הצגת המקור של הדף "משוואת הגז האידיאלי"

'''משוואת הגז האידיאלי''' (ב[[אנגלית]]: '''Ideal Gas Law''') היא [[משוואת מצב]], המתארת את היחס בין ה[[גדלים אקסטנסיביים ואינטנסיביים|משתנים האקסטנסיביים והאינטנסיביים]] של [[גז אידיאלי]]. המשתנים אשר לוקחים חלק במשוואה הם ה[[לחץ]] <math>P</math>, ה[[טמפרטורה|טמפרטורה המוחלטת]] <math>T</math>, [[נפח]] הגז <math>V</math> וכמות הגז ב[[מול]]ים <math>n</math>.
המשוואה מתוארת בצורה הבאה:
<math display="block">PV=nRT</math>
כאשר <small><math>R</math></small> הוא [[קבוע הגזים האוניברסלי]].{{ש}}
המשוואה תקפה עבור [[גז אידיאלי|גזים אידיאליים]] - גזים היפותטיים המורכבים מ[[מולקולה|מולקולות]] שאינן מבצעות [[אינטראקציה]] ביניהן, כלומר כל מולקולה נעה באופן עצמאי מיתר המולקולות בגז. גזים אלו אינם בהכרח מכילים חלקיקים נקודתיים ללא מבנה פנימי, אלא עשויים להיות מורכבים ממולקולות פולי-אטומיות עם [[דרגות חופש (פיזיקה וכימיה)|דרגות חופש]] סיבוביות, ויברציוניות וחשמליות. משוואת הגז האידיאלי מתארת את תנועת [[מרכז מסה|מרכזי המסה]] של המולקולות, אשר אכן יכולים להחשב כמסות נקודתיות. לעומת זאת, עבור תכונות אחרות של גז אידיאלי כמו [[אנטרופיה]], למבנה הפנימי של המולקולות תיתכן השפעה.

משוואת הגז האידיאלי מהווה קירוב טוב לחישוב תכונות החומר של גזים רבים והתנהוגתם תחת שלל תנאים ועבור טווח רחב של ערכים, כל עוד שילוב ערכי הטמפרטורה והלחץ רחוק מספיק מהערכים עבורם נוצרת [[התעבות]] או [[המראה (פיזיקה)|המראה]]. למרות זאת, משוואה זו אינה מציינת אם גז מתקרר או מתחמם תחת [[דחיסה (פיזיקה)|דחיסה]] או [[התפשטות תרמית|התפשטות]]. גז אידיאלי מסוגל להישאר באותה טמפרטורה בתהליכים אלו, אך רוב הגזים אינם אידיאליים ומקיימים את [[אפקט ג'ול-תומסון|אפקט ג'ול תומסון]].

== רקע היסטורי ==
העבודה הראשונית על התנהגותם של גזים החלה באירופה בחציה השני של המאה ה-17 על ידי [[רוברט בויל]]. בשנת 1662 הוא ניסח את חוק בויל, אשר אומת מאוחר יותר באופן עצמאי בדיוק רב על ידי [[אדם מריוט]] ולכן החוק נקרא כיום [[חוק בויל-מריוט]].<ref>{{צ-ספר|שם=A defence of the doctrine touching the spring and weight of the air, propos'd by Mr. R. Boyle in his New Physico-Mechanical Experiment... by the author of those experiments|קישור=https://bvpb.mcu.es/en/consulta/registro.cmd?id=406806|מו"ל=Printed by F. G. for Thomas Robinson|שנת הוצאה=1662|מקום הוצאה=London|מחבר=Robert Boyle|עמ=57-68}}</ref> עבודתם על [[אוויר]] בלחצים נמוכים הניבה את ה[[יחס הפוך|יחס ההפוך]] בין ה[[לחץ]] ל[[נפח]], כלומר <small><math>V=\frac KP</math></small> כאשר <small><math>K</math></small> קבוע הנקבע עבור כמות חלקיקי הגז ו[[טמפרטורה]] קבועים.{{ש}}
בסוף המאה ה-17 הפיזיקאי הצרפתי [[גיליאם אמונטונס]] חקר את היחס בין הלחץ והטמפרטורה בגזים. אף על פי שתוצאותיו לקו בחוסר דיוק, הוא הצליח לקבוע כי לחץ גז גדל בקירוב בשליש בין טמפרטורה של <small><math>0 ^{\circ}C</math></small> ל[[טמפרטורת רתיחה|טמפרטורת הרתיחה]] של מים.<ref>{{קישור כללי|כתובת=https://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k35013|הכותב=Académie des sciences (France) Auteur du texte|כותרת=Histoire de l'Académie royale des sciences ... avec les mémoires de mathématique & de physique... tirez des registres de cette Académie|אתר=Gallica|עמודים=112-126|תאריך=1699|שפה=FR|תאריך_וידוא=2021-05-30}}</ref> עבודתו הכינה את הקרקע עבור [[ז'וזף לואי גה-ליסאק]], אשר ניסח ב-1802 את [[חוק גה-ליסאק]] לפיו עבור גז הנמצא בנפח קבוע, הלחץ והטמפרטורה נמצאים ב[[יחס ישר]], כלומר - <small><math>P \propto T</math></small>.<ref>{{קישור כללי|כתובת=https://www.sciencehistory.org/historical-profile/joseph-louis-gay-lussac|כותרת=Joseph Louis Gay-Lussac|אתר=Science History Institute|תאריך=2016-06-01|שפה=en|תאריך_וידוא=2021-05-30}}</ref> בנוסף לכך, ב-1787 נוסח [[חוק שארל]] על ידי הפיזיקאי [[ז'אק שארל]] הקובע כי בלחץ קבוע, נפחה של כמות נתונה של גז גדל ככל שהטמפרטורה גדלה, כלומר מתקיים <small><math>V \propto T</math></small>.<ref>{{קישור כללי|כתובת=https://www.universetoday.com/81872/charles-law/|הכותב=Matt Williams|כותרת=Charles Law|אתר=Universe Today|תאריך=2010-12-03|שפה=en-US|תאריך_וידוא=2021-05-30}}</ref><ref>{{קישור כללי|כתובת=http://web.lemoyne.edu/~giunta/gaygas.html|כותרת=Gay-Lussac|אתר=web.lemoyne.edu|תאריך_וידוא=2021-05-30}}</ref>{{ש}}
בשנת 1811, הכימאי האיטלקי [[אמדאו אבוגדרו]], ניסח על בסיס [[חוק גה-ליסאק]] את [[חוק אבוגדרו]] אשר קובע כי נפחים שווים של גזים כלשהם תחת אותם תנאי טמפרטורה ולחץ מכילים את אותו מספר המולקולות.<ref>{{צ-ספר|שם=Journal de physique, de chimie, d'histoire naturelle et des arts|קישור=https://books.google.com/books?id=MxgTAAAAQAAJ&pg=PA58|מו"ל=Fuchs|שנת הוצאה=1811|שפה=fr|עמ=58-76}}</ref>{{ש}}
ב-1833 [[אמיל קלפרון]] איחד את עבודתם של [[רוברט בויל|בויל]], [[אדם מריוט|מריוט]], [[ז'אק שארל|שארל]] ו[[ז'וזף לואי גה-ליסאק|גה-ליסאק]] ל[[משוואת מצב]] אחת עבור [[גז אידיאלי]] : <small><math>PV=R_0T</math></small>, כאשר <small><math>R_0</math></small> היה קבוע התלוי בסוג הגז.<ref>{{צ-ספר|שם=Journal de l'Ecole royale polytechnique|קישור=https://books.google.com/books?id=1so6AQAAMAAJ&pg=RA1-PA153|מו"ל=la République|שנת הוצאה=1833|שפה=fr|מחבר=Émile Clapeyron|עמ=153-190}}</ref>{{ש}}
בשנת 1845 הפך [[אנרי ויקטור רניו]] את משוואתו של [[אמיל קלפרון|קלפרון]] למשוואה הידועה כיום - <small><math>PV=nRT</math></small>, בכך שהפעיל את [[חוק אבוגדרו]] עבור נפח של [[מול]] אחד של גז אידיאלי. {{ש}}
[[חוק בויל-מריוט|חוק בויל]], [[חוק שארל]], [[חוק גה-ליסאק]] וחוק אבוגדרו הובילו אל משוואת הגז האידיאלי אשר נמצאת בשימוש כיום, אך כל אחד מהם מייצג מקרה מיוחד של המשוואה. חוק בויל מתאר את המשוואה תחת [[תהליך איזותרמי]], חוק שארל תחת [[תהליך איזוברי]], חוק גה-ליסאק תחת [[תהליך איזוכורי]] וחוק אבוגדרו עבור תהליך בו כמות החומר קבועה.

== המשוואה ==
=== הצגה סטנדרטית ===
למשוואת הגז האידיאלי ישנן מספר הצגות שונות. שתי ההצגות הנפוצות ביותר הן:<ref>{{צ-ספר|שם=Equilibrium Thermodynamics|קישור=https://books.google.co.il/books?id=FW4Oz48TWwQC&printsec=frontcover#v=onepage&q&f=false|מו"ל=Cambridge University Press|שנת הוצאה=1983-07-14|ISBN=978-0-521-27456-2|מחבר=C. J. Adkins, Clement John Adkins|שפה=en}}</ref>

<math>PV=nRT=Nk_BT</math>

כאשר:
* <math>P</math> - [[לחץ]] הגז
* <math>V</math> - [[נפח]] הגז
* <math>n</math> - מספר ה[[מול]]ים בגז
* <math>R</math> - [[קבוע הגזים האוניברסלי]]
* <math>N</math> - מספר חלקיקי הגז
* <math>k_B</math> - [[קבוע בולצמן]]
* <math>T</math> - ה[[טמפרטורה|טמפרטורה המוחלטת]] של הגז

[[קבוע הגזים האוניברסלי]] הוא בקירוב <small><math>R= 8.314 \frac J {K\cdot mol}</math></small> וערכו של [[קבוע בולצמן]] הוא <small><math>k_B = 1.38 \times 10^{-23} \frac J K</math></small>.{{ש}}
ב[[מערכת היחידות הבין-לאומית|יחידות SI]] - <math>P</math> נמדד ב[[פסקל (יחידת מידה)|פסקל]], <math>V</math> נמדד ב[[מטר מעוקב|מ"ק]], <math>n</math> נמדד ב[[מול]]ים ו- <math>T</math> נמדד ב[[קלווין]].

=== הצגה מולרית ===
<math>PV=\rho\frac{R}{M}T = \rho R_{specific}T</math>

כאשר <math display="inline">M</math> ה[[מסה מולרית|מסה המולרית]] של הגז ו- <math display="inline">\rho</math> ה[[צפיפות החומר|צפיפות]].

<math display="inline">R_{specific}</math> הוא קבוע הגז הספציפי המוגדר בתור <math display="inline">\frac RM</math> וערכו משתנה עבור גזים שונים.

הניסוח הנ"ל מתקבל מכך שמספר המולים הוא:

<math>n=\frac mM=\frac {\rho V}{M}</math>

כאשר <math>m</math> היא ה[[מסה]] הכוללת של הגז.

על ידי הצבת <math>n</math> בהצגה הסטנדרטית מתקבלת ההצגה המולרית:

<math>PV=nRT=\frac mMRT</math>

<math>P=\frac mV \frac{RT}{M}=\rho\frac{R}{M}T</math>

=== משוואת הגז המשולבת ===
משילוב של [[חוק בויל-מריוט|חוק בויל]], [[חוק שארל]] ו[[חוק גה-ליסאק]] מתקבלת משוואת הגז המשולבת.<ref>{{צ-ספר|שם=General Organic and Biological Chemistry|קישור=https://books.google.com/books?id=iIltMoHUtJUC&pg=PA186|מו"ל=John Wiley & Sons|שנת הוצאה=2009-12-14|ISBN=978-0-470-50476-5|מחבר=Kenneth W. Raymond|שפה=en|עמ=186}}</ref>

<math>\frac {PV}{T} =k</math>

כאשר <math>k</math> קבוע כלשהו.

כלומר, היחס בין מכפלת ה[[נפח]] וה[[לחץ]] <math>PV</math>, ל[[טמפרטורה]] <math>T</math> ע"פ החוקים הנ"ל הוא קבוע.

הצגה נוספת של המשוואה המשולבת מתייחסת לגדלים הללו לפני ואחרי שתהליך התרחש בגז:

<math>\frac {P_1V_1}{T_1} =\frac {P_2V_2}{T_2}</math>

כאשר אגף שמאל מתאר את היחס בו נכללים הנפח, הלחץ והטמפרטורה ההתחלתיים, ואגף שמאל מתאר את היחס עם הגדלים הללו לאחר התהליך.

=== הצגה בממדים גבוהים ===
משוואת הגז האידיאלי תקפה גם כאשר מדובר במערכת בעלת יותר משלושה [[ממד (פיזיקה)|ממדים]].<ref>{{צ-מאמר|שם=Partition function of 1-, 2-, and 3-D monatomic ideal gas: A simple and comprehensive review|קישור=https://www.academia.edu/21531123/Partition_function_of_1_2_and_3_D_monatomic_ideal_gas_A_simple_and_comprehensive_review|מחבר=Siti Khotimah}}</ref>

המשוואה עבור מערכת כזו היא:

<math>P^{(d)}=\frac{Nk_BT}{V^d}</math>

כאשר <math>V^d</math> הוא ה[[נפח]] ה-<math>d</math>-ממדי.

ניתן לראות משיקולי יחידות כי גם הלחץ משתנה עם מספר הממדים.

== פיתוחים ==
=== פיתוח אמפירי ===
החוקים אשר קדמו למשוואת הגז האידיאלי המוכרת כיום והובילו לפיתוחה, התגלו באמצעות ניסויים בהם שינו רק שניים מה[[משתנה אקסטנסיבי|משתנים]] של הגז, בעוד יתר המשתנים נשארו קבועים.
[[קובץ:Ideal gas law relationships.svg|ממוזער|היחסים השונים בין חוקי הגז האידיאלי.]]
החוקים הללו הם:

(1) [[חוק בויל-מריוט|חוק בויל מריוט]] - <small><math display="inline">PV={C_1} \longleftrightarrow P_1V_1=P_2V_2</math></small>.

(2) [[חוק גה-ליסאק]] - <small><math>\frac PT =C_2 \longleftrightarrow \frac{P_1}{T_1}=\frac{P_2}{T_2}</math></small>.

(3) [[חוק שארל]] - <small><math>\frac VT =C_3 \longleftrightarrow \frac{V_1}{T_1}=\frac{V_2}{T_2}</math></small>.

(4) [[חוק אבוגדרו]] - <small><math>\frac VN =C_4 \longleftrightarrow \frac{V_1}{N_1} = \frac{V_2}{N_2}</math></small>.

(5) <small><math>NT=C_5 \longleftrightarrow{N_1}{T_1}={N_2}{T_2}
</math></small>.

(6) <small><math>\frac PN=C_6 \longleftrightarrow\frac {P_1}{N_1}=\frac{P_2}{N_2}
</math></small>.

כאשר <math display="inline">P</math> הוא הלחץ, <math>V</math> הנפח, <math>T</math> הטמפרטורה ו-<math>N</math> מספר החלקיקים.

<math display="inline">C_1,C_2,C_3,C_4,C_5,C_6</math> אינם קבועים באופן כללי, אך בפיתוח נתייחס אליהם כך מכיוון שבכל משוואה בה ייעשה שימוש יהיה צורך רק במשתנים שצוינו במפורש.

הפיתוח מתחיל עם גז בעל המאפיינים <small><math display="inline">P_1,V_1,T_1,N_1</math></small> עליו מבצעים תהליכים אשר משנים את גודל משתנים אלו בשלבים.

תחילה משנים רק את הנפח ומספר החלקיקים, ובהתאם ל[[חוק אבוגדרו]]:

(7) <small><math>\frac{V_1}{N_1} = \frac{V_2}{N_2}</math></small>

לאחר תהליך זה הגז יהיה בעל המאפיינים <small><math display="inline">P_1,V_2,T_1,N_2</math></small>.

כעת משנים את הטמפרטורה והלחץ. לפי [[חוק גה-ליסאק]]:

(8) <small><math>\frac{P_1}{T_1}=\frac{P_2}{T_2}</math></small>

לאחר תהליך זה הגז יהיה בעל המאפיינים <small><math display="inline">P_2,V_2,T_2,N_2</math></small>.

בשלב הבא משנים את הנפח והלחץ, ועל פי [[חוק בויל-מריוט|חוק בויל מריוט]]:

(9) <small><math>P_2V_2=P_3V_3</math></small>

לאחר תהליך זה הגז יהיה בעל המאפיינים <small><math display="inline">P_3,V_3,T_2,N_2</math></small>.

לבסוף נשנה את הטמפרטורה ומספר החלקיקים. ממשוואה (5) מתקבל:

(10) <small><math>{N_2}{T_2}={N_3}{T_3}
</math></small>

לאחר תהליך זה הגז יהיה בעל המאפיינים <small><math display="inline">P_3,V_3,T_3,N_3</math></small>.

ממכפלת משוואות (7) ו- (8) והשוואה למשוואות (9) ו-(10) מתקבל כי:

<small><math>\frac{P_1V_1}{T_1N_1}=\frac{P_2V_2}{T_2N_2}=\frac{P_3V_3}{T_3N_3}=K_B</math></small>

כאשר <small><math display="inline">K_B</math></small> הוא [[קבוע בולצמן]].

ובאופן כללי - <small><math>\frac{PV}{TN}=K_B</math></small>.

בצורה דומה ניתן להגיע אל ההצגה המקבילה בה מופיעים מספר ה[[מול]]ים <math>n</math> ו[[קבוע הגזים]] <math>R</math>, על ידי שימוש בכך ש- <small><math display="inline">nR=NK_B</math></small> ולכן מתקיים:

<small><math>PV=Nk_BT=nRT</math></small>

=== פיתוח ניסיוני ===
ניתן לפתח את משוואת הגז האידיאלי על ידי שימוש בתוצאות של מדידות ה[[טמפרטורה]], ה[[לחץ]] וה[[נפח]] ומציאת ה[[גבול (מתמטיקה)|גבולות]] המתאימים.<ref name=":0">{{צ-ספר|מחבר=Mark W. Zemansky & Richard H. Dittman|שם=Heat and Thermodynamics|מהדורה=Seventh Edition|עמ=106-108|פרק=5}}</ref>

נניח כי ה[[לחץ]] <math>P</math> וה[[נפח]] <small><math>V</math></small> של <math>n</math> [[מול]]ים של גז המוחזקים תחת [[טמפרטורה]] קבועה כלשהי נמדדים על טווח רחב של לחצים וטווח רחב של ערכי המכפלה <math>Pv</math>.

נסמן את ה[[נפח מולרי|נפח המולרי]] בתור <small><math>v=\frac Vn</math></small>.

את היחס בין <math>Pv</math> ל- <math>P</math> ניתן להביע באמצעות טור חזקות מהצורה הבאה:{{ש}}
<math>Pv=A(1+BP+CP^2+...)</math>

כאשר <math>A,B,C</math> וכו' נקראים המקדמים הויראליים והם תלויים בטמפרטורה ובאופי הגז.

בטווח הלחצים בין 0 ל-40 [[לחץ אטמוספירי|אטמוספירות]] היחס בין <math>Pv</math> ל- <math>P</math> הוא בקירוב [[יחס ישר|ישר]], כך שרק שני המקדמים הראשונים משמעותיים. באופן כללי, ככל שהלחץ גדל כך גדל גם מספר הרכיבים בטור.
מהקשר בין <math>Pv</math> ל- <math>P</math> המתקבל עבור גזים שונים באותה [[טמפרטורה]], אפשר לראות כי כאשר <math display="inline">P\to0</math> המכפלה <math>Pv</math> היא באותו גודל עבור כל הגזים. מכך נובע כי המקדם הויראלי הראשון <math>A</math> הוא בלתי תלוי באופי הגז ולכן תלוי רק בטמפרטורה, כלומר: <math display="inline">\lim_{P\to0}(Pv)=A(T)</math>.

טמפרטורת הגז האידיאלי מוגדרת באמצעות הלחץ ב[[נקודה משולשת|נקודה המשולשת]], <math>P_{TP}</math><ref name=":0" />, על פי הביטוי הבא:

<math>T=273.16K \lim_{P_{TP}\to0}(\frac P {P_{TP}})</math>

ואת ביטוי זה ניתן לפתח על ידי מכפלה ב- <small><math>\frac Vn</math></small> של המונה והמכנה של הגבול הנ"ל:

<math>T=273.16K \lim\frac{P\frac {V} {n}} {{P_{TP}}\frac {V} {n}}= 273.16K \frac {\lim (Pv)} {\lim (Pv)_{TP}}</math>

וע"י שינוי הניסוח נקבל:

<math>\lim(Pv)=[\frac {\lim(Pv)_{TP}} {273.16K}] T\equiv RT</math>

כאשר <math>R</math> הוא [[קבוע הגזים האוניברסלי]].

בצעד האחרון, נחליף את <math>v</math> חזרה ב- <math display="inline">\frac Vn</math> ובכך נגיע אל המשוואה הרצויה:

<math>\lim(PV)=nRT</math>

מכיוון ש- <math display="inline">\lim(Pv)=A=RT</math>, טור החזקות המלא הוא:

<math>\frac{Pv}{RT} = 1+BP+CP^2+DP^3+...</math>

למקדמים הויראליים חשיבות גבוהה גם ב[[פיזיקה תאורטית]] מכיוון שהם קשורים בין היתר לתכונות מולקולריות.

=== פיתוח באמצעות מכניקה סטטיסטית ===
בפיתוח זה ישנן שתי הנחות מובילות:

# ה[[מולקולה|מולקולות]] המרכיבות את הגז הן מערכות עצמאיות לחלוטין - הן אינן משפיעות אחת על תנועת האחרת.
# מעבר [[אנרגיה]] בין מולקולות הוא אפשרי, כך שהמערכת יכולה להגיע ל[[שיווי משקל תרמודינמי|שיווי משקל תרמי]].

[[פונקציית חלוקה (פיזיקה)|פונקציית החלוקה הקנונית]] היא פונקציה של מספר החלקיקים <math display="inline">N=nN_{A}</math>, ה[[נפח]] <math>V</math> וה[[טמפרטורה]] <math>T</math> המוגדרת בצורה הבאה:

<math>Z(N,V,T)=\sum_{I}e^{-\mathcal{E}_{I}/(k_{B}T)}</math>

כאשר <math>\mathcal{E}_I </math> היא ה[[אנרגיה]] האפשרית ה-<math>I</math> של הגז הכולל, כלומר האנרגיה של כל <math>N</math> המולקולות.

מ[[מכניקת הקוונטים]] ידוע כי לגז במכל גדול סופי יש אנרגיות בדידות, <math>I</math> הוא [[אינדקס (מתמטיקה)|אינדקס]] בדיד המתייג את האנרגיות השונות לפי גודלן. הסכום הוא על כל ה[[ערכים עצמיים|ערכים העצמיים]] (כולל [[ניוון (פיזיקה)|ניוון]]) של ה[[המילטוניאן]] המתאר את המערכת. בנוסף, ה[[אנרגיה חופשית של הלמהולץ|אנרגיה החופשית של הלמהולץ]] נתונה על ידי <math>F=-k_BT ln Z</math>.

מהנחה 1 ניתן להגיד כי האנרגיות <math>\mathcal{E}_I </math> הן סכומי אנרגיות של [[מולקולה|מולקולות]] בודדות <math>\mathcal{E}_i </math>, כלומר:

<math>\mathcal{E}_I=\mathcal{E}_{i_1} +\mathcal{E}_{i_2} +... </math>

האנרגיות הללו הן של מולקולות נפרדות הנעות בצורה עצמאית במכל.

ניתן לרשום את <math>z</math>, [[פונקציית חלוקה (פיזיקה)|פונקציית החלוקה]] עבור המולקולות הבודדות, בצורה הבאה:

<math>z(N,V,T)=\sum_{i}e^{-\mathcal{E}_{i}/(k_{B}T)}</math>

כאשר אין [[אינטראקציה|אינטראקציות]], תחת ההנחה כי הגז מכיל סוג אחד בלבד של מולקולות, את [[פונקציית חלוקה (פיזיקה)|פונקציית החלוקה]] הכוללת <math>Z</math> אפשר לבטא באמצעות <math>z</math> על ידי:

<math>Z(N,V,T)=\sum_{i_{1},i_{2},...}e^{-(\mathcal{E}_{i_{1}}+\mathcal{E}_{i_{2}}+...)/(k_{B}T)}=\sum_{i_{1}}e^{-\mathcal{E}_{i_{1}}/(k_{B}T)} \sum_{i_{2}}e^{-\mathcal{E}_{i_{2}}/(k_{B}T)}...=z^N</math>

הניסוח הנ"ל אינו מדויק לחלוטין מכיוון שבמכניקת הקוונטים מולקולות גז מאותו הסוג הן [[חלקיקים מובחנים ובלתי מובחנים|חלקיקים זהים]], בדיוק כמו [[אלקטרון|אלקטרונים]], ולכן נדרש פקטור של <math display="inline">\frac 1 {N!}</math> כדי להימנע מספירה חוזרת. כלומר הביטוי המלא הוא <math display="inline">Z=\frac {z^N}{N!}</math>.

את ה[[נפח]] ניתן להביע באמצעות [[משוואת מצב|משוואות המצב]] של [[אנרגיה חופשית של הלמהולץ|האנרגיה החופשית של הלמהולץ]] כך שמתקיים:

<math>P= \Bigl(\frac {\partial F}{\partial V}\Bigr)_{N,T}=k_{B}T\Bigl(\frac {\partial \ln{Z}}{\partial V}\Bigr)_{N,T}=
k_{B}T\Bigl(\frac {\partial (N\ln{z}-\ln{N!})}{\partial V}\Bigr)_{N,T}=Nk_{B}T\Bigl(\frac {\partial \ln{z}}{\partial V}\Bigr)_{N,T}</math>

לפי ה[[מכניקה קלאסית|מכניקה הקלאסית]] ו[[מכניקת הקוונטים]], את האנרגיה המולקולרית <math>\mathcal{E}_i </math> המאפיינת את [[מצב מיקרוסקופי|המצב המיקרוסקופי]] ה-<math>i </math> ניתן להפריד במדויק לשני רכיבים <math>\mathcal{E}_i=\mathcal{E}_{i}^{trans}+\mathcal{E}_{i}^{int} </math>, כאשר:
* <math>\mathcal{E}_{i}^{trans} </math> - האנרגיה הטרנסלציונית של [[מרכז מסה|מרכז המסה]] של המולקולה.
* <math>\mathcal{E}_{i}^{int} </math> - [[אנרגיה פנימית|האנרגיה הפנימית]] של המולקולה.

לכן, גם את [[פונקציית חלוקה (פיזיקה)|פונקציית החלוקה]] של אותו [[מצב מיקרוסקופי]] ניתן להביע בצורה דומה:

<math>\mathcal{E}_i=\mathcal{E}_{i}^{trans}+\mathcal{E}_{i}^{int} \Longrightarrow z=z^{trans}z^{int} </math>

[[אנרגיה פנימית|האנרגיה הפנימית]] של המולקולה אינה תלויה ב[[נפח]] <math>V </math>, אך האנרגיה הטרנסלציונית כן תלויה ולכן יתקיים:

<math>P=Nk_{B}T\Bigl(\frac {\partial \ln z^{trans}}{\partial V} + \frac {\partial \ln z^{int}}{\partial V}\Bigr)
=Nk_{B}T\frac {\partial \ln z^{trans}}{\partial V} </math>

האנרגיה הטרנסלציונית של מולקולה אחת הנעה בקופסה בנפח <math>V </math> היא בעיה הניתנת לפתירה בצורה אנליטית. כלומר הפתרון של האנרגיות <math>\mathcal{E}_{i}^{trans} </math> ידוע בדיוק מוחלט והוא:

<math>\mathcal{E}_{n}^{trans}=\frac {\hbar^2} {2m} \Bigl(\frac \pi L\Bigr)^2 n^2=\frac {\hbar^2} {2m} \Bigl(\frac \pi L\Bigr)^2 (n_x^2+n_y^2+n_z^2) </math>

תחת ההנחה כי נפח הקופסה הוא <math display="inline">V=L^3 </math> ומכיוון שמדובר בשלושה [[ממד (פיזיקה)|ממדים]] מתקיים <math display="inline">n^2=(n_x^2+n_y^2+n_z^2) </math>.

בקירוב דיי טוב, ניתן להחליף את הסכום המופיע בביטוי עבור <math>z^{trans} </math> ב[[אינטגרל]] כך ש,

<math>z^{trans}\equiv \sum_{n} e^{-\mathcal{E}_{n}^{trans}/(k_BT)}=
\sum_{n_x,n_y,n_z=1}^\infty e^{-\frac {\hbar^2} {2mk_BT} (\frac {\pi}{L})^2(n_x^2+n_y^2+n_z^2)}=
\biggl(\sum_{n=1}^\infty e^{-\frac {\hbar^2} {2mk_BT} (\frac {\pi}{L})^2n^2}\biggr)^3 \simeq
\int_0^{\infty}e^{-\alpha^2x^2}dx=\frac{\pi^{\frac 32}} {8\alpha^3}\equiv n_QV </math>

כאשר <math display="inline">\alpha^2 =\frac {\hbar^2} {2mk_BT} \Bigl(\frac \pi L \Bigr)^2 ,
n_Q=\Bigl(\frac{mk_BT}{2\pi\hbar^2}\Bigr)^{\frac 32} </math>.

נשים לב לכך ש- <math>n_Q </math> אינו תלוי ב[[נפח]] <math>V </math> ולכן:

<math>P=Nk_{B}T\frac {\partial \ln z^{trans}}{\partial V}=
Nk_{B}T\Biggl(\frac {\partial (\ln V+\ln{n_Q})}{\partial V}\Biggr)=
\frac {Nk_{B}T} {V}</math>

כעת ניתן לקבל את משוואת הגז האידיאלי המלאה:

<math>PV=Nk_BT</math>

=== פיתוח קינטי ===
נסתכל על [[קובייה]] בעלת צלע באורך <math>L</math> המלאה ב[[גז אידיאלי]] בלחץ <math>P</math> בטמפרטורה <math>T</math>.

נסמן את <math>n</math> ו-<math>N</math> בתור מספר ה[[מול]]ים ומספר [[מולקולה|מולקולות]] הגז בקובייה בהתאמה.

בנוסף, נסמן את <math>m</math> בתור מסת מולקולת גז ואת <math>M</math> בתור מסת הגז כולו.

נניח בפיתוח זה כי כל ההתנגשויות המתרחשות בתוך המכל הן [[התנגשות אלסטית|התנגשויות אלסטיות]] - כלומר אין איבוד [[אנרגיה קינטית]] כתוצאה מהתנגשויות.

'''קביעת תדירות ההתנגשויות'''
[[קובץ:Kinetic der.jpg|ממוזער|תנועת המולקולה בקופסה בכיוון <math>\hat x</math> בזמנים השונים. הדופן הרלוונטית לפיתוח היא הדופן הימנית של הקופסה.]]
תחילה, נרצה למצוא את ה[[תדירות]] בה [[מולקולה]] יחידה מתנגשת בדופן '''מסוימת''' של המכל.

נתחיל לשם הפשטות בבחינת המתרחש בכיוון <math>\hat x</math> כאשר המולקולה בזמן <math>t=0</math> נמצאת במיקום <math>x=L-L_0</math> ו[[מהירות]]ה היא <math>\vec v = v_x \hat x</math>.

המולקולה תתנגש בדופן הקובייה לראשונה ב- <math>x=L</math> לאחר שעברה [[מרחק]] <math>L_0</math> בזמן כלשהו <math>t_1</math>.

ההתנגשות השנייה באותה הדופן תתרחש בזמן <math>t_2=t_1+t_{2L}</math> כאשר ה[[מרחק]] שעברה המולקולה בין שתי ההתנגשויות הוא <math>2L</math> ו[[אינטרוול]] הזמן בין שתי ההתנגשויות הוא <math>\Delta t=(t_1+t_{2L})-t_1=t_{2L}</math>.

באופן דומה ההתנגשות השלישית תתרחש בזמן <math>t_3=t_1+2t_{2L}</math>, כך שה[[מרחק]] שהמולקולה עברה בין ההתנגשויות יהיה גם כן <math>2L</math> ו[[אינטרוול]] הזמן יישאר זהה:

<math>\Delta t=t_3-t_2=(t_1+2t_{2L})-(t_1+t_{2L})=t_{2L}</math>

שני הגדלים הללו, ה[[מרחק]] ו[[אינטרוול]] הזמן, יישארו זהים בין כל זוג התנגשויות עוקבות, ולכן ניתן לחשב את גודל המהירות <math>v_x</math> בתור המרחק שהמולקולה עברה חלקי אינטרוול הזמן:

<math>v_1 = \frac {L_0} {t_1},v_2 = \frac {2L} {t_{2L}},v_3 = \frac {2L} {t_{2L}},... </math>

מכיוון שכל ההתנגשויות אלסטיות ואין כוחות חיצוניים, המהירות אינה משתנה במהלך תנועת המולקולה ולכן:

<math>v_1 = v_2 = v_3 = ... = v_x </math>

מכאן ניתן לנסח את אינטרוולי הזמן בין כל זוג התנגשויות עוקבות גם בצורה הבאה:

<math>\Delta t_1 = t_1= \frac {L_0} {v_1}=\frac {L_0} {v_x}
 </math>

<math>\Delta t_2 = t_{2L}=\frac {2L} {v_2}=\frac {2L} {v_x}
 </math>

<math>\Delta t_3 = t_{2L}=\frac {2L} {v_3}=\frac {2L} {v_x}
 </math>

<math>...
 </math>

<math>\Delta t_k = t_{2L}=\frac {2L} {v_k}=\frac {2L} {v_x}
 </math>

הזמן ה[[ממוצע]] <math>t_{avg}</math> בין התנגשויות לאחר <math>k</math> התנגשויות יהיה:<math>t_{avg}=\frac{t_1+t_2+t_3+...+t_k} {k} = \frac{\frac {L_0}{v_x}+{2L}{v_x}+{2L}{v_x}+...+{2L}{v_x}} {k}=
\frac{\frac {L_0}{v_x}+\frac {2L}{v_x} \cdot(k-1)} {k}=\frac{L_0+2L \cdot(k-1)} {kv_x}</math>

וכאשר מספר ההתנגשויות <math>k</math> [[שואף לאינסוף]] נקבל:

<math>t_{avg}=\lim_{k\to\infty}{\frac{L_0+2L \cdot(k-1)} {kv_x}}=\frac{2L}{v_x}</math>

זהו הזמן הממוצע בין התנגשויות המתרחשות על דופן אחת. [[תדירות]] ההתנגשויות אם כך תהיה:

<math>f=\frac{1}{t_{avg}}=\frac {v_x}{2L}</math>

'''חישוב הכוח הפועל על הדופן'''

ה[[כוח (פיזיקה)|כוח]] <math>F</math> מוגדר כקצב שינוי ה[[תנע]] <math>p</math> :

<math>F=\frac{\Delta p}{\Delta t}=f\Delta p</math>

השינוי ב[[תנע]] הוא ההפרש בין התנע לפני ההתנגשות בדופן לתנע לאחר ההתנגשות, כלומר:

<math>\Delta p=p_f-p_i=(-mv_x)-mv_x=-2mv_x</math>

ה[[כוח (פיזיקה)|כוח]] שהדופן מפעילה על המולקולה הוא:

<math>F_{wm}=f\Delta p= -2mv_xf</math>

לפי [[החוק השלישי של ניוטון]], הכוח שהמולקולה תפעיל על הדופן יהיה שווה בגודלו ל- <math display="inline">F_{wm}</math> והפוך בסימנו, כלומר:

<math>F_{mw}=-F_{wm}= 2mv_xf</math>

ניתן כעת להציב את התדירות שחושבה קודם לכן ולקבל:

<math>F_{mw}=2mv_x\cdot \frac {v_x}{2L}=\frac {mv^2_x}{L}</math>

עד לשלב זה התייחסנו רק למקרה בו קיימת מולקולה יחידה. כאשר הכוח יופעל על ידי <math display="inline">N</math> מולקולות הנעות בכיוון <math>\hat x</math> הוא יהיה מהצורה הבאה:<math>F_{N}=\frac {mv^2_{x_1}}{L}+\frac {mv^2_{x_2}}{L}+\frac {mv^2_{x_3}}{L}+...+\frac {mv^2_{x_N}}{L}=\frac mL(v^2_{x_1}+v^2_{x_2}+v^2_{x_3}+...+v^2_{x_N})=\frac mL \biggl(\sum_{i=1}^N v^2_{x_i}\biggr)</math>

מהירות [[RMS]] מוגדרת בצורה הבאה:

<math>v_{rms}^2=\bar v^2=\frac 1N \biggl(\sum_{i=1}^N v^2_{x_i}\biggr)</math>

ולכן ניתן להביע את הכוח המופעל על הדופן גם כך:

<math>F_{N}=\frac {Nm\bar v^2} L</math>

'''מציאת לחץ הגז'''

הגדרת ה[[לחץ]] הפועל על הדופן הוא הכוח שמופעל עליה בידי הגז ל[[שטח|יחידת שטח]], כלומר:

<math>P=\frac {F_{N}}{A}=\frac {Nm\bar v_x^2} {L^3}=\frac {Nm\bar v_x^2} {V}</math>

כאשר <math>A=L^2</math> שטח דופן הקובייה ו- <math>V=L^3</math> נפח הקובייה.

לאורך הפיתוח התייחסנו רק לתנועת מולקולות בכיוון <math>\hat x</math>, כעת נשלב גם את תרומת תנועת המולקולות בשני הכיוונים הנותרים <math>\hat y ,\hat z</math>.

הקשר בין רכיבי הכיוונים השונים של מהירות ה- RMS ניתן לביטוי ע"י:

<math>\bar v^2=\bar v_x^2+\bar v_y^2+\bar v_z^2</math>

כאשר בקירוב גודל שלושת הרכיבים הוא שווה - <math>\bar v_x^2=\bar v_y^2=\bar v_z^2</math>, לכן נקבל כי <math>\bar v^2=3\bar v_x^2</math>.

כאשר נחליף את <math>\bar v_x^2</math> ב-<math>\bar v^2</math> בביטוי ללחץ נקבל כי הלחץ הוא:

<math>P=\frac {Nm\bar v^2} {3V}</math>

'''חישוב אנרגיית הגז האידיאלי'''

[[אנרגיה קינטית|האנרגיה הקינטית]] הנתונה מ[[מכניקה קלאסית|המכניקה הקלאסית]] היא:

<math>E_k=\frac12m \bar v^2</math>

האנרגיה הקינטית עבור [[גז מונואטומי]] הידועה מ[[מכניקה סטטיסטית]] נתונה על יד:

<math>E_k=\frac 32 k_BT</math>

כאשר <math>k_B</math> הוא [[קבוע בולצמן]] ו- <math>T</math> [[טמפרטורה|טמפרטורת]] הגז.

השוואת שני הביטויים לעיל מניבה את הקשר בין מהירות ה-[[RMS]] לטמפרטורה:

<math>3k_BT= m\bar v^2</math>

'''מציאת משוואת הגז האידיאלי'''

על ידי שילוב שני הקשרים שנמצאו בשלבים הקודמים, ניתן להגיע לביטוי הרצוי של משוואת הגז האידיאלי:

<math>P=\frac {Nm\bar v^2} {3V}=\frac {3Nk_BT} {3V}</math>

<math>\Rightarrow PV={Nk_BT}</math>

בנוסף, מהביטוי שהתקבל ניתן לנסח את מהירות ה- RMS כמשוואה המכילה גדלים מדידים:

<math>\bar v^2=\frac {3PV} {mN} </math>

<math>\Rightarrow v_{rms}=\bar v = \sqrt{\frac {3PV}{M}}=\sqrt{\frac {3nRT}{M}}=\sqrt{\frac {3RT}{M_w}}</math>

כאשר <math>M_w</math> היא [[מסה מולקולרית|המסה המולקולרית]] של הגז האידיאלי.

== שימושים בתחום הרפואה ==
למשוואת הגז האידיאלי ונגזרותיה שימושים גם בתחום ה[[רפואה]].

==== השפעת הגובה על נפח גזים בגוף האדם ====
באמצעות [[חוק בויל-מריוט|חוק בויל]] ניתן לתאר את השפעת [[גובה פני הים|הגובה מעל פני הים]] על גזים בחללים סגורים בגוף האדם, ולחשב את לחץ הגז הכולל בחלל [[בית החזה]] באמצעות פלטיזמוגרפיה.

כאשר הגובה גדל, ה[[לחץ אמביינטי|לחץ האמביינטי]] יורד ולכן על פי חוק בויל נפח החללים הסגורים אמור להתרחב.

במודל מלאכותי שהיווה העתק של [[מערכת הנשימה]] האנושית עם [[חזה אוויר]] של 40 [[מיליליטר]], נצפתה עליה בנפח בטווח של 16.2%-12.7% בגובה של כ־1500 מטר מ[[גובה פני הים]].<ref>{{צ-מאמר|שם=Pneumothorax volume expansion in helicopter emergency medical services transport|קישור=https://pubmed.ncbi.nlm.nih.gov/23632222/|כתב עת=Air Medical Journal|שנת הוצאה=2013-05|עמ=138–143|כרך=32|doi=10.1016/j.amj.2012.10.014|מחבר=Derek Knotts, Annette O. Arthur, Peyton Holder, Tim Herrington}}</ref> לתוצאה זו חשיבות רבה במקרים בהם נדרש פינוי של החולה בהליקופטר וחזה האוויר עלול לעבור למצב של חזה אוויר בלחץ, תרחיש אשר ניתן למנוע על ידי ביצוע ניקור חזה לפני ההמראה.

בגובה של 2.5 ק"מ מעל גובה פני הים משוערת התרחבות של עד כ-30% עבור נפח גז סגור בגוף האדם.

באמצעות חוק בויל - <small><math display="inline">P_1V_1=P_2V_2</math></small>, ניתן לחשב את השינוי הצפוי לנפח עבור בגבהים השונים.

לדוגמה, עבור חולה עם חזה אוויר של 40 מיליליטר בגובה פני הים, נחשב את השינוי בנפח כאשר יגיע לגובה של 1500 מטר.

הנתונים הידועים הם:

<small><math display="inline">P_1=1 [Atm], P_2=0.84[Atm],V_1=40[mL]</math></small>

מהצבה בחוק בויל נקבל:

<small><math display="inline">P_1V_1=P_2V_2 \rightarrow V_2= \frac {P_1V_1}{P_2}=\frac {1\cdot40}{0.85}\simeq47.06[mL]</math></small>

==== ריכוז חומרי הרדמה ====
חוק הגז האידיאלי יכול לשמש לחישוב [[ריכוז (כימיה)|ריכוז]] [[תרופות להרדמה|חומרי הרדמה]] ב[[תערובת|תערובות]] גזים.<ref>{{צ-מאמר|שם=Methods to produce calibration mixtures for anesthetic gas monitors and how to perform volumetric calculations on anesthetic gases|קישור=https://pubmed.ncbi.nlm.nih.gov/1453187/|כתב עת=Journal of Clinical Monitoring|שנת הוצאה=1992-10|עמ=279–284|כרך=8|doi=10.1007/BF01617909|מחבר=P. L. Christensen, J. Nielsen, T. Kann}}</ref>

מכשירים המיועדים לניטור ריכוז חומרי הרדמה בתערובת גזים לרוב מציגים את התוצאה בחלק היחסי באחוזים מהנפח הכולל, המוגדר בצורה הבאה:

<math>volume\,% =\frac{V_p\times 100}{V_{tot}} </math>

כאשר:
* <math>V_p</math> - נפח חומר ההרדמה.
* <math>V_{tot}</math> - הנפח הכולל של תערובת הגזים.

כשרוצים לחשב את ההשפעה של חומר הרדמה על נפח נתון של גז, הגדרה זו אינה שימושית כל כך. הגודל המשמעותי הוא מספר המולקולות, או מספר המולים, של חומר ההרדמה המוכלים ביחידת נפח של תערובת הגז. עבור [[גז אידיאלי]] ההגדרה לעיל של החלק היחסי מהנפח הכולל עובדת כנדרש, זאת מכיוון שעל פי משוואת הגז האידיאלי בלחץ וטמפרטורה קבועים יחידת נפח של הגז תכיל תמיד את אותו מספר המולים. במילים אחרות, כאשר הלחץ והטמפרטורה קבועים, נפח הגז [[פרופורציונלי]] למספר המולים.

לכן, את ריכוז חומר ההרדמה בתערובות ניתן לתאר באחוזים ממספר המולים הכולל, כלומר:

<math>volume\,% =moles\,% </math>

במקרים בהם משוואת הגז האידיאלי אינה שמישה, המשוואה שיש להשתמש בה היא משוואת הגז הריאלי (באנגלית: '''Real Gas Law'''):

<math>\frac {PV}{nRT}=Z</math>

כאשר <math>Z</math> הוא [[פקטור הקומפרסיביליות]], המתאר את היחס בין הנפח האמיתי של הגז לנפח המחושב באמצעות משוואת הגז האידיאלי. לכן, עבור גז אידיאלי מתקיים <math>Z=1</math>.

כאשר משתמשים במשוואת הגז הריאלי, אין זה שימושי בחלק היחסי מהנפח כמדד לריכוז - מספר המולים והנפח אינם פרופורציונליים במקרה זה ולכן אין שוויון בין החלק היחסי מהנפח הכולל לחלק היחסי ממספר המולים הכולל.

כדי שהשימוש בחלק היחסי מהנפח יהיה תקין, יש צורך למצוא את פקטור הקומפרסיביליות - אם הוא שווה ל-1 או קרוב ברמת הדיוק הרצויה ל-1 ניתן להשתמש במשוואת הגז האידיאלי לחישוב הריכוז. אם לא, יש להשתמש במדד של מספר מולים ליחידת נפח בתערובת.

בניסוי בו מדדו את פקטור הקומפרסיביליות עבור תערובות של [[חמצן]] עם חומרי ההרדמה [[איזופלורן]], [[אנפלורן]] ו[[הלותאן]] ב[[טמפרטורת החדר]] ו[[לחץ אטמוספירי]], נמצא כי ניתן לתאר את ריכוז חומרי ההרדמה באמצעות משוואת הגז האידיאלי עם [[אי-ודאות במדידה|אי ודאות]] של 0.3%.

לכן, באופן כללי אין צורך להתחשב בסטייה ממשוואת הגז האידיאלי והחלק היחסי מהנפח הוא מדד תקין לחישוב ריכוז חומר ההרדמה בתערובת.

== ראו גם ==
* [[גז אידיאלי]]
* [[גז ואן דר ואלס]]
* [[תרמודינמיקה]]
* [[מכניקה סטטיסטית]]

== קריאה נוספת ==
* Herbert B. Callen, '''Thermodynamics and an Introduction to Thermostatistics''', Second Edition, University of Pennsylvania: John Wiley & Sons
*Mark W. Zemansky & Richard H. Dittman, Heat and Thermodynamics, Seventh Edition, New York: McGraw-Hill, {{ISBN|0-07-017059-2}}

== קישורים חיצוניים ==
{{ויקישיתוף בשורה}}

== הערות שוליים ==
{{הערות שוליים}}
{{תרמודינמיקה}}
{{נושאים במכניקה סטטיסטית}}

[[קטגוריה:ערכים שבהם תבנית בריטניקה אינה מתאימה]]
[[קטגוריה:גז אידיאלי]]
[[קטגוריה:חוקי התרמודינמיקה]]
[[קטגוריה:חוקי גזים]]