הצגת המקור של הדף "משוואת ריילי-פלסט"

ב[[מכניקת הזורמים]], '''משוואת ריילי-פלסט''' (לחלופין, משוואת '''בסנט-ריילי-פלסט''') היא [[משוואה דיפרנציאלית רגילה]] לא ליניארית, המתארת את הדינמיקה של בועה כדורית המצויה בזורם [[מודול הנפח|אי-דחיס]]{{הערה|שם=ה2}}{{הערה|שם=JoS|{{צ-מאמר|מחבר=Lord Rayleigh|שם=VIII. On the pressure developed in a liquid during the collapse of a spherical cavity|כתב עת=The London, Edinburgh, and Dublin Philosophical Magazine and Journal of Science|כרך=34|שנת הוצאה=1917-08|עמ=94–98|doi=10.1080/14786440808635681|קישור=https://www.tandfonline.com/doi/full/10.1080/14786440808635681}}}}{{הערה|{{צ-מאמר|מחבר=M. S. Plesset|שם=The Dynamics of Cavitation Bubbles|כתב עת=Journal of Applied Mechanics|כרך=16|שנת הוצאה=1949-09|עמ=277–282|קישור=https://resolver.caltech.edu/CaltechAUTHORS:20140808-114249321}}}}{{הערה|שם=ה1}}:{{משוואה|משוואה=<math> R\frac{d^2R}{dt^2} + \frac{3}{2}\left(\frac{dR}{dt}\right)^2 + \frac{4\nu_L}{R}\frac{dR}{dt} + \frac{2\sigma}{\rho_LR} + \frac{\Delta P(t)}{\rho_L} =0 </math>|הזחה|כותרת|משוואה|הפניה|ריווח תא|מסגרת|צבע מסגרת|צבע רקע}}כאשר:
: <math>\rho_L </math> היא [[צפיפות החומר|צפיפות]] הנוזל,
: <math>R(t)</math> הוא [[רדיוס]] הבועה,
: <math>\nu_L</math> היא [[צמיגות]] הנוזל,
: <math>\sigma</math> הוא [[מתח פנים|מתח הפנים]] בממשק של הבועה והנוזל,
: <math>\Delta P(t) = P_\infty(t) - P_B(t)</math> הפרש הלחצים, כאשר <math>P_B(t)</math> הוא ה[[לחץ]] בתוך הבועה ו-<math>P_\infty(t)</math> הוא הלחץ החיצוני "רחוק" מהבועה.

בהנחה ש-<math>P_B(t)</math> ידוע ו־<math>P_\infty(t)</math> נתון, משוואת ריילי-פלסט יכולה לשמש כדי למצוא את רדיוס הבועה המשתנה בזמן <math>R(t)</math>.

== היסטוריה ==
[[קובץ:Cavitacion.jpg|ממוזער|left|משוואת ריילי-פלסט מיושמת לעיתים קרובות למידול ה[[קוויטציה]] שנוצרת מאחורי מדחפי אוניות.]]
בהזנחת מתח הפנים והצמיגות, המשוואה נגזרה לראשונה על ידי ויליאם הנרי בסנט בספרו על [[הידרודינמיקה]] מ-1859 במסגרת פתרון בעיה שמנוסחת כדלהלן: "מסה אינסופית של זורם אי-דחיס והומוגני שלא פועלים עליו שום כוחות נמצא במנוחה, כשלפתע נפער חלל כדורי בתחום הזורם; נדרש למצוא את השינוי בלחץ בכל נקודה של המסה, ואת הזמן שייקח לחלל להתמלא לגמרי בזורם, בהינתן שהלחץ במרחק אינסופי נשאר קבוע".{{הערה|שם=ה2|{{צ-ספר|שם=A Treatise on Hydrostatics and Hydrodynamics|קישור=https://books.google.co.il/books/about/A_Treatise_on_Hydrostatics_and_Hydrodyna.html?id=xzcDAAAAQAAJ&redir_esc=y|מו"ל=Deighton, Bell|שנת הוצאה=1859|מחבר=William Henry Besant|שפה=}}}} תוך שהוא מזניח את השינויים בלחץ בתוך הבועה, בסנט חזה שהזמן שייקח למלא את החלל הוא

:<math>\begin{align}
t&=a\left(\frac{6\rho}{p_\infty}\right)^{1/2}\int_0^1 \frac{z^4\, dz}{\sqrt{1-z^6}}\\
 &= a\left(\frac{\pi\rho}{6 p_\infty}\right)^{1/2} \frac{\Gamma(5/6)}{\Gamma(4/3)} \\
& \approx 0.91468 a\left(\frac{\rho}{p_\infty}\right)^{1/2}
\end{align}</math>

כאשר חישוב האינטגרציה נעשה על ידי [[ג'ון ויליאם סטראט ריילי|לורד ריילי]] ב-1917, שגזר את המשוואה ממאזן אנרגיה. ריילי זיהה גם שההנחה של לחץ קבוע בתוך החלל תהפוך לשגויה כאשר הרדיוס יקטן והראה, באמצעות [[חוק בויל-מריוט|חוק בויל]],{{הערה|ריילי הניח שבהכרח מצוי בחלל אדים (למשל, אדי מים), גם אם צפיפותם מזערית.|כיוון=ימין}} שאם רדיוס החלל קטן בפקטור של <math>4^{1/3}</math>, אז הלחץ בסמוך לשפת החלל הופך גדול יותר מהלחץ באינסוף. המשוואה יושמה לראשונה לבועות קביטציה נעות על ידי מילטון ספינוזה פלסט ב-1949 באמצעות הכללת אפקט של [[מתח פנים]] במשוואה.

== גזירת המשוואה משימור מסה ואנרגיה ==
לורד ריילי פיתח גרסה ראשונית של המשוואה על סמך שיקולים של [[חוק שימור האנרגיה|שימור אנרגיה]] ומסה.{{הערה|שם=JoS}} נחזור שוב לבעיה כפי שתיאר אותה בסט: תהי בועה כדורית בעלת רדיוס משתנה בזמן <math> R(t) </math> המצויה בתוך [[נוזל]] בעל צפיפות קבועה <math>\rho_L</math>. יהי <math> P_\infty </math> הלחץ רחוק מהבועה.

=== שימור מסה ===
אי דחיסות הנוזל גוררת שללא מעבר מסה בין הנוזל לבועה, שינוי בנפח של הבועה חייב להענות בשינוי זהה של [[נפח]] הנוזל. תחת סימטריה כדורית ניתן להסיק: <math>R^2dR=r^2dr</math> ומכאן ניתן להסיק כי <math>u(r,t)=\Bigl(\frac{R}{r}\Bigr)^2\dot{R}=\frac{R^2 \dot{R}}{r^2}</math>

=== שימור אנרגיה ===
[[משפט עבודה-אנרגיה]] קובע כי:

<math>W=\Delta E_{kin}</math>

סך [[אנרגיה קינטית|האנרגיה הקינטית]] של הזורם:<math>E_{kin} = \frac{1}{2} \int_R^{\infty} 4\pi \rho_L r^2 u^2(r,t)dr = \int_R^{\infty} 2\pi \rho_L R^4 \Bigl(\frac{\frac{dR}{dt}}{r}\Bigr)^2dr = 2\pi\rho_L\Bigl(\frac{dR}{dt}\Bigr)^2 R^3</math>

העבודה שנוצרת על ידי לחץ חיצוני <math>P_\infty(t)</math> היא:

<math>W=\frac{4\pi}{3}(R_0^3 - R^3)P_\infty(t) </math>

השוואת שני הגורמים נותנת:

<math>\frac{2}{3}(R_0^3 - R^3)P_\infty(t)=\rho_L\Bigl(\frac{dR}{dt}\Bigr)^2 R^3 </math>

מגזירה בזמן נקבל:{{משוואה|משוואה=<math> R\frac{d^2R}{dt^2} + \frac{3}{2}\left(\frac{dR}{dt}\right)^2 + \frac{P_\infty(t)}{\rho_L} =0 </math>|הזחה|כותרת|משוואה|הפניה|ריווח תא|מסגרת|צבע מסגרת|צבע רקע}}

== פתרונות ==
[[קובץ:Rayleigh-Plesset numerical solution for bubble in sine-wave pressure 01.jpg|ממוזער|left|אינטגרציה נומרית של משוואת ריילי-פלסט כולל איברי מתח הפנים והצמיגות במקרה של בועה הנתונה ללחץ חיצוני המשתנה באופן סינוסואידי (למשל, כתוצאה מסיבוב הלהבים של מדחף אוניה). בעוד שהיא בתחילה במנוחה בלחץ אטמוספירי וברדיוס 50 מיקרומטר, עקב התנודות בלחץ הבועה גדלה והתדירות הטבעית שלה עוברת התרחבות, עד שלבסוף היא קורסת.]]פתרונות אנליטיים סגורים למשוואת ריילי-פלסט נמצאו הן עבור בועה ריקה ובועה מלאה בגז,{{הערה|{{צ-מאמר|מחבר=Nikolay A Kudryashov, Dmitry I Sinelshchikov|שם=Analytical solutions of the Rayleigh equation for empty and gas-filled bubble|כתב עת=Journal of Physics A: Mathematical and Theoretical|כרך=47|שנת הוצאה=2014-10-10|עמ=405202|doi=10.1088/1751-8113/47/40/405202|קישור=https://iopscience.iop.org/article/10.1088/1751-8113/47/40/405202}}}} והוכללו ל-''N''

ממדים. המקרים שבהם מתח הפנים חשוב נחקרו לעומק גם כן.{{הערה|{{צ-מאמר|מחבר=Nikolai A. Kudryashov, Dmitry I. Sinelshchikov|שם=Analytical solutions for problems of bubble dynamics|כתב עת=Physics Letters A|כרך=379|שנת הוצאה=2015-04-03|עמ=798–802|doi=10.1016/j.physleta.2014.12.049|קישור=https://www.sciencedirect.com/science/article/pii/S0375960114012900}}}}{{הערה|{{צ-מאמר|מחבר=S. C. Mancas, H. C. Rosu|שם=Evolution of spherical cavitation bubbles: parametric and closed-form solutions|כתב עת=Physics of Fluids|כרך=28|שנת הוצאה=2016-02-01|עמ=022009|doi=10.1063/1.4942237|קישור=http://arxiv.org/abs/1508.01157}}}}

בנוסף, בעבור המקרה המיוחד שבו ניתן להזניח את מתח הפנים והצמיגות, קירובים אנליטיים מסדר גבוה ידועים.{{הערה|{{צ-מאמר|מחבר=D. Obreschkow, M. Bruderer, M. Farhat|שם=Analytical approximations for the collapse of an empty spherical bubble|כתב עת=Physical Review E|כרך=85|שנת הוצאה=2012-06-05|doi=10.1103/PhysRevE.85.066303|קישור=https://link.aps.org/doi/10.1103/PhysRevE.85.066303}}}}

במקרה הסטטי, משוואת ריילי-פלסט מצטמצמת ל[[משוואת יאנג-לפלס]]:

<math>P_B-P_\infty = \frac{2\sigma}{R}</math>

בקירוב ליניארי של תנודות קטנות ניתן לקבל ביטוי לתדירות העצמית של הבועה{{הערה|שם=ה1|{{צ-ספר|שם=Cavitation and Bubble Dynamics|קישור=http://ebooks.cambridge.org/ref/id/CBO9781107338760|מו"ל=Cambridge University Press|שנת הוצאה=2013|מקום הוצאה=Cambridge|ISBN=978-1-107-33876-0|מחבר=Christopher E. Brennen}}}}:

:<math>\omega_0^2 = \frac{1}{\rho R_0^2} \Bigl( 3\kappa \bigl(P_0 - P_V \bigr) - 2 (3\kappa - 1) \frac{\sigma}{R_0} \Bigr)</math>

כאשר <math> R_0 </math> רדיוס המנוחה של הבועה, <math> P_0 </math> הלחץ ההידרוסטטי, <math> P_V </math> [[לחץ אדים|לחץ האדים]], <math> \rho </math> צפיפות הנוזל, <math> \sigma </math> מקדם [[מתח פנים|מתח הפנים]] ו-<math> \kappa </math> הוא [[תהליך פוליטרופי|הקבוע הפוליטרופי]].

== דחיסות הנוזל ==
משוואת ריילי-פלסט בצורה המקורית מניחה שהנוזל בו מצויה הבועה איננו דחיס. הנחה זו סבירה כל עוד מהירות הבועה נמוכה ביחס למהירות הקול בנוזל. עבודות רבות נעשו במטרה להרחיב את משוואת ריילי-פלסט למקרה הדחיס.<ref>{{קישור כללי|כתובת=https://pubs.aip.org/asa/jasa/article/68/2/628/781381/Bubble-oscillations-of-large-amplitude|כותרת=Bubble oscillations of large amplitude|אתר=AIP Publishing|תאריך_וידוא=2024-09-23}}</ref> כאשר ב-1986 הוצג פיתוח של המשוואה באמצעות [[תורת ההפרעות|תורת הפרעות]].<ref>{{צ-מאמר|מחבר=A. Prosperetti, A. Lezzi|שם=Bubble dynamics in a compressible liquid. Part 1. First-order theory|כתב עת=Journal of Fluid Mechanics|כרך=168|שנת הוצאה=1986-07|עמ=457–478|doi=10.1017/S0022112086000460|קישור=https://www.cambridge.org/core/journals/journal-of-fluid-mechanics/article/abs/bubble-dynamics-in-a-compressible-liquid-part-1-firstorder-theory/6BB95A6DE435CEE97DA98B7E6B6DFE25}}</ref><ref>{{צ-מאמר|מחבר=A. Lezzi, A. Prosperetti|שם=Bubble dynamics in a compressible liquid. Part 2. Second-order theory|כתב עת=Journal of Fluid Mechanics|כרך=185|שנת הוצאה=1987-12|עמ=289–321|doi=10.1017/S0022112087003185|קישור=https://www.cambridge.org/core/journals/journal-of-fluid-mechanics/article/abs/bubble-dynamics-in-a-compressible-liquid-part-2-secondorder-theory/E9750B5CAB3810C0E88A25DBE44335B0}}</ref>

דחיסות הנוזל מהווה מנגנון אובדן אנרגיה מרכזי (בצורת  [[קול|גלי קול]]) בקריסה מהירה של הבועה.<ref>{{קישור כללי|כתובת=https://www.google.com/search?q=soNOLUMINESCENCE:+How+Bubbles+Turn+Sound+into+Light&rlz=1C1GCEU_enIL1119IL1119&oq=soNOLUMINESCENCE:+How+Bubbles+Turn+Sound+into+Light&gs_lcrp=EgZjaHJvbWUyBggAEEUYOTIGCAEQRRg7MgYIAhBFGDsyBggDEEUYQTIGCAQQRRg6MgYIBRBFGD0yBggGEEUYPTIGCAcQRRhB0gEIMTg5M2owajSoAgCwAgE&sourceid=chrome&ie=UTF-8|כותרת=soNOLUMINESCENCE: How Bubbles Turn Sound into Light - חיפוש ב-Google|אתר=www.google.com|תאריך_וידוא=2024-09-28}}</ref>

== הערות שוליים ==
{{הערות שוליים|יישור=שמאל}}

[[קטגוריה:מכניקת הזורמים]]