הצגת המקור של הדף "משפחה מעריכית"

ב[[הסתברות]] וב[[סטטיסטיקה]], '''משפחה מעריכית''' (או לפעמים: '''מחלקה מעריכית''') היא קבוצה של [[התפלגות|התפלגויות]] בעלות צורה מסוימת, המתוארת להלן. צורה מיוחדת זו נבחרה מסיבות של נוחות מתמטית, עקב מספר תכונות אלגבריות שימושיות, וכן עקב כלליותה, שכן התפלגויות ממשפחה מעריכית הן התפלגויות מאוד "טבעיות" ונפוצות. המושג "משפחה מעריכית" מיוחס ל[[אדווין פיטמן]] {{אנג|E. J. G. Pitman}} ל[[ג'ורג' דרמויס]] {{אנ|Georges Darmois}} ול[[ברנרד קופמן]] {{אנ|Bernard Koopman}} בשנים 1935–1936.

המשפחה המעריכית של ההתפלגויות מספקת מסגרת כללית לבחירה של אלטרנטיבה אפשרית אחרת לניסוח הפרמטרי של ההתפלגות, במונחים של "פרמטרים טבעיים", וכן להגדרת [[סטטיסטי]]ם שימושיים הידועים בתור: "הסטטיסטים הטבעיים המספיקים" של המשפחה (ראו להלן).

== דוגמאות ==
רוב ההתפלגויות הידועות ביותר שייכות למשפחה המעריכית, למשל:
* [[התפלגות נורמלית]]
* [[התפלגות מעריכית]]
* [[התפלגות גמא]]
* [[התפלגות כי בריבוע]]
* [[התפלגות בטא]]
* [[התפלגות דיריכלה]] {{אנ|Dirichlet distribution}}
* [[התפלגות ברנולי]]
* [[התפלגות קטגוריאלית]] {{אנ|Categorical distribution}}
* [[התפלגות פואסון]]

כמו כן גם ההתפלגויות הבאות שייכות למשפחה המעריכית, בהינתן שאחד מהפרמטרים שלהן קבוע:
* [[התפלגות בינומית]] (עם מספר קבוע של ניסיונות)
* [[התפלגות מולטינומית]] (עם מספר קבוע של ניסיונות)
* [[התפלגות בינומית שלילית]] (עם מספר קבוע של כישלונות)

דוגמאות להתפלגויות ידועות שאינן שייכות למשפחה המעריכית הן [[התפלגות t]], ו[[התפלגות אחידה רציפה|ההתפלגות האחידה]].

== הגדרה ==

משפחה מעריכית [[1 (מספר)|חד]]-פרמטרית היא קבוצת ההתפלגויות ש[[פונקציית צפיפות|פונקציית הצפיפות]] שלהן (או [[פונקציית הסתברות|פונקציית ההסתברות]] שלהן, עבור [[התפלגות בדידה|התפלגויות בדידות]]) ניתנת להצגה בצורה:

: <math> f_X(x\mid\theta) = h(x) \exp \left (\eta(\theta) \cdot T(x) -A(\theta)\right )</math>

כאשר (''T''(''x''), ''h''(''x''), ''η''(''θ'', ו-(''A''(''θ'' הן פונקציות, x הוא המשתנה המקרי, ו-θ הוא הפרמטר של פונקציית הצפיפות (או פונקציית ההסתברות).

הגדרה אלטרנטיבית היא קבוצת ההתפלגויות הניתנות להצגה בצורה:

:<math> f_X(x\mid\theta) = h(x) g(\theta) \exp \left ( \eta(\theta) \cdot T(x) \right )</math>

או באופן שקול:

:<math> f_X(x\mid\theta) = \exp \left (\eta(\theta) \cdot T(x) - A(\theta) + B(x) \right )</math>

{{קצרמר|סטטיסטיקה}}

[[קטגוריה:סוגי התפלגויות]]
[[קטגוריה:התפלגויות רציפות]]
[[קטגוריה:התפלגויות בדידות]]