האוכלוסיות.]]
[[קובץ:Lotka_Volterra_2.jpg|שמאל|ממוזער|250px|מספר מסלולים אפשריים במישור u,v עבור משוואות לוטקה-וולטרה (עבור k=2/3).]]

משוואות לוטקה-וולטרה תלויות בארבעה פרמטרים <math> \alpha,\beta,\gamma,\delta</math>, אך ניתן לבצע rescaling ולהגדיר:
<div style="text-align: center;">
:<math> u=\frac{\delta}{\gamma} x \, \ v=\frac{\beta}{\alpha}y \, \ \tau=\alpha t </math>
</div>
וכך לקבל את המשוואות
<div style="text-align: center;">
<math>\frac{du}{d\tau} = u(1-v)</math>

:<math>\frac{dv}{d\tau} = kv(u-1)</math>
</div>
התלויות בפרמטר יחיד <math>\ k = \gamma/\alpha</math>. למשוואות אלו יש משמעות רק עבור <math> u,v \ge 0 </math> כיוון שכמות בעלי החיים אינה יכולה להיות שלילית.

למשוואות אלו שתי [[נקודת שבת|נקודות שבת]] - <math>\ (u,v) = (0,0),(1,1) </math>.

ניתוח יציבות ליניארית מראה כי נקודת השבת (0,0) היא [[נקודת אוכף]]. בפועל נקודה זו משמשת כ-absorbing state, כלומר, אם מאיזשהי סיבה נוצר מצב בו u=0 (הכחדה של הנטרפים) אזי גם <math> v(\tau) \rightarrow 0</math> (גם הטורפים יכחדו בהיעדר טרף לאכילה). המערכת תשאף למצב (u,v) = (0,0) והיא 'תתקע' בו ללא יכולת לצאת.
מצד שני אם מאיזשהי סיבה v=0 נקבל <math> u(\tau) \rightarrow \infty</math> (אוכלוסיית הנטרפים תגדל ללא הגבלה כאשר אין טורפים).

לנקודת השבת (1,1) יציבות נטרלית (החלק הממשי של [[ערך עצמי|הערכים העצמיים]] של מטריצת ה[[יעקוביאן]] של מערכת המשוואות הליניארית המתאימה מתאפס, והחלק המדומה לא). באופן כללי נקבל אוסילציות סביבה (למעט אם מתחילים עם u=0 או v=0). למציאת צורת המסלול במישור (u,v) ניתן להיעזר בגודל
:<math>\ H=ku+v - \ln(u^{k} v) </math>
המהווה [[גודל שמור]], ולפיכך המסלולים במישור (u,v) הם קווי גובה שלו. כמו כן, קיומו של גודל זה מלמד כי האוסצילציות אינן limit cycle.

== יישומים נוספים ==
למודל '''לוטקה-וולטרה''' ('''Lotka Volterra''') יישומים גם בתחומים נוספים כמו שיווק<ref>{{צ-מאמר|מחבר=Hui-Chih Hung, Yu-Chih Chiu, Muh-Cherng Wu|שם=A Modified Lotka–Volterra Model for Diffusion and Substitution of Multigeneration DRAM Processing Technologies|כתב עת=Mathematical Problems in Engineering|כרך=2017|שנת הוצאה=2017|עמ=1–12|doi=10.1155/2017/3038203|קישור=http://dx.doi.org/10.1155/2017/3038203}}</ref><ref>{{צ-ספר|מחבר=Yair Orbach|שם=Forecasting the Dynamics of Market and Technology|מקום הוצאה=Israel|מו"ל=Ariel University Press|שנת הוצאה=2022|עמ=123-143|ISBN=978-965-7632-40-6}}</ref> וכלכלה<ref>{{צ-ספר|שם=Some quantitative methods and models in economic theory|מו"ל=Nova Publishers|שנת הוצאה=2016|מקום הוצאה=New York|ISBN=978-1-63484-937-1|סדרה=Economic issues, problems and perspectives|מחבר=Alexander V. Prasolov}}</ref>. ניתן לתאר בעזרתו את הדינמיקה בשוק שבו פעילים כמה מתחרים, פלטפורמות ומוצרים משלימים, כלכלה שיתופית ועוד. ישנם מצבים בהם אחד המתחרים דוחק את האחרים ומצבים אחרים בהם נוצר שיווי משקל כאשר כל פירמה מתייצבת על נתח השוק שלה. ניתן גם לתאר מצבים בהם ישנם בענף שינויים מחזוריים או מצבים כאוטיים בהם לא נוצר שיווי משקל.

== לקריאה נוספת ==
* J.D. Murray. Mathematical Biology בהוצאת Springer
* Mohammad Khan (2012) Three Species Population Dynamics Models: Lotka-Volterra : Differential Equations CreateSpace {{ISBN|978-1481803052 1-84}}
* Z.Hou, B.Lisena, Z.Teng, Xinjiang, F.Zanolin (2013) Lotka-Volterra and Related Systems: Recent Developments in Population Dynamics. De Gruyter {{ISBN|978-3110269512}}, 1-236

==קישורים חיצוניים==
{{ויקישיתוף בשורה}}
* {{MathWorld}}
* תוכנה להורדה (בחינם) להפעלת מודל לוטקה וולטרה ומודלים נוספים https://sites.google.com/view/fdmt-software

== הערות שוליים ==
{{הערות שוליים}}

{{בקרת זהויות}}

[[קטגוריה:ערכים שבהם תבנית בריטניקה אינה מתאימה]]
[[קטגוריה:משוואות דיפרנציאליות|לוטקה-וולטרה, משוואות]]
[[קטגוריה:אקולוגיה]]
[[קטגוריה:ביולוגיה מתמטית]]
[[קטגוריה:התנהגות טורפים]]