הצגת המקור של הדף "משטח ורונזה"

ב[[גאומטריה אלגברית]], '''משטח ורונזה''' הוא [[יריעה אלגברית]] דו-ממדית ב[[המרחב הפרויקטיבי|מרחב הפרוייטיבי]] ה-5-ממדי <math>\ \mathbb{P}^5</math>. המשטח מהווה שיכון ריבועי של המישור הפרויקטיבי <math>\ \mathbb{P}^2</math> ב- <math>\ \mathbb{P}^5</math>. משטח זה קרוי על-שם [[ג'וזפה ורונזה]] (1854-1917). את משטח ורונזה אפשר לשכן גם ב- <math>\ \mathbb{P}^4</math>, באמצעות הטלה מ[[נקודה גנרית]] של <math>\ \mathbb{P}^5</math>. ההטלה הבאה, מנקודה גנרית של <math>\ \mathbb{P}^4</math> ל- <math>\ \mathbb{P}^3</math>, קרויה [[משטח שטיינר]]. 

== הגדרה ==

משטח ורונזה הוא תמונת ההעתקה <math>\ s : \mathbb{P}^2 \to \mathbb{P}^5</math>, המוגדרת לפי '''העתקת ורונזה''' <math>\ s(x:y:z) = (x^2:y^2:z^2:yz:xz:xy)</math>, כאשר <math>\ (x:y:z)</math> הן קואורדינטות הומוגניות של המרחב הראשון. התמונה מוגדרת גם באמצעות המשוואות <math>\ \{(x_0:x_1:x_2:x_3:x_4:x_5) \,:\, x_0x_1 = x_5^2, \, x_2x_5=x_3x_4,\, x_4x_5=x_0x_3\}</math>.

== יריעות ורונזה ==

לכל n ו- d, אפשר להגדיר שיכון <math>\ \mathbb{P}^n \to \mathbb{P}^m</math>, כאשר <math>\ m +1 = {n+d \choose d}</math> הוא ה[[מקדם בינומי|מקדם הבינומי]] הסופר את המונומים מדרגה d ב- n משתנים, וההעתקה מוגדרת על ידי:
<math>\phi(x_0:x_1:\dots:x_n) = (M_0(x_0,\dots,x_n),M_1(x_0,\dots,x_n),\dots,M_m(x_0,\dots,x_n))</math> כאשר ה-<math>\,M_i</math> הם אוסף כל המונומים מדרגה ''d'' ב-''n'' משתנים.
תמונת השיכון <math>\,\phi</math> היא '''יריעת ורונזה'''. אפשר להוכיח שהיא קבוצה סגורה אי-פריקה, ולכן יריעה פרויקטיבית (משטח ורונזה הוא היריעה המתקבלת עבור d=2 ו-n=2).

בניסוח אחר, שאינו תלוי בקואורדינטות, מדובר בהעתקת החזקה הסימטרית, <math>\ \nu_d: \mathbb{P}V \to \mathbb{P}(\rm{Sym}^d V)</math>, כאשר V הוא [[מרחב וקטורי]] מממד n. 

ניתן להראות כי כל יריעה פרויקטיבית היא חיתוך של יריעת ורונזה ויריעה ליניארית.

==קישורים חיצוניים==
* {{MathWorld}}

[[קטגוריה:גאומטריה אלגברית]]