הצגת המקור של הדף "משוואת קלאוזיוס-קלפרון"

[[קובץ:Diag phase eau heb.svg|ממוזער|200px|דיאגרמת פאזות T-P]]
'''משוואת קלאוזיוס-קלפרון''' ('''Clausius-Clapeyron''', על שם [[רודולף קלאוזיוס]] ו[[אמיל קלפרון]]) ב[[תרמודינמיקה]], היא משוואה המתארת את הקשר בין ה[[לחץ]] וה[[טמפרטורה]] במעבר בין שני [[מצב צבירה|מצבי צבירה]] של ה[[חומר]].

נהוג לתאר את מצבי הצבירה של החומר ב[[דיאגרמת פאזות]] T-P. זהו תרשים דו-ממדי שבו ציר x מתאר את ה[[טמפרטורה]] T וציר y – את ה[[לחץ]] P: העקומות בתרשים מפרידות בין אזורים שמתארים מצבי הצבירה שונים של החומר: [[גז]], [[נוזל]] ו[[מוצק]]. בתנאי טמפרטורה ולחץ שנמצאים על העקומות החומר יכול להימצא ב[[שיווי משקל תרמודינמי|שיווי משקל]] בין שתי הפאזות - חלק מהחומר יהיה בפאזה אחת והשאר בפאזה האחרת. משוואת קלאוזיוס-קלפרון מאפשרת לחשב את העקומות האלה, הנקראות '''עקומות דו־קיום''' או '''קווי דו־קיום'''.

משוואת קלאוזיוס-קלפרון לקווי הדו-קיום היא:
:<math>\frac{dP}{dT} = \frac{L}{T\Delta \upsilon} </math>
כאשר <math>dP/dT</math> הוא השיפוע ([[נגזרת]]) של עקומת הדו-קיום, <math>\ L</math> הוא ה[[חום כמוס|חום הכמוס (פר חלקיק)]], <math>T</math> היא ה[[טמפרטורה]] ו-<math>\Delta \upsilon </math> הוא השינוי בנפח הספציפי (נפח ליחידת מסה) בעת שינוי הפאזה.

== הסקת המשוואה ==

נניח שתי פאזות, שנסמן ב־A ו־B, שנמצאות במגע תרמי ו[[שיווי משקל תרמודינמי|שיווי משקל]] אחת עם השנייה. בתנאים האלו, [[פוטנציאל כימי|הפוטנציאלים הכימיים]] של שתי הפאזות, מקיימים את הקשר <math>\mu_A = \mu_B</math>. מאחר שתנאי זה מתקיים בכל נקודה על עקומת הדו-קיום, תזוזה על גבי העקומה תשמור את היחס. בניסוח מתמטי, זה אומר שבתזוזה קטנה על העקומה, <math>d\mu_A = d\mu_B</math>.

אחד מ[[קשרי גיבס-דוהם]] הוא
: <math>\ d\mu = -sdT + vdP</math>
כאשר s ו־v הם ה[[אנטרופיה]] פר חלקיק וה[[נפח]] פר [[חלקיק]], בהתאמה.
מהצבה במשוואה הקודמת, מתקבל הקשר:
:<math>\ -s_A dT + v_A dP = -s_B dT + v_B dP </math>
ולאחר סידור מחדש, הקשר מקבל את הצורה
: <math>\ \frac{dP}{dT} = \frac{s_A-s_B}{v_A-v_B}</math>

ב[[תהליך הפיך (תרמודינמיקה)|תהליך הפיך]], השינוי ב[[חום (תרמודינמיקה)|חום]] δQ נתון על ידי δQ=T dS ולכן החום שהושקע בשינוי מצב הצבירה הוא
: <math>\ T (s_A-s_B) </math> 
וזו בדיוק ההגדרה של [[חום כמוס]], שאותו מקובל לסמן באות <math>L</math>. הצבה של ההגדרה בקשר שקיבלנו, יחד עם הסימון <math>\Delta V = V_A -V_B</math>, נותנים
:<math>\frac{dP}{dT} = \frac{L}{T\Delta V} </math>
שהיא משוואת קלאוזיוס-קלפרון.

=== הפיתוח המקורי של קלפרון ===
הפיתוח שהובא מקודם מבוסס על המושג של פוטנציאל כימי, אשר הוגדר כמה עשורים מאוחר יותר בהשוואה לגזירה המקורית של המשוואה בידי קלפרון. טיעונו המקורי של קלפרון מתבסס על [[ניסוי מחשבה|ניסוי מחשבתי]] המערב [[מעגל קרנו]] שבו החומר המבצע את העבודה הוא אדים רווים, כלומר חומר שהלחץ והטמפרטורה שלו מצויים על עקומת הדו-קיום בין הפאזה הנוזלית והפאזה הגזית. 

נניח שבמכל מצויות פאזה נוזלית ופאזה גזית של חומר מסוים (עצם הקיום של שתי הפאזות במקביל זו לזו מלמד שהחומר מצוי על עקומת הדו-קיום), כשבוכנה ניידת שעליה מופעל לחץ <math>P</math> אוטמת את המכל מלמעלה. כעת נסתכל על ארבעה שלבים של מעגל תרמודינמי, הממומשים באמצעות הכנסת חום <math>q_{in}</math> למערכת, הסרת משקולת זעירה שתורמת לחץ <math>dP</math> לבוכנה, שאיבת חום <math>q_{out}</math> והוספת משקולת שתורמת לחץ <math>dP</math> לבוכנה. מכיוון שבמעבר פאזה חום הנכנס למערכת אינו תורם להעלאת הטמפרטורה אלא רק מגדיל את כמות החומר המצוי בפאזה הגזית, כל אחד מהשלבים במעגל הכורכים בהכנסת או הוצאת חום הוא [[תהליך איזותרמי]] (ולכן המעגל הזה הוא מעגל קרנו), ומאחר ובאדים רווים הלחץ תלוי בטמפרטורה בלבד, עולה שהאיזותרמות הללו הן גם איזוברים.

אם הכנסת החום מערבת נוזל במסה <math>\Delta m</math>, אזי מהגדרת החום הכמוס הסגולי עולה ש-: <math>q_{in} = L \Delta m</math>. שינוי נפח המכל כתוצאה מאידוי נוזל במסה <math>\Delta m</math> הוא <math>\Delta V = (v_g-v_L)\Delta m</math>, כאשר <math>v_g,v_L</math> הם הנפחים הסגוליים של הפאזה הגזית והנוזלית. העבודה הכוללת שמבצעת הבוכנה בתהליך קרנו הזה היא לפיכך:

: <math>W = dP(v_g-v_L)\Delta m</math>

היחס בין העבודה הכוללת לחום שנכנס הוא [[נצילות]] המעגל, אשר לפי תוצאה מפורסמת של [[סאדי קרנו]] היא בדיוק <math>\eta =\frac{dT}{T}</math>. כלומר קיבלנו:

: <math>W = \eta \cdot q_{in} \implies dP(v_g-v_L)\Delta m = L \Delta m \frac{dT}{T}</math>

ושוויון זה מאפשר לחשב את שיפוע עקומת הדו-קיום של הפאזה הנוזלית והגזית כפי שמתואר בקשר קלאוזיוס-קלפרון, דהיינו:

: <math>\frac{dP}{dT} = \frac{L}{T(v_g-v_L)}</math>

== יישומים ==

המשוואה משמשת כדי לחשב האם מעבר פאזה כלשהו יתרחש או לא.

לדוגמה, הסבר נפוץ לתופעה של [[החלקה על הקרח]] הוא כי הלחץ המוגבר של המחליק על ה[[קרח]] גורם לו להנתך (להפוך ממוצק לנוזל). האם הסבר זה אכן נכון?

אם ''T'' = &minus;2 °C אפשר להשתמש במשוואה עבור מעבר פאזה מ[[מוצק]] ל[[נוזל]], ואז
: <math> {\Delta P} = \frac{L}{T\Delta V} {\Delta T} </math>

ובהצבת נתונים אופייניים:
L = 334 kJ/kg, T=271K, <math>\Delta V </math> = -9.05 *10<sup>-5</sup>m<sup>3</sup>/kg, 

ואת העובדה שהלחץ גורם לשינוי ב-2 מעלות [[קלווין]],
:<math>\Delta T </math> = 2K, 

נקבל שהשינוי בלחץ יהיה

:<math>\Delta P </math> = 27.2 MPa. 

השווה ללחץ שמפעיל [[סומו|מתאבק סומו]] (כ-150 ק"ג) שעומד על [[נעלי עקב]] (שטח של חצי סמ"ר)! 

זהו לחץ הגדול בהרבה מהלחץ שמפעיל מחליק ממוצע על הקרח ולכן הסבר זה בלבד לא מספיק כדי להסביר את התופעה.

== ראו גם ==

* [[מצב צבירה]]
* [[טמפרטורה]]
* [[לחץ]]
* [[חום כמוס]]

==קישורים חיצוניים==
{{תרמודינמיקה}}
[[קטגוריה:ערכים שבהם תבנית בריטניקה אינה מתאימה]]
[[קטגוריה:תרמודינמיקה]]
[[קטגוריה:פיזיקה של חומר מעובה]]