הצגת המקור של הדף "משוואת קושי-אוילר"

'''משוואת קושי-אוילר''' (לעיתים נקראת '''משוואת אוילר''' בלבד) היא [[משוואה דיפרנציאלית רגילה]], אשר לה דרך פתרון ייחודית שקשורה לפתרון [[משוואה דיפרנציאלית ליניארית|משוואות דיפרנציאליות ליניאריות]] עם מקדמים קבועים. קרויה על שמותיהם של המתמטיקאים [[אוגוסטן לואי קושי]] ו[[לאונרד אוילר]].

==הגדרה פורמלית==
צורתה הכללית של '''משוואות אוילר ההומוגנית''' היא כלהלן:

<math>\sum_{i=0}^{n}{{{a}_{i}{x}^{i}}\cdot{y}^{(i)}(x)}={a}_{n}{x}^{n}{y}^{(n)}+{a}_{n-1}{x}^{n-1}{y}^{(n-1)}+...{a}_{0}{y}=0</math>

כאשר המקדמים <math>a_i</math> הם מספרים ממשיים, ו-<math>y(x)</math> היא [[פונקציה ממשית]] משתנה. הסדר של המשוואה הנ"ל הוא <math>n</math> אם מתקיים <math>a_n \neq 0</math>. במקרה זה, היות שמדובר ב[[משוואה ליניארית]] הומוגנית, יש לה n פתרונות בלתי תלויים המהווים [[מרחב וקטורי]].

'''משוואות אוילר הלא הומוגנית''' היא מהצורה:

<math>{a}_{n}{x}^{n}{y}^{(n)}+{a}_{n-1}{x}^{n-1}{y}^{(n-1)}+...{a}_{0}{y}=f(x)</math>

כאשר המקדמים ממשיים ו-<math>f</math> היא פונקציה ממשית כלשהי.

לעיתים דנים במשוואה המנורמלת, כלומר כאשר המקדם של הנגזרת מהסדר הגבוה ביותר הוא 1. במשוואה מסדר <math>n > 0</math>, תמיד ניתן להגיע לצורה זו על ידי חלוקה במקדם, ולכן מעתה נתייחס למשוואה כבצורה:

<math>{x}^{n}{y}^{(n)}+{a}_{n-1}{x}^{n-1}{y}^{(n-1)}+...{a}_{0}{y}=f(x)</math>

==דוגמאות==

נציג מספר משוואות אוילר.

#<math>{x}^{2}{y}''+2xy'-2y=0</math> - אפשר להיווכח בכך ש-<math>y(x)=\frac {1}{{x}^{2}}</math> וגם <math>y(x)=x</math> הם פתרונות בלתי-תלויים למשוואה, ולכן [[צירוף ליניארי]] שלהם הוא הפתרון הכללי.
#<math>{x}^{2}{y}''-x{y}'+y=0</math> - הפונקציה <math>y(x)=x</math> היא פתרון למשוואה, כמו גם <math>y(x)=xln(x)</math>. היות שהם בלתי-תלויים ליניארית, שניהם מהווים בסיס ולכן הפתרון הכללי הוא צירוף ליניארי של שני אלו.
#<math>{x}^{2}{y}''+xy'+y=0</math> - שני הפתרונות הבלתי-תלויים למשוואה הם <math>{ y }_{ 1 }(x)=sin(ln(x)), { y }_{ 2 }(x)=cos(ln(x))</math>.

==מעבר למשוואה עם מקדמים קבועים==
עובדה חשובה אודות משוואת אוילר היא שהיא שקולה ל[[משוואה דיפרנציאלית ליניארית|משוואה ליניארית]] עם מקדמים קבועים - משוואה מהצורה

<math>\sum_{i=0}^{n}{{{a}_{i}}\cdot{y}^{(i)}(x)}={a}_{n}{y}^{(n)}+{a}_{n-1}{y}^{(n-1)}+...{a}_{0}{y}=0</math>

השקילות מתבצעת על ידי ההצבה <math>x=\operatorname{sgn}(x){e}^{t}</math>. לצורך הפשטות, נניח שלפנינו משוואת אוילר הבאה: <math>{ x }^{ 2 }y''+{a}_{1}xy'+{a}_{0}{y}=0</math>

אם נגביל את הדיון עבור <math>x>0</math>, נשתמש בהצבה <math>x={e}^{t}</math>, ומתוכה נקבל <math>t=ln(x)</math>. הנגזרות נתונות, לפי [[כלל השרשרת]], על ידי:

<math>y'=\frac{dy}{dx}=\frac{dy}{dt}\frac{dt}{dx}=\frac{1}{x}\frac{dy}{dt}={e}^{-t}\frac{dy}{dt}</math>

<math>y''=\frac{d}{dx}\frac{dy}{dx}=\frac{d}{dt}({e}^{-t}\frac{dy}{dt})\frac{dt}{dx}=(-{e}^{-t}\frac{dy}{dt}+{e}^{-t}\frac{{d}^{2}y}{d{t}^{2}}){e}^{-t}</math>

אם נציב חזרה על המשוואה המקורית נקבל:
<math>\frac{{d}^{2}y}{d{t}^{2}}+({a}_{1}-1)\frac{dy}{dt}+{a}_{0}y=0</math>, אכן משוואה ליניארית עם מקדמים קבועים.

==שיטת פתרון המשוואה ההומוגנית==
משוואת אוילר ההומוגנית שקולה ל[[משוואה דיפרנציאלית ליניארית|משוואה ליניארית]] עם מקדמים קבועים. פתרון של משוואה ליניארית עם מקדמים קבועים הוא [[אקספוננט]] ולכן גם פתרון המשוואה הנ"ל לפי t הוא אקספוננט: <math>y(t)={e}^{rt}</math>. אם נחזור למשתנה x, נקבל: <math>y(x)={x}^{r}</math>. לכן, הפתרון של משוואת אוילר נתון על ידי חזקה של x.

לאור עובדה זו, בדרך כלל אין שימוש בפועל בשיטה של מעבר למשוואה ליניארית. אלא, מנחשים פתרון מהצורה הנ"ל, ומוצאים את r שיקיים אותו. אם נחזור לדוגמה של משוואה מסדר 2 כלעיל, ננחש פתרון מהצורה הבאה: <math>y={x}^{r},\quad y'=r{x}^{r-1},\quad y''=r(r-1){x}^{r-2}</math>.

על ידי הצבה:

<math>{x}^{2}\cdot r(r-1){x}^{r-2}+{a}_{1}x\cdot r{x}^{r-1}+{a}_{0}{x}^{r}=0</math>

כלומר

<math>{x}^{r}\cdot[r(r-1)+{a}_{1}r+{a}_{0}]=0</math>.

זה גורר שבהכרח מתאפס הפולינום לפי r: <math>r(r-1)+{ a }_{ 1 }r+{ a }_{ 0 }=0</math>. פולינום זה נקרא '''המשוואה האינדיציאלית''' של המד"ר. פתרון המשוואה יביא אל הפתרון הכללי של המשוואה הדיפרנציאלית המקורית.

===דוגמה===
כעת נפתור את המשוואה שהובאה בדוגמה 1 לעיל: <math>{x}^{2}{y}''+2xy'-2y=0</math>.

המשוואה האינדיציאלית היא <math>r(r-1)+2r-2=(r-1)(r+2)</math> ששורשיה הם <math>r=1,-2</math>. לכן, הפתרונות הבלתי-תלויים למשוואה הם <math>y(x)=\frac {1}{{x}^{2}}</math> וגם <math>y(x)=x</math>, כנאמר לעיל.

===סוגי פתרונות אפשריים===
השורשים של המשוואה האינדיציאלית יכולים להתחלק לכמה סוגים:
#שורש ממשי עם ריבוי - לכל שורש <math>r</math> המופיע בריבוי <math>m</math> במשוואה האינדיציאלית, הפתרונות הם: <math>{x}^{r},{x}^{r}\ln(x),...,{x}^{r}{\ln}^{m-1}x</math>.
#שורש מרוכב - אם <math>a+bi</math> הוא שורש, אז גם <math>a-bi</math> הוא שורש, והפתרון עבורם נתון על ידי: <math>{x}^{a}\cos(b\cdot \ln(x)),\quad{x}^{a}\sin(b\cdot\ln(x))</math>
#שורש מרוכב עם ריבוי - אם <math>a+bi</math> הוא שורש מרוכב עם ריבוי m, אזי הפתרונות הם: <math>{x}^{a}\cos(b\cdot \ln(x)),{x}^{a}\sin(b\cdot\ln(x)),...,{\ln}^{m-1}(x)\cdot{x}^{a}\cos(b\cdot\ln(x)),{ln}^{m-1}(x)\cdot{x}^{a}\sin(b\cdot\ln(x))</math>

==שיטת פתרון המשוואה הלא הומוגנית==
כמו בכל משוואה ליניארית, גם כאן הפתרון למשוואה הלא הומוגנית הוא פתרון ההומוגנית ועוד פתרון פרטי של הלא הומוגנית. לכן, פתרון בעיה זו מתחלק לשני שלבים: ראשית, יש למצוא את הפתרון למשוואה ההומוגנית, בשיטה שתוארה לעיל. שנית, יש למצוא פתרון פרטי אחד למשוואה הלא הומוגנית. במציאת פתרון כזה נעסוק כעת.

תהי המשוואה:
<math>{x}^{n}{y}^{(n)}+{a}_{n-1}{x}^{n-1}{y}^{(n-1)}+...{a}_{0}{y}=f(x)</math>

ונניח שכבר מצאנו את הפתרון להומוגנית. מה שנכון עבור [[משוואה דיפרנציאלית ליניארית|משוואות דיפרנציאליות ליניאריות]], נכון אנלוגית גם כאן. בצורה הכללית ביותר, אם

<math>f(x)={x}^{a}[{c}_{11}+{c}_{12}\ln(x)...+{c}_{1p}{\ln}^{p-1}(x)]\sin(b\cdot \ln(x))+{x}^{a}[{c}_{21}+{c}_{22}\ln(x)...+{c}_{2p}{\ln}^{p-1}(x)]\cos(b\cdot \ln(x))</math>

ואם <math>a+bi</math> הוא שורש של המשוואה האינדיציאלית מסדר m, אז הפתרונות הם:

<math>{x}^{a}{ln}^{m+k}(x)sin(b\cdot \ln(x)),{x}^{a}{ln}^{m+k}(x)cos(b\cdot ln(x))\quad,k=1,...,p</math>

==קישורים חיצוניים==
* {{MathWorld}}

[[קטגוריה:משוואות דיפרנציאליות|קושי-אוילר]]
[[קטגוריה:לאונרד אוילר]]