הצגת המקור של הדף "משוואת צ'פמן-קולמוגורוב"

ב[[מתמטיקה]], ובמיוחד ב[[תהליך סטוכסטי|תהליכים הסטוכסטיים]] מרקוביים ב[[תורת ההסתברות]], '''משוואת צ'פמן-קולמוגורוב''' היא זהות המתייחסת להתפלגויות ההסתברות המשותפות של קבוצות שונות של קואורדינטות בתהליך סטוכסטי. המשוואה נגזרה באופן עצמאי במקביל הן על ידי המתמטיקאי הבריטי סידני צ'פמן והן המתמטיקאי הרוסי [[אנדריי קולמוגורוב]].

== תיאור מתמטי ==
נניח ש-<math>\{f_i\}</math> הוא אוסף מאונדקס של משתנים אקראיים, כלומר תהליך סטוכסטי. נגדיר

: <math>p_{i_1,\ldots,i_n}(f_1,\ldots,f_n)</math>

כפונקציית צפיפות ההסתברות המשותפת של ערכי המשתנים האקראיים <math>f_1</math> עד <math>f_n</math>. ואז, משוואת צ'פמן-קולמוגורוב היא:

: <math>p_{i_1,\ldots,i_{n-1}}(f_1,\ldots,f_{n-1})=\int_{-\infty}^{\infty}p_{i_1,\ldots,i_n}(f_1,\ldots,f_n)\,df_n</math>


נשים לב שעדיין לא הונח שום דבר לגבי הסדר הזמני של המשתנים האקראיים - המשוואה שלעיל חלה באותה מידה על דחיקה לשוליים של כל אחד מהם.

== יישום לשרשראות מרקוב מורחבות זמן ==
כאשר התהליך הסטוכסטי הנדון הוא [[שרשרת מרקוב|מרקוביאני]], משוואת צ'פמן-קולמוגורוב שקולה לזהות על צפיפות מעבר. בשרשרת מרקוב, מניחים ''ש-<math>i_1<...<i_n</math>''. ואז, בגלל תכונת מרקוב,

: <math>p_{i_1,\ldots,i_n}(f_1,\ldots,f_n)=p_{i_1}(f_1)p_{i_2;i_1}(f_2\mid f_1)\cdots p_{i_n;i_{n-1}}(f_n\mid
f_{n-1}),</math>

שבו ההסתברות המותנית <math>p_{i;j}(f_i\mid f_j)</math> היא [[שרשרת מרקוב|הסתברות המעבר]] בין הזמנים <math>i>j</math> . אז, משוואת צ'פמן-קולמוגורוב נראית מהצורה:

: <math>p_{i_3;i_1}(f_3\mid f_1)=\int_{-\infty}^\infty p_{i_3;i_2}(f_3\mid f_2)p_{i_2;i_1}(f_2\mid f_1) \, df_2.</math>

באופן לא רשמי, זה אומר שניתן למצוא את ההסתברות לעבור ממצב 1 למצב 3 מההסתברויות לעבור מ-1 למצב ביניים 2 ולאחר מכן מ-2 ל-3, על ידי חיבור של כל מצבי הביניים האפשריים 2.

כאשר התפלגות ההסתברות על מרחב המצב של שרשרת מרקוב היא בדידה ושרשרת מרקוב הומוגנית, ניתן לבטא את משוואות צ'פמן-קולמוגורוב במונחים של [[כפל מטריצות|כפל מטריצה]] (פוטנציאלית אינסופי ממדי), כך:

: <math>P(t+s)=P(t)P(s)\,</math>

כאשר ''<math>P(t)</math>'' היא מטריצת המעבר של קפיצה ''<math>t</math>'', כלומר, ''<math>P(t)</math>'' היא המטריצה כך שמצב ''<math>(i,j)</math>'' מכיל את ההסתברות שהשרשרת תעבור ממצב ''<math>i</math>'' למצב ''<math>j</math>'' ב-''<math>t</math>'' שלבים.

כתוצאה מכך נובע שכדי לחשב את מטריצת המעבר של קפיצה ''<math>t</math>'', מספיק להעלות את מטריצת המעבר של קפיצה אחת בחזקת ''<math>t</math>'', כלומר:

: <math>P(t)=P^t</math>.

הצורה הדיפרנציאלית של משוואת צ'פמן-קולמוגורוב ידועה [[משוואת מסטר|כמשוואת מאסטר]].

==קישורים חיצוניים==
* {{MathWorld}}

[[קטגוריה:משוואות|צ'פמן-קולמוגורוב]]
[[קטגוריה:תהליכים סטוכסטיים]]
[[קטגוריה:תורת ההסתברות]]
[[קטגוריה:אקראיות]]