הצגת המקור של הדף "משוואת שרדינגר"

'''משוואת שרדינגר''' (שידועה גם בשם '''משוואת הגלים של שרדינגר''') היא משוואת התנועה היסודית של [[מכניקת הקוונטים|מערכות קוונטיות]], שהוצעה על ידי ה[[פיזיקאי]] ה[[אוסטריה|אוסטרי]] [[ארווין שרדינגר]] ב-[[1926]] ומתארת כיצד [[מצב קוונטי]] של [[מערכת פיזיקלית]] משתנה לאורך ה[[זמן]]. משוואת שרדינגר ניתנת להמרה באופן [[מתמטיקה|מתמטי]] ל[[מכניקת המטריצות]] של [[ורנר הייזנברג|הייזנברג]] ול[[אינטגרלי מסלול|אינטגרלי המסלול]] של [[ריצ'רד פיינמן|פיינמן]], השקולים לה. משוואת שרדינגר מתארת את הזמן באופן היוצר קושי עם [[תורת היחסות|תאוריות יחסותיות]], בעיה שאינה כה חמורה כמו היחס לזמן במכניקת המטריצות או באינטגרלי המסלול{{הבהרה|למה פחות חמורה?}}. משוואה זו בעלת חשיבות מרכזית במכניקת הקוונטים הלא-יחסותית.

בפרשנות הרגילה למכניקת הקוונטים, ה[[מצב קוונטי|מצב הקוונטי]] הוא התיאור השלם ביותר היכול להינתן ל[[מערכת פיזיקלית]]. פתרונות משוואת שרדינגר מתארים מערכות אטומיות ותת-אטומיות, [[אלקטרון|אלקטרונים]] ו[[אטום|אטומים]], אך גם מערכות [[מיקרוסקופ]]יות, וכנראה גם את כל [[היקום]].

==רקע היסטורי==
בשנת 1909 הראה [[ארנסט רתרפורד]] באמצעות [[ניסוי רתרפורד|ניסוי פיזור של חלקיקי אלפא על עלה דק של זהב]] שהמטען החיובי ב[[אטום]] מרוכז באזור קטן מאוד במרחב, הידוע היום בשם '[[גרעין האטום]]'. בעקבות הניסוי הציג רתרפורד מודל של האטום הקרוי [[המודל הפלנטרי]] שלפיו ה[[אלקטרונים]] הם חלקיקים קטנים הנעים סביב גרעין האטום באופן דומה לאופן שבו כוכבי הלכת מקיפים את השמש.

בשנת [[1913]] [[נילס בוהר]] פיתח מודל זה, והציג תאוריה הקרויה היום [[מודל בוהר]] שממנה משתמע שהאלקטרונים מתנהגים כמו [[גל]]ים ונעים סביב גרעין האטום באופן הדומה ל[[גל עומד|גלים עומדים]]. בבסיס המודל הזה היא ההנחה ש[[תנע זוויתי|התנע הזוויתי]] של האלקטרונים, בתנועתם סביב הגרעין, יכול להיות רק כפולות שלמות של [[קבוע פלנק]], ושפליטת אור או [[פוטון]] מתרחשת כאשר האלקטרונים עוברים למסלולים עם אנרגיה נמוכה יותר. מודל זה הראה התאמה מושלמת ל[[ספקטרום]] ה[[אנרגיה]] של [[אטום המימן]] וכן הסביר את זמני החיים הארוכים של האטומים (שכן על פי [[אלקטרודינמיקה|תורת החשמל הקלאסית]], אלקטרונים החגים סביב גרעין אמורים לפלוט [[קרינה]] שתגרום להם לצנוח לעבר הגרעין). מודל בוהר שלפיו חלקיקים מתנהגים כמו גלים, יחד עם ההסבר של [[מקס פלאנק]] ל[[קרינת גוף שחור]] (משנת 1900) וההסבר של [[איינשטיין]] ל[[האפקט הפוטואלקטרי|אפקט הפוטואלקטרי]] (משנת 1905) - שלפיהם גלי האור מתנהגים כמו חלקיקים בעלי מנות אנרגיה בדידות (הנקראים [[פוטון|פוטונים]]), מהווים את הבסיס למה שקרוי היום 'תורת הקוונטים הישנה'.

למרות ההצלחות בפיענוח [[ספקטרום אטום המימן]], המודל של בוהר השאיר שאלות רבות פתוחות. המודל לא נתן הסבר לספקטרום של אטומים ומולקולות מורכבים יותר מהמימן, הוא הראה שהחלקיקים מתנהגים כמו גלים, אך לא הסביר מה בדיוק מתודד ומהי [[משוואת הגלים]] של הטבע. מתן תשובה לשאלות הללו הפך לנושא מחקר מרכזי עבור הקהילה הפיזיקלית, ובפרט עבור קבוצה של תלמידים ומדענים שהובלו על ידי בוהר וכללו אנשים כמו [[ורנר הייזנברג]], [[מקס בורן]] ו[[וולפגנג פאולי]].

צעד חשוב בדרך למציאת משוואת הגלים הגיע בשנת [[1924]] כאשר [[לואי דה ברויי]] הציג את [[השערת דה ברויי]], לפיה '''כל''' [[חלקיק]]י ה[[חומר]] בעלי תכונות של [[גל]], ולא רק [[קרינה אלקטרומגנטית]] (מושג זה נקרא כיום [[דואליות גל-חלקיק|דואליות הגל-חלקיק]]):
:: <math>\lambda=\frac{h}{p}</math>
כאשר <math>\lambda\;</math> הוא [[אורך גל|אורך הגל]], <math>h\;</math> הוא [[קבוע פלאנק]] ו-<math>p\;</math> הוא [[תנע]] החלקיק.
דה ברויי הראה כי השערתו מתאימה למשוואתו של פלאנק ופיתוחו של איינשטיין, וכן ל[[תורת היחסות הפרטית]]. כעת המשוואה של פלאנק התאימה לכל החלקיקים, ולא רק לקרינה האלקטרומגנטית.

צעד נוסף היה בשילוב של רעיונות תורת הקוונטים הישנה עם הפיזיקה הסטטיסטית, שהוחל ב[[יוני]] [[1924]] כאשר ה[[פיזיקאי]] ה[[הודי]] [[סאטינדרה נאת בוז|סאת'ינדרה נאת' בוז]] (Satyendra Nath Bose) שלח [[מאמר]] ל[[איינשטיין]] ובו [[הוכחה]] חדשה למשוואה של פלאנק. הוא התייחס ל[[פוטונים]] כאל [[מולקולה|מולקולות]] של [[גז]] והשתמש בהוכחה בשיטות מן ה[[מכניקה סטטיסטית|מכניקה הסטטיסטית]]. בניגוד למכניקה הסטטיסטית הקלאסית של [[לודוויג בולצמן]] ו[[ג'יימס קלרק מקסוול]], בה לכל מולקולה יש ייחוד והחלפה בין שתי מולקולות יוצרת מצב חדש, בוז הניח כי ההחלפה בין שני קוונטים של אור אינה יוצרת מצב חדש.
בין השנים [[1924]]–[[1925]] פרסם איינשטיין שלושה מאמרים בהם יישם את רעיונותיו של בוז ל[[גז אידיאלי]] של מולקולות בהן אטום אחד. המאמרים תמכו ברעיונותיו של בוז בקשר לאופי הגלי של המולקולות וקישרו רעיונות אלו להשערת דה ברויי.

שנת [[1926]] הייתה שנת המפתח לפיתוחה של תורת הקוונטים עת התפרסמו שתי גרסאות למשוואת הגלים של החלקיקים. גרסה אחת שהוצגה על ידי [[ורנר הייזנברג]] וקרויה היום על שמו [[משוואת הייזנברג]] - הניחה שגדלים פיזיקליים (כמו [[מיקום (גאוגרפיה)|מיקום]], [[תנע]] ו[[אנרגיה]]) נקבעים על ידי [[אופרטור]]ים ואלו מתפתחים עם הזמן - על פי משוואת הגלים שהוא הציג. לעומתו, במקביל להייזנברג פעל [[ארווין שרדינגר]] לחיפוש משוואת הגלים באופן שונה.

בשלהי 1925, כתב שרדינגר מאמר שכותרתו הייתה "על ה[[תאוריה]] של [[גז]] [[אלברט איינשטיין|איינשטיין]]", שעסק בגז של חלקיקים קוונטים ובוסס על [[השערת דה ברויי]], כמו גם גישתו של איינשטיין לרעיון.

ב-[[1926]] פרסם שרדינגר מאמר נוסף שעסק הפעם ב[[אטום]] ה[[מימן]]. בגז החלקיקים הקוונטים אפשר היה להניח כי על חלקיקי הגז הקוונטי לא פועל [[כוח (פיזיקה)|כוח]], ולהזניחו, אך באטום המימן לא היה יכול שרדינגר להתעלם מן הכוח שבין ה[[גרעין האטום|גרעין]] ל[[אלקטרון]].
שרדינגר פיתח [[משוואה דיפרנציאלית]] שקשרה בין השינוי בגל כתלות במקום ובין השינוי בו כתלות בזמן, אולם התוצאה לא התאימה לאטום המימן. הוא ניסה שוב, הפעם באמצעות משוואה יחסותית שתיצור הקבלה בין משוואה מן המכניקה המתייחסת לאלקטרון כחלקיק, ובין משוואה המתארת אותו כגל, וגם הפעם נכשל. בפעם השלישית ניסה והצליח לתאר הקשר בביטוי לא יחסותי.

עם פיתוח משוואת הגלים על ידי שרדינגר החלה תקופה קצרה שבה נעשה ניסיון לענות אילו משתי התאוריות השונות היא הנכונה (זו של שרדינגר או זו של הייזנברג). תקופה זו נגמרה כאשר שרדינגר הצליח להראות ששתי הגישות השונות שקולות.

==פיתוח המשוואה==
{{הפניה לערך מורחב|הצדקה ומוטיבציה למשוואת שרדינגר}}
בתורת הקוונטים נהוג לתאר את מצבו של חלקיק באמצעות פונקציית גל. לכן נצפה שהמשוואה המתארת את השינוי במצבו של חלקיק בזמן ובמרחב תהיה בעלת מבנה כללי של משוואת גלים, דהיינו שיהיה קשר כלשהו בין הנגזרת המרחבית והזמנית של פונקציית הגל. זוהי פונקציית גל המתארת תנועה של [[חלקיק]] (בכיוון החיובי של ציר ה־x):

<math> \psi = e^{i\left(kx-\omega t\right)} </math>

כאשר <math>k</math> הוא [[מספר גל|מספר הגל]], ו-<math>\omega</math> היא [[תדירות#תדירות זוויתית|התדירות הזוויתית]] של הגל.

נגזור פעם לפי המקום ופעם לפי הזמן:
:<math> \frac{\partial}{\partial x}\psi = ik\psi</math>
::<math> \frac{\partial}{\partial t}\psi = -i\omega \psi </math>

על פי [[השערת דה ברויי]], הקשרים בין מספר הגל לתנע ובין התדירות לאנרגיה הם:

<math> k = \frac{p_x}{\hbar} </math>, <math> \omega = \frac{E}{\hbar} </math>

כאשר <math>p_x</math> הוא התנע של החלקיק בכיוון החיובי של ציר x,{{כ}} <math>E</math> היא האנרגיה שלו ו-<math>\hbar</math> הוא [[קבוע דיראק]] (<math>\hbar = h / 2 \pi</math>).

נציב את הקשרים האלה חזרה לנגזרות ולאחר העברת אגפים נקבל:

<math> -i\hbar \frac{\partial}{\partial x}\psi = p_x \psi </math>, <math> i\hbar \frac{\partial}{\partial t}\psi = E \psi </math>

בעקבות המשוואות דלעיל נבקש לזהות את האופרטור <math> -i\hbar \frac{\partial}{\partial x} </math> עם תנע בכיוון החיובי של ציר x (<math>p_x</math>), ואת האופרטור <math> i\hbar \frac{\partial}{\partial t} </math> עם אנרגיה (<math>E</math>).

נזכר בקשר הקלאסי בין תנע ואנרגיה עבור חלקיק בעל מסה <math>m</math> ופוטנציאל <math> V </math>: <math> E = \frac{p^2}{2m} + V </math>
השימוש בקשר הקלאסי בין אנרגיה ותנע (ללא התחשבות באנרגיה הפנימית) משמעו שהמשוואה שתתקבל תהיה לא יחסותית.
נציב במקום <math>E</math> ו-<math>p_x</math> את האופרטורים כפי שנתונים לעיל (נשים לב שהתנע מועלה בריבוע, ולכן יש להפעיל את [[אופרטור התנע]] פעמיים):
{{משוואה
|הזחה=:
|משוואה = <math> -\frac{\hbar^2}{2m} \frac{\partial^2}{\partial x^2} \psi + V \psi = i\hbar \frac{\partial}{\partial t} \psi </math>
|צבע מסגרת = #50C878
|צבע רקע = #ECFCF4}}

זוהי משוואת שרדינגר לחלקיק בחד-מימד. ההכללה לתלת-מימד היא ישירה — הנגזרת המרחבית ניתנת על-ידי ה[[גרדיאנט]] (<math>\vec p = -i\hbar \vec\nabla</math>) וריבוע התנע על-ידי [[לפלסיאן]].

על כן משוואת שרדינגר היא:
{{משוואה
|הזחה=:
|משוואה = <math> -\frac{\hbar^2}{2m} \nabla^2\psi + V \psi = i\hbar \frac{\partial}{\partial t} \psi </math>
|צבע מסגרת = #50C878
|צבע רקע = #ECFCF4}}

ניתן לזהות את הרכיב האנרגטי של המשוואה עם [[אופרטור]] ה[[המילטוניאן]] <math> \hat H = -\frac{\hbar^2}{2m} \nabla^2 + V </math>, ובכך מתקבלת צורתה הכללית:

<math> \hat H\psi = i\hbar \frac{\partial}{\partial t} \psi </math>

משוואה זו דומה ל[[משוואת החום]], אך מכיוון שמקדם הנגזרת בזמן הוא [[מספר מרוכב|מדומה]] פתרונות המשוואה יהיו פונקציות גל ולא אקספוננט דועך.

== משוואת שרדינגר בצורתה הכללית ==
בכתיב הכללי ביותר (כתיב [[ברה-קט]]) משוואת שרדינגר נראית כך:
:: <math> \hat H | \psi \rang = \ i \hbar \frac{d}{dt} | \psi \rang</math>

במשוואה זו:
* <math> \hat H </math> הוא [[אופרטור]] ה[[המילטוניאן]] (שמייצג את ה[[אנרגיה]] של המערכת).
* <math> i </math> הוא [[מספר מרוכב|מספר היחידה המדומה]], כלומר <math>\ i^2 = -1</math>.
* <math>\hbar</math> הוא [[קבוע פלאנק|קבוע דיראק]] ("קבוע פלאנק המצומצם") והוא בעל יחידות של [[תנע זוויתי]].

כאשר ההמילטוניאן בלתי תלוי מפורשות בזמן, הפתרון הכללי של משוואה זו הוא:
: <math>\ | \psi _{(t)} \rang = e^{-iHt/\hbar} | \psi _{(0)} \rang</math>
ואומרים שההמילטוניאן הוא היוצר של התפתחות המערכת בזמן.

את הפתרון הנ"ל אפשר לפתח ב[[בסיס (אלגברה)|בסיס]] ה[[מצב עצמי|מצבים העצמיים]] של ההמילטוניאן.
נסמן <math>\hat H | n \rang = E_n | n \rang</math> כאשר <math>E_n</math> הם ה[[אנרגיה|אנרגיות]] העצמיות. מאחר ש-<math> \hat H </math> [[הרמיטי]], המצבים העצמיים [[אורתונורמליות|אורתונורמלים]], כלומר <math> \lang n | m \rang = \delta_{n,m}</math> ([[מכפלה פנימית]] של כל מצב עצמי בעצמו היא 1, ושל כל שני מצבים עצמיים שונים היא 0), ולכן אפשר להשתמש ב[[התמרת פורייה]] ולקבל ש:
:: <math> | \psi _{(t)} \rang = \sum_{n}{ e^{-iE_n t/{\hbar}} | n \rang
\lang n | \psi _{(0)} \rang }</math>

== משוואת שרדינגר בבסיס המקום ==
בבסיס המקום במקום לדבר על מצב קוונטי ערטילאי, מדברים על המיקום והתנע של החלקיק. בעקבות [[ניסוי שני הסדקים]] ועבודתו של [[לואי דה ברויי]] נוסח הרעיון שאת מיקומו של חלקיק ניתן לתאר כ[[סופרפוזיציה קוונטית]] של [[גל]]ים שתיצור [[חבורת גלים]] הממורכזת סביב מיקומו ה"קלאסי" של החלקיק.
: <math>\ \psi (\vec{r}) = \frac{1}{\sqrt{2 \pi \hbar}} \int{ \phi (\vec{p}) e^{{i \over \hbar} \vec{p} \cdot \vec{r}} \ dp}</math>
תיאור החלקיק על ידי פונקציית גל הסביר מדוע אלקטרונים יכלו לבצע [[התאבכות]], כפי שהתגלה בניסוי.

באופן פורמלי, [[פונקציית הגל]] <math>\ \psi (\vec{r})</math> מוגדרת כהטלה של המצב הקוונטי של המערכת על בסיס המקום, כלומר <math> \psi(\vec{r}) = \lang \vec{r} | \psi \rang</math>.

בבסיס המקום <math>(\vec{r})</math>, [[אופרטור התנע]] מוצג כ <math>\hat p = -i{\hbar} \vec{\nabla}</math> ולכן משוואת שרדינגר נהיית:
{{משוואה
|הזחה = :
|משוואה = <math>i\hbar\frac{\partial\psi\left(t,\vec{r}\right)}{\partial t}=-\frac{\hbar^{2}}{2m}\nabla^{2}\psi\left(t,\vec{r}\right)+V\left(\vec{r}\right)\cdot\psi\left(t,\vec{r}\right)</math>
|ריווח תא = 6
|צבע מסגרת = #0073CF
|צבע רקע = #F5F9FF}}

זוהי [[משוואה דיפרנציאלית]] חלקית שאפשר לפתור באמצעות [[הפרדת משתנים]] ו[[תורת שטורם-ליוביל]] על ידי מציאת [[מצב עצמי|מצבים עצמיים]] של האנרגיה לחלק הבלתי תלוי בזמן.

כאשר החלקיק נמצא תחת השפעת [[אנרגיה פוטנציאלית|פוטנציאל]] [[הפוטנציאל האלקטרומגנטי|אלקטרו-מגנטי]] ה[[המילטוניאן]] הוא
: <math> \mathcal{H} = \frac{(\vec{p} - e \vec{A})^2 } {2 m } + e \varphi </math>
כאשר <math>\vec A</math> הוא [[פוטנציאל וקטורי (פיזיקה)|הפוטנציאל הווקטורי המגנטי]] ו-<math>\varphi</math> הוא הפוטנציאל ה[[שדה חשמלי|חשמלי]]. במקרה זה יש להציב צורה זו במשוואת שרדינגר ולהחליף את התנע באופרטור גזירה כאמור לעיל.

== פתרון המשוואה ==
את משוואת שרדינגר, שהיא [[משוואה דיפרנציאלית חלקית]], פותרים באמצעות [[הפרדת משתנים]].
מנחשים פתרון מהצורה:
:<math>\psi (t,\vec{r})=T(t)\Psi(\vec r)</math>
מציבים את הביטוי במשוואה התלויה בזמן ומקבלים
:<math>i \hbar \Psi\cdot\frac{\partial T}{\partial t}=-\frac{\hbar^2}{2m}T\cdot\nabla^2\Psi+V(\vec{r})T\Psi</math>
מחלקים ב<math>\psi=T(t)\cdot\Psi(\vec{r})</math> ומקבלים
:<math>i\hbar\frac{1}{T(t)}\cdot\frac{\partial T}{\partial t}=-\frac{1}{\Psi(\vec{r})}\cdot\frac{\hbar^2}{2m}\cdot\nabla^2\Psi+V(\vec r)</math>
אגף שמאל תלוי רק בזמן, ואגף ימין תלוי רק במרחב, והם שווים תמיד ולכן קבועים. נקרא ל[[קבוע הפרדה|קבוע ההפרדה]] <math>E</math> (שכן הוא מה שתופסים כאנרגיה).
המשוואה עבור הזמן תהיה (לאחר העברת אגפים)
:<math>\frac{\partial T}{\partial t}=-i\frac{E}{\hbar} T(t)</math>
:שפתרונה הוא האקספוננט המדומה <math>T(t)=e^{-i\frac{E}{\hbar}t}</math>. נשים לב רק ש-E הוא קבוע עבור פתרון ספציפי, אבל ישנה סדרה של פתרונות ולכן נהוג לסמן אותו כ<math>E_{n}</math>.

כעת נותרנו עם הפונקציה <math> \psi (t,\vec{r}) = e^{-iEt/{\hbar}} \Psi (\vec{r})</math>,
ועבור <math>\Psi</math> מקבלים את משוואת שרדינגר הבלתי תלויה בזמן:
{{משוואה
|הזחה = :
|משוואה = <math> E \Psi (\vec{r}) = \frac{- \hbar ^2}{2m} \nabla ^2 \Psi (\vec{r}) + V(\vec{r}) \Psi (\vec{r}) </math>
|ריווח תא = 6
|צבע מסגרת = #0073CF
|צבע רקע = #F5F9FF}}

זוהי משוואת ערכים עצמיים שאפשר לפתור באמצעות [[תורת שטורם ליוביל]]. למעשה מחפשים פונקציות <math>\Psi_n</math> שמקיימות את המשוואה <math> \hat H \Psi_n = E_n \Psi_n</math>. כלומר פונקציות שפעולת אופרטור ההמילטוניאן עליהן מחזירה את הפונקציה כפול ה[[אנרגיה]] שלה. אנרגיות אלה (שהן [[ערך עצמי|הערכים העצמיים]] של המשוואה הדיפרנציאלית) נקראות '''אנרגיות עצמיות''' ואילו הפונקציות המתאימות להן נקראות '''מצבים עצמיים'''. את המצבים העצמיים נהוג [[וקטור יחידה|לנרמל]], כלומר לכפול במקדם [[סקלר (מתמטיקה)|סקלרי]] כך ש־<math> \lang \Psi_n | \Psi_n \rang = 1</math>. דרישת הנרמול נובעת מהפירוש ה[[הסתברות]]י של [[מכניקת הקוונטים]], על פיו ריבוע הגודל של המצב העצמי הוא [[פונקציית צפיפות|פונקציית צפיפות ההסתברות]] של החלקיק.

מאחר שזו משוואה [[אלגברה ליניארית|ליניארית]], את הפתרון הכללי אפשר להציג כ[[סופרפוזיציה]] של המצבים העצמיים, כלומר:

::: <math> \psi (t,\vec{r}) = \sum_{n}{ A_n \Psi_n (\vec{r}) e^{-\frac{i}{\hbar}E_n t}}</math>

מאחר ש <math>\hat H</math> הוא [[אופרטור הרמיטי]], מובטח לנו מ[[משפט הילברט]] שקיים [[בסיס (אלגברה)|בסיס]] של מצבים עצמיים [[אורתוגונלי|אורתונורמליים]], כלומר <math>\lang \psi_n | \psi_m \rang = \delta_{n,m}</math>. לכן, ניתן להציג כל [[פונקציית גל]] ב[[מרחב הילברט]] של הבעיה כסכום (ליתר דיוק [[טור אינסופי]]) של המצבים העצמיים (כאשר מדובר בחלקיק חופשי, פיתוח כזה קרוי [[פיתוח פורייה]]).

את מקדמי הפיתוח <math>A_n</math> ניתן לקבוע באמצעות ידיעת [[פונקציית הגל]] ההתחלתית (כלומר <math>\ \psi (0,\vec{r})</math>, באופן זהה לחלוטין הנעשה עבור [[טור פורייה]] כמו כן, נהוג לנרמל את פונקציית הגל כך ש: <math> \lang \psi\mid\psi \rang = 1</math>. לעיתים אין זה אפשרי (כמו במקרה של אופרטור ה[[תנע]]) ומתקבלות פונקציות עצמיות כך ש-<math>\lang\psi_n\mid\psi_n\rang=\infty</math> - ולא ניתן לנרמל אותן. כך חייבים לוותר על האורתונורמליות (ונשארים רק עם אורתוגונליות) אבל במקום זאת בוחרים פונקציות שיקיימו את [[נרמול דיראק]] ויקיימו <math>\lang \psi_\alpha\mid\psi_\beta\rang=\delta(\alpha-\beta)</math> כאשר הפונקציה מימין היא [[פונקציית דלתא של דיראק]]. כך עושים עבור אופרטור התנע החד מימד <math>\hat{p_x}=-i\hbar\frac{\partial}{\partial x}</math> (וגם בממדים רבים - <math>\hat{\vec{p}}=-i\hbar\vec{\nabla}</math>) ובוחרים את הבסיס <math>e^{ikx}</math> לכל k ממשי (ובממדים רבים - <math>e^{i\vec{k}\cdot\vec{x}}</math>). בסיס זה הוא הבסיס של [[התמרת פורייה]] ואכן, במכניקת הקוונטים התמרת פורייה מזוהה עם מעבר לבסיס הפונקציות העצמיות של התנע - מה שלעיתים מפשט את הפתרון (בדיוק כפי שהתמרת פורייה מפשטת לעיתים משוואות דיפרנציאליות).

==ראו גם==
* [[דינמיקה קוונטית]]
* [[משוואת דיראק]]
* [[סימון דיראק]]
* [[משוואת קליין-גורדון]]
* [[פתרון משוואת שרדינגר בעבור פוטנציאל מדרגה]]
* [[משוואת שרדינגר ואינטגרלי פיינמן]]

==לקריאה נוספת==
* [[יורם קירש]], '''היקום על פי הפיזיקה המודרנית'''.
* רוברט פ' קריז, '''המשוואות הגדולות - פריצות דרך במדע מפיתגורס עד הייזנברג''', [[כתר ספרים]], 2008, עמ' 222–244.

==קישורים חיצוניים==
{{ויקישיתוף בשורה}}
* {{MathWorld}}
* [http://hyperphysics.phy-astr.gsu.edu/hbase/quantum/schrcn.html Schrodinger Equation Concepts]
* {{בריטניקה}}

{{בקרת זהויות}}

[[קטגוריה:מכניקת הקוונטים]]
[[קטגוריה:משוואות דיפרנציאליות|שרדינגר, משוואת]]