הצגת המקור של הדף "משפט אוילר (גאומטריה)"

'''משפט אוילר בגאומטריה''', הקרוי של שמו של ה[[מתמטיקאי]] [[לאונרד אוילר]], קובע כי המרחק <math>\ d</math> בין מרכז ה[[מעגל חוסם|מעגל החוסם]] ומרכז ה[[מעגל חסום|מעגל החסום]] של [[משולש]] מקיים: <math>\frac{1}{R+d}+\frac{1}{R-d} = \frac{1}{r}</math>, כאשר <math>\ R</math> הוא [[רדיוס]] המעגל החוסם ו-<math>\ r</math> הוא רדיוס המעגל החסום.

==הוכחה==
[[קובץ:GeometryEulerTheorem.png|שמאל|ממוזער|350px|תרשים של ההוכחה (כולל ההוכחה עצמה) נוצר על ידי תוכנת [[GeoGebra]]]]
נסמן ב-O את מרכז המעגל החוסם את המשולש ABC, וב-I את מרכז המעגל החסום. נאריך את AI עד שיפגש עם המעגל החוסם ונסמן נקודה זאת ב-L, ואז נקודה L היא אמצע הקשת BC. נעביר את הקוטר מ-L דרך O כך שיפגש עם המעגל החוסם בנקודה M. מנקודה I נעביר [[אנך]] ל-AB, ונסמן את נקודת המפגש ב-D. ואז ID=r. על פי [[משפט תאלס#המשפט השני|משפט תאלס השני]] זווית LBM ישרה. זווית LMB שווה לזווית IAD (זוויות היקפיות שנשענות על אותה קשת), ולכן משולשים MBL ו-ADI [[דמיון משולשים|דומים]], ומכאן  ID × ML = AI × BL. לכן
2Rr = AI × BL. מתקיים 
:<math>\angle BIL = \angle {A \over 2} + {\angle ABC \over 2}</math> וכן 
:<math>\angle IBL = \angle {ABC \over 2} + \angle CBL = \angle {ABC \over 2} + \angle {A \over 2}</math> (זווית חיצונית שווה לסכום שתי הזוויות האחרות במשולש), 
ולכן זווית BIL שווה לזווית IBL, ומכאן BL=IL ו- AI × IL = 2Rr. נאריך את OI משני צדדיו ונסמן את נקודות המפגש ליד O ו-I ב-P ו-Q בהתאמה. מתקיים PI × QI = AI × IL = 2Rr, ומכאן   R + d)(R − d) = 2Rr), ולכן  (d<sup>2</sup> = R(R − 2r. מש"ל.

== הכללות ==

נסמן כמקודם ב-R,r,d את הרדיוסים של שני מעגלים ואת המרחק בין המרכזים שלהם, ונסמן <math>\ \alpha = \frac{r}{R+d}</math> ו-<math>\ \beta = \frac{r}{R-d}</math>. נאמר ששני המעגלים הם שותפי-n אם אחד מהם חוסם והשני חסום במצולע בעל n צלעות. לפי משפט אוילר, שני המעגלים הם שותפי-3 אם  <math>\alpha+\beta = 1</math>. קיים תנאי דומה לכך ששני מעגלים יהיו שותפי-4 (כלומר, המעגל החוסם והמעגל החסום של איזשהו '''מרובע''', המוכרח להיות במקרה כזה, בעת ובעונה אחת, [[מרובע משיקים]] ו[[מרובע ציקלי]]): <math>\ \alpha^2+\beta^2 = 1</math> (זהו [[משפט פס]], {{אנ| Nicolaus Fuss}}). יש הכללה לנוסחה זו במונחי [[פונקציה אליפטית|הפונקציה אליפטית של יעקובי]] ו[[אינטגרל אליפטי|אינטגרל אליפטי שלם מסוג ראשון]], [http://mathworld.wolfram.com/PonceletsPorism.html]. בסוף המאה ה-18 ותחילת המאה ה-19 התגלו קשרים פולינומיים מפורשים עבור ערכים שונים של מספר הצלעות n. לדוגמה, התנאי לכך ששני המעגלים הם שותפי-5 הוא <math>\ (\alpha+\beta+1)^3 = 4(\alpha^3+\beta^3+1)</math>; והתנאי לכך שיהיו שותפי-6 הוא <math>3+(\beta^2-\alpha^2)^2= 2(\alpha^2+\beta^2)</math>. 

כעת נתבונן בשני מעגלים C,D, כך ש-C מוכל בפנים של D. מכל נקודה P על D אפשר להעביר משיק ל-C (נאמר בכיוון מחוגי השעון), הפוגע שוב ב-D בנקודה שנסמן ב-<math>P'</math>. באופן כזה מוגדרות הנקודות <math>\ P'' = (P')'</math>, {{כ}}<math>\ P''' = (P'')'</math>, וכן הלאה, ומסמנים באינדוקציה <math>\ P^{(n)} = {P^{(n-1)}}'</math>. אם <math>P'''=P</math>, פירושו של דבר הוא ש-<math>P,P',P''</math> הם הקודקודים של משולש החוסם את C וחסום ב-D. אם <math>P''''=P</math>, אז <math>P,P',P'',P'''</math> הם הקודקודים של מרובע החוסם את C וחסום ב-D, וכן הלאה. [[משפט פונסלה]] (על שמו של [[ז'אן-ויקטור פונסלה]], {{אנ|Jean-Victor Poncelet}}) קובע שאם <math>\ P^{(n)} = P</math> לנקודה P כלשהי כל D, אז תכונה זו נכונה לכל נקודה P על D; כלומר, העובדה שהעברת משיק n פעמים חוזרת לנקודת ההתחלה היא תכונה של המעגלים C,D, ולא של הנקודה P. המשפט מתקיים אפילו אם C,D הם [[אליפסה|אליפסות]], ולאו דווקא מעגלים.

== מקורות ==
* Geometry Revisited, H.S.M. Coxeter and S.L Greitzer, Anneli Lax New Mathematical Library, Vol 19; משפט 2.12. 
* A Mathematical Gift II, K Ueno, K Shiga and Sh Morita; Mathematical World Vol 20, AMS, 2004.
==קישורים חיצוניים==
{{ויקישיתוף בשורה}}
* {{MathWorld|EulerTriangleFormula|משפט אוילר}}


[[קטגוריה:משפטים בגאומטריה אוקלידית|אוילר]]
[[קטגוריה:משולש]]
[[קטגוריה:הוכחות]]
[[קטגוריה:לאונרד אוילר]]