הצגת המקור של הדף "משפט בלוך"

[[קובץ:Bloch function.jpg|שמאל|ממוזער|250px|סכימה של החלק הממשי של גל בלוך בממד אחד]]
[[קובץ:BlochWave in Silicon.png|שמאל|ממוזער|250px|גל בלוך שְווה פוטנציאל בסריג [[צורן]] (סיליקון)]]
ב[[פיזיקת מצב מוצק|פיזיקת המצב המוצק]], '''משפט בלוך''' מאפיין את [[פונקציית גל|פונקציית הגל]] של [[חלקיק]] ב[[אנרגיה פוטנציאלית|פוטנציאל]] [[פונקציה מחזורית|מחזורי]], דוגמת [[אלקטרון]] הנע ב[[גביש]] מחזורי. פונקציות גל אלו מכונות '''גלי בלוך''' או '''פונקציות בלוך'''.

המשפט קרוי על שם ה[[פיזיקאי]] [[פליקס בלוך]] שפרסם אותו בשנת 1928{{הערה|1= יש לציין כי תכונות דומות של פתרונות של משוואות דיפרנציאליות היו ידועות בתקופה מוקדמת יותר}}.

למשפט שימושים וחשיבות רבה בפיזיקת המצב המוצק, לדוגמה לגבי [[מבנה פסים|מבנה הפסים]] ב[[מתכת|מתכות]].

==ניסוח מתמטי==
למשפט מספר ניסוחים שקולים.

===ניסוח ראשון===
אם <math> V(\vec r) </math> הוא פוטנציאל מחזורי של [[סריגי בראבה|סריג]] כלשהו, כלומר מתקיים <math> V(\vec r+\vec R) = V(\vec r) </math> עבור כל וקטור הזזה סריגית <math> \vec R </math>, אזי ניתן לכתוב את הפתרונות ל[[משוואת שרדינגר]] עבור האלקטרונים בסריג כך:
{{משוואה
|כותרת = '''פונקציית בלוך'''
|הזחה = :
|משוואה = <math>\psi_{\vec{k}}(\vec{r}) = e^{i \vec{k} \cdot \vec{r}} u_{\vec{k}}(\vec{r})</math>
|ריווח תא = 6
|מסגרת = 1}}

כאשר לפונקציה <math> u </math> יש את אותה המחזוריות של הסריג, כלומר לכל <math> \vec r </math> בסריג ולכל הזזה סריגית <math> \vec R </math> מתקיים <math>u_{\vec{k}}(\vec{r} + \vec{R}) = u_{\vec{k}}(\vec{r})</math>.

פונקציות גל אלו הן [[פונקציה עצמית|פונקציות עצמיות]] של ההמילטוניאן <math> \mathcal{H} = \frac{\vec p^2}{2m} + V(\vec r) </math> עבור האלקטרונים.

===ניסוח שני===
בהינתן המילטוניאן כנ"ל, קיים וקטור <math> \vec k </math>, כך שהפונקציות העצמיות של ההמילטוניאן מקיימות:
{{משוואה
|הזחה = :
|משוואה = <math> \psi(\vec r+\vec R) = e^{i\vec k \cdot \vec R} \psi (\vec r)</math>
|ריווח תא = 6
|מסגרת = 1}}
לכל הזזה סריגית <math> \vec R </math>.

==הוכחה==
המליטוניאן עבור קירוב אלקטרונים לא-תלויים {{אנג|Independent electron approximation}}:
:<math> \mathcal{H} = \frac{\vec p^2}{2m} + V(\vec r) </math>.

נגדיר וקטור סריג:
:<math>\vec R \equiv n_1 \vec a_1 + n_2 \vec a_2 + n_3 \vec a_3</math>
כאשר <math>\vec a_2</math>, <math>\vec a_1</math> ו־<math>\vec a_3</math> הם [[סריגי בראבה|וקטורי סריג פרימיטיביים]] (<math>n_1, n_2, n_3 \in \mathbb{Z}</math>).

נגדיר אופרטורי הזזה בווקטור סריג עבור <math> \vec R </math> כלשהו כמוגדר לעיל:
:<math> T_{\vec R} f(\vec r) \equiv f(\vec r + \vec R) </math>.

מכיוון שהפוטנציאל [[שמורה (מתמטיקה)|שמור]] (invariant) להזזה בווקטור סריג (כלומר מתקיים <math> V(\vec r+\vec R) = V(\vec r) </math> עבור כל <math> \vec R </math> כמוגדר לעיל), אז גם ה[[המילטוניאן]] שמור להזזה בווקטור סריג.

ניתן להראות שההמילטוניאן [[יחס חילוף|חילופי]] עם אופרטורי הזזה בווקטור סריג <math> T_{\vec R}</math>:
:<math>T_{\vec{R}}(H(\vec{r})\psi(\vec{r}))=H(\vec{r}+\vec{R})\psi(\vec{r}+\vec{R})=H(\vec{r})\psi(\vec{r}+\vec{R})=H(\vec{r})T_{\vec{R}}\psi(\vec{r})</math>
כלומר ה[[קומוטטור]] של ההמילטוניאן וּוקטור סריג כלשהו שווה לאפס: <math>[H,T_{\vec R}] = 0</math>.

כמו כן, אופרטורי ההזזה הנ"ל חילופיים זה עם זה. לפיכך ניתן למצוא [[ערך עצמי|פונקציות עצמיות]] משותפות להמילטוניאן ולאופרטורי ההזזה, כלומר ניתן לבחור את הפונקציות העצמיות של ההמילטוניאן כך שיקיימו:
:<math>\begin{cases}
H \psi_n (\vec r) = E_n \psi_n (\vec r) \\
T_{\vec R} \psi_n (\vec r) = C(\vec R) \psi_n (\vec r)
\end{cases}</math>

מכיוון שהזזה ב-<math> \vec R_2 </math> ואחריה הזזה ב-<math> \vec R_1 </math> שקולה להזזה ב-<math> \vec R_1 + \vec R_2 </math>, מתקיים:
:<math>C(\vec R_1 + \vec R_2) \psi (\vec r) = T_{\vec R_1 + \vec R_2} \psi (\vec r) = T_{\vec R_1} T_{\vec R_2} \psi (\vec r) = C(\vec R_1) C(\vec R_2) \psi (\vec r)</math>
ולכן: <math> C(\vec R_1 + \vec R_2) = C(\vec R_1) C(\vec R_2) </math>

הפונקציה היחידה בעלת תכונה זו היא [[אקספוננט]], ולכן:
:<math> C(\vec R) = e^{i\vec k \cdot \vec R} </math>.
לסיום:
:<math> \psi (\vec r+\vec R)=T_{\vec R} \psi(\vec r) = C(\vec R)\psi(\vec r) = e^{i\vec k \cdot \vec R} \psi(\vec r) </math>
כלומר:
{{משוואה
|הזחה = :
|משוואה = <math> \psi(\vec r+\vec R) = e^{i\vec k \cdot \vec R} \psi (\vec r)</math>
|ריווח תא = 6
|מסגרת = 1}}
וזה הניסוח השני של המשפט.

בנוסף להוכחה שהוצגה כאן, קיימות הוכחות אחרות, בהן בונים באופן מפורש את הפונקציות העצמיות.

===גזירת הניסוח הראשון===
נכפיל את שני האגפים ב־<math>e^{-i\vec k \cdot (\vec r + \vec R)}</math>:
: <math>\psi (\vec r+\vec R)e^{-i\vec k \cdot (\vec r + \vec R)} = e^{i\vec k \cdot \vec R} \psi(\vec r)e^{-i\vec k \cdot (\vec r + \vec R)} = e^{i\vec k \cdot \vec R} \psi(\vec r)e^{-i\vec k \cdot \vec r}e^{-i\vec k \cdot \vec R} = \psi(\vec r)e^{-i\vec k \cdot \vec r}</math>
נגדיר:
:<math>u(\vec r) \equiv \psi(\vec r)e^{-i\vec k \cdot \vec r}</math>
ולכן:
:<math>\psi (\vec r+\vec R)e^{-i\vec k \cdot (\vec r + \vec R)} = \psi(\vec r)e^{-i\vec k \cdot \vec r} \Rightarrow u(\vec r + \vec R) = u(\vec r)</math>
כלומר הפונקציה <math>u(\vec r)</math> היא פונקציה מחזורית והמחזוריות שלה זהה למחזוריות הסריג.

לפי ההגדרה של <math>u(\vec r)</math> נקבל:
{{משוואה
|הזחה = :
|משוואה = <math>\psi(\vec r) = e^{i\vec k \cdot \vec r} u(\vec r)</math>
|ריווח תא = 6
|מסגרת = 1}}
מ.ש.ל

==לקריאה נוספת==
<div style="direction: ltr;">
* Felix Bloch, "Über die Quantenmechanik der Elektronen in Kristallgittern," Z. Physik 52, 555-600 (1928).
* Ashcroft and Mermin, Solid state physics (chapter 8)
</div>

==הערות שוליים==
{{הערות שוליים}}

[[קטגוריה:פיזיקה של חומר מעובה]]
[[קטגוריה:מכניקת הקוונטים]]
[[קטגוריה:משפטים פיזיקליים|בלוך]]