הצגת המקור של הדף "משפט ארצלה-אסקולי"

ב[[אנליזה פונקציונלית]], '''משפט אַרְצֶלָה-אַסְקוֹלִי''' ('''Arzelà–Ascoli''', נקרא גם '''משפט אסקולי''') מעניק אפיון מלא ל[[קומפקטיות]] של משפחת פונקציות רציפות בקבוצה קומפקטית, באמצעות תכונת ה[[רציפות במידה אחידה]]. המשפט מהווה הכללה מרחיקת-לכת של [[משפט בולצאנו-ויירשטראס]].

==תיאור פורמלי==

אם <math>K</math> הוא [[מרחב מטרי]] [[קומפקטיות|קומפקטי]] כלשהו, מסמנים ב-<math>C(K)</math> את [[מרחב הפונקציות הרציפות]] <math>f \colon K \to \mathbb{C} </math>, שמהווה [[מרחב וקטורי]] ביחס לפעולות הסכום והכפל בסקלר המוגדרות נקודתית. זהו [[מרחב בנך]] (כלומר [[מרחב נורמי]] [[מרחב שלם|שלם]]) תחת נורמת <math>L_\infty</math>: <math> \| f \|_\infty = \sup_{x \in K}|f(x)| </math>.

כמו בכל מרחב מטרי, תת-קבוצה <math>A</math> של <math>C(K)</math> היא "[[קבוצה חסומה|חסומה]]" אם קיים חסם ממשי על כל ערכי הפונקציות שלה.

:'''משפט ארצלה אסקולי:''' תהי <math>A \subseteq C(K)</math> קבוצה חסומה. אזי לכל [[סדרה (מתמטיקה)|סדרה]] ב-<math>A</math> קיימת תת-סדרה מתכנסת, אם ורק אם <math>A</math> [[רציפות במידה אחידה|רציפה במידה אחידה]].

:'''מסקנה:''' אם <math>A \subseteq C(K)</math> סגורה (בטופולוגיה הנורמית) וחסומה, אז <math>A</math> [[קומפקטיות|קומפקטית]] [[אם ורק אם]] היא רציפה במידה אחידה.
:'''הוכחה:''' ממשפט ארצלה-אסקולי נובע כי אם <math>A</math> חסומה ורציפה במידה אחידה, אז לכל סדרה יש תת-סדרה מתכנסת. תוספת הנתון ש-<math>A</math> סגורה קובע כי תת-סדרה זו מתכנסת לתוך <math>A</math>. מכאן ש-<math>A</math> מהווה מרחב מטרי שבו לכל סדרה יש תת-סדרה מתכנסת, תכונה השקולה לקומפקטיות. הכיוון השני של השקילות נובע באופן [[טריוויאלי (מתמטיקה)|טריוויאלי]] מהמשפט.
:'''מסקנה:''' אופרטור האינטגרל <math>T \colon C(K) \to C(K) </math> המוגדר <math>\ T(f) = \int_a^b k(s,t)f(t)\,\mathrm{d}t </math>, כאשר <math>k </math> [[גרעין (אנליזה)|גרעין]] רציף על <math>K \times K</math>, הוא [[אופרטור קומפקטי]].

==הוכחת המשפט==
===כיוון ראשון===

תהי <math>A\subseteq C\left(K\right)</math> קבוצה חסומה ונניח שאיברי <math>A</math> רציפים במידה אחידה. נראה שלכל סדרה ב-<math>A</math> יש תת-סדרה מתכנסת. תהי <math>\left\{f_n\right\}_{n=1}^\infty</math> [[סדרת פונקציות]] ב-<math>A</math>. תהי <math>\left\{x_k\right\}_{k=1}^\infty</math> סדרה צפופה ב-<math>K</math> (קיימת כזאת כי <math>K</math> מרחב מטרי קומפקטי לכן ספרבילי).

נתבונן בסדרה <math>\left\{f_n\left(x_1\right)\right\}_{n=1}^\infty</math>. זוהי סדרה חסומה ב-<math>\mathbb{C}</math> בפרט יש לה תת-סדרה מתכנסת. נסמן אותה ב-<math>\left\{f_n^1\left(x_1\right)\right\}_{n=1}^\infty</math> ואת גבולה ב-<math>\xi_1</math>. כעת נתבונן בסדרה <math>\left\{f_n^1\left(x_2\right)\right\}_{n=1}^\infty</math>. גם זו סדרה חסומה ב-<math>\mathbb{C}</math> לפיכך יש לה תת-סדרה מתכנסת שאותה נסמן ב-<math>\left\{f_n^2\left(x_2\right)\right\}_{n=1}^\infty</math> ואת גבולה ב-<math>\xi_2</math>. וכך בתהליך איטרטיבי לכל <math>m\in\mathbb{N}</math> נגדיר את הסדרה <math>\left\{f_n^m\left(x_m\right)\right\}_{n=1}^\infty</math> להיות תת-סדרה מתכנסת של <math>\left\{f_n^{m-1}\left(x_m\right)\right\}_{n=1}^\infty</math> ואת גבולה נסמן ב-<math>\xi_m</math>.

אם כן, קיבלנו סדרה של סדרות פונקציות. נתבונן בסדרת האלכסון <math>\left\{g_n\right\}_{n=1}^\infty</math> המוגדרת לכל <math>n</math> כך <math>g_n:=f_n^n</math> (כלומר זו סדרת פונקציות שהאיבר ה-<math>n</math>-י שלה הוא האיבר ה-<math>n</math>-י בסדרה ה-<math>n</math>-ית).
# זוהי תת-סדרה של <math>\left\{f_n\right\}_{n=1}^\infty</math>.
# לכל <math>k\in\mathbb{N}</math> הסדרה <math>\left\{g_n\left(x_k\right)\right\}_{n=1}^\infty</math> מתכנסת ל-<math>\xi_k</math> שכן הזנב שלה, <math>\left\{g_n\left(x_k\right)\right\}_{n=k}^\infty</math>, הוא תת-סדרה של <math>\left\{f_n^k\left(x_k\right)\right\}_{n=1}^\infty</math>.

יהי <math>\varepsilon>0</math>. אברי <math>A</math> רציפים במידה אחידה לכן קיים <math>\delta>0</math> כך שלכל <math>x,y\in K</math> ולכל <math>n\in\mathbb{N}</math>, אם <math>d\left(x,y\right)<\delta</math> אזי <math>|g_n\left(x\right)-g_n\left(y\right)|<\frac{\varepsilon}{3}</math> (כאשר <math>d</math> היא פונקציית המטריקה ב-<math>K</math>). אבל <math>K</math> קומפקטי, לפיכך נכסה אותו במספר סופי של [[כדור (טופולוגיה)|כדורים פתוחים]] בקוטר <math>\delta</math> שנסמנם ב-<math>O_1,\dots,O_l</math>.

לכל <math>1\le i\le l</math> קיים <math>k_i\in\mathbb{N}</math> כך ש-<math>x_{k_i}\in O_i</math> (כי <math>\left\{x_k\right\}_{k=1}^\infty</math> צפופה ב-<math>K</math>). כמו כן הסדרה <math>\left\{g_n\left(x_{k_i}\right)\right\}_{n=1}^\infty</math> מתכנסת ל-<math>\xi_{k_i}</math> לכן לפי [[סדרת קושי|תנאי קושי]] קיים <math>N_i</math> כך שלכל <math>n,m>N_i</math> מתקיים <math>|g_n\left(x_{k_i}\right)-g_m\left(x_{k_i}\right)|<\frac{\varepsilon}{3}</math>. נסמן <math>N:=\max(N_i)</math>. כעת, לכל <math>n,m>N</math> ולכל <math>x\in K</math> קיים <math>1\le i\le l</math> כך ש-<math>x\in O_i</math> ומתקיים מ[[אי-שוויון המשולש|אי שוויון המשולש]]<math>|g_n\left(x\right)-g_m\left(x\right)| \le |g_n\left(x\right)-g_n\left(x_{k_i}\right)| + |g_n\left(x_{k_i}\right)-g_m\left(x_{k_i}\right)| + |g_m\left(x_{k_i}\right),g_m\left(x\right)| < \varepsilon</math>. לכן, לפי תנאי קושי, הסדרה <math>\left\{g_n\right\}_{n=1}^\infty</math> מתכנסת במידה שווה.

== קישורים חיצוניים ==
* {{צ-ספר|מחבר=דניאלה ליבוביץ|שם=טופולוגיה קבוצתית|מו"ל=בית ההוצאה לאור של האוניברסיטה הפתוחה|שנת הוצאה=2007|עמ=159–160|פרק=7: קומפקטיות|קישור=http://olvreader.sefereshet.org.il/Olive/OTB/OpenU/?href=C20521/2008/01/03&usticket=Z3Vlc3Q&ticket=|access-date=2021-03-06|archive-date=2020-06-11|archive-url=https://web.archive.org/web/20200611045439/https://olvreader.sefereshet.org.il/Olive/OTB/OpenU/?href=C20521%2F2008%2F01%2F03&usticket=Z3Vlc3Q&ticket=| url-status = dead}}. הספר מתוך "פא"ר – פתיחת אוצרות רוח", אתר הספרים הדיגיטליים של האוניברסיטה הפתוחה.

[[קטגוריה:משפטים באנליזה פונקציונלית|ארצלה-אסקולי]]
[[קטגוריה:הוכחות|ארצלה-אסקולי]]
[[קטגוריה:משפטים בטופולוגיה|ארצלה-אסקולי]]