הצגת המקור של הדף "משוואת פואסון"

'''משוואת פואסון''' היא [[משוואה דיפרנציאלית חלקית]] עם שימושים רבים ב[[אלקטרוסטטיקה]], [[הנדסת מכונות]] ו[[פיזיקה]] תאורטית. היא נקראת על שם ה[[מתמטיקאי]] וה[[פיזיקאי]] [[צרפת|הצרפתי]] [[סימאון דני פואסון]].

משוואת פואסון היא:

:<math>\Delta\varphi=f</math>

כאשר <math>\Delta</math> הוא [[אופרטור]] לפלס או [[לפלסיאן]] ו-<math>f,\varphi</math> הן [[פונקציה|פונקציות]] מרחביות. כאשר המרחב הוא [[מרחב אוקלידי]] מסמנים את הלפלסיאן כך: <math>{\nabla}^2</math> ומשוואת פואסון נכתבת בצורה הבאה:

<math>{\nabla}^2 \varphi = f</math>

במרחב תלת־ממדי ב[[מערכת צירים קרטזית]] המשוואה היא מהצורה הבאה:
<math>
\left( \frac{\partial^2}{\partial x^2} + \frac{\partial^2}{\partial y^2} + \frac{\partial^2}{\partial z^2} \right)\varphi(x,y,z) = f(x,y,z).
</math>

כאשר המשוואה היא [[משוואה הומוגנית|הומוגנית]] (<math>f=0</math>) משוואת פואסון הופכת ל[[משוואת לפלס]], והפונקציה המקיימת אותה נקראת [[פונקציה הרמונית]]:
:<math>\nabla^2 \varphi = 0</math>

משוואת פואסון ניתן לפתור על ידי [[פונקציית גרין]]. ישנן גם [[אנליזה נומרית|שיטות נומריות]] רבות לפתרון. '''שיטת הרלקסציה''' היא אחת מהן.

==אלקטרוסטטיקה==
אחת מאבני היסוד של ה[[אלקטרוסטטיקה]] היא הצגת הבעיה המתוארת על ידי משוואת פואסון. מציאת <math>\varphi</math> עבור <math>f</math> נתונה היא בעיה חשובה ועל ידי כך מוצאים את פונקציית ה[[פוטנציאל חשמלי|פוטנציאל החשמלי]] עבור התפלגות [[מטען חשמלי|מטענים]] נתונה. במערכת יחידות [[SI]]:

:<math>{\nabla}^2 \Phi = - {\rho \over \epsilon_0}</math>
 
כאשר  <math> \Phi \! </math> הוא הפוטנציאל החשמלי (ב[[וולט]]),  <math> \rho \!</math> היא [[צפיפות מטען|צפיפות המטען]] (ב[[קולון]] למטר בשלישית) ו-<math> \epsilon_0 \!</math> היא ה[[פרמיטיביות]] של הריק (ב[[פאראד]] למטר). 

באזור במרחב שבו אין מטענים מתקיים: <math>\rho = 0 </math> והמשוואה לפוטנציאל הופכת ל[[משוואת לפלס]]:

:<math>{\nabla}^2 \Phi = 0</math>

==פוטנציאל של התפלגות מטענים גאוסיאנית==
ב[[התפלגות נורמלית|התפלגות גאוסיאנית]] תלת־ממדית ספירית סימטרית של צפיפות המטען <math>\ \rho(r) </math> מתקיים:

:<math> \rho(r) = \frac{Q}{\sigma^3\sqrt{2\pi}^3}\,e^{-r^2/(2\sigma^2)}</math>

כאשר '''<math>Q</math>''' הוא המטען הכולל, הפתרון <math>\ \Phi(r)</math> של משוואת פואסון:

:<math>{\nabla}^2 \Phi = - { \rho \over \epsilon_0 } </math>

נתון על ידי:

:<math> \Phi(r) = { 1 \over 4 \pi \epsilon_0 } \frac{Q}{r}\,\mbox{erf}\left(\frac{r}{\sqrt{2}\sigma}\right)
</math>
כאשר <math>\mbox{erf}\,(x)</math> היא [[פונקציית השגיאה]].
ניתן לבדוק את נכונות הפתרון על ידי הערכה של <math>{\nabla}^2 \Phi</math>.
שימו לב שעבור <math>r</math> גדול בהרבה מ-<math>\sigma</math>, <math>\mbox{erf}\,(x)</math> מתקרבת ל-1 והפוטנציאל <math>\ \Phi(r)</math> שואף לפוטנציאל של מטען נקודתי <math> { 1 \over 4 \pi \epsilon_0 } {Q \over  r} </math>, כצפוי.

==ראו גם==
* [[משוואת לפלס]]

==קישורים חיצוניים==
{{ויקישיתוף בשורה}}
* {{MathWorld}}

{{בקרת זהויות}}

[[קטגוריה:ערכים שבהם תבנית בריטניקה אינה מתאימה]]
[[קטגוריה:משוואות דיפרנציאליות|פואסון, משוואת]]
[[קטגוריה:חשמל]]
[[קטגוריה:תורת הפוטנציאל]]