הצגת המקור של הדף "משפט בלוך-לנדאו"

ב[[אנליזה מרוכבת]], משפטי '''בלוך-לנדאו''' הם משפטים בדבר [[פונקציה הולומורפית]] <math>f</math> ב[[מעגל היחידה|עיגול היחידה]] המקיימת <math>|f'(0)|=1</math>. המשפט הוא אחד השלבים המרכזיים בהוכחת [[משפטי פיקארד|משפט פיקארד הקטן]]. הם נקראים על שמם של המתמטיקאים [[אנדרי בלוך]] ו[[אדמונד לנדאו]].

==משפט בלוך==
'''משפט בלוך''' - תהי <math>f</math> [[פונקציה הולומורפית]] ב[[מעגל היחידה|עיגול היחידה]] המקיימת <math>|f'(0)|=1</math>. אזי קיים קבוע <math>b>0</math> כך שהפונקציה הפיכה ב[[כדור (טופולוגיה)|כדור]] הפתוח ברדיוס <math>b</math>. כלומר, קיימת פונקציה הולומורפית <math>g</math> כך ש-<math>g \circ f</math> היא הזהות על כדור כנ"ל.

הקבוע האופטימלי <math>B</math> שמקיים את משפט בלוך נקרא '''קבוע בלוך''', וערכו לא ידוע עד היום. בכל זאת, ידוע חסם לא רע - <math>0.4332\approx\frac{\sqrt{3}}{4}+2\times10^{-4}\leq B\leq \sqrt{\frac{\sqrt{3}-1}{2}} \cdot \frac{\Gamma(\frac{1}{3})\Gamma(\frac{11}{12})}{\Gamma(\frac{1}{4})}\approx 0.4719</math>.

==משפט לנדאו==
'''משפט לנדאו''' ''(לעיתים גם משפט בלוך-לנדאו)'' - תהי <math>f</math> [[פונקציה הולומורפית]] ב[[מעגל היחידה|עיגול היחידה]] המקיימת <math>|f'(0)|=1</math>. אזי תמונת <math>f</math> מכילה כדור ברדיוס חיובי <math>l>0</math>.

הקבוע האופטימלי <math>L</math> המקיים את משפט לנדאו נקרא '''קבוע לנדאו'''; ניתן להוכיח דיי בקלות כי <math>L>\frac{1}{16}</math>, וטיעונים מסובכים יותר מראים כי <math>0.5<L<0.544</math> בערך. גם הערך של <math>L</math> לא ידוע.

==משפט ואלירון==
המשפט נקרא על שמו של המתמטיקאי הצרפתי [[ג'ורג ואלירון]]. משפט זה הביא את בלוך להוכיח את המשפט בנוסח לעיל.

'''משפט ואלירון''' - אם <math>f</math> [[פונקציה שלמה]] לא קבועה, אז קיים עיגול <math>D</math> ופונקציה אנליטית <math>\phi : D \to \mathbb{C}</math> כך ש-<math>\forall z \in D : f(\phi(z))=z</math>.

למעשה, משפט ואלירון מתאים למשפט בלוך, לפי [[עקרון בלוך]].

==יישומים==
ב[[משפטי פיקארד|משפט פיקארד הקטן]] יש שימוש במסקנה ממשפט בלוך-לנדאו:

'''משפט''': אם <math>f</math> פונקציה שלמה לא קבועה, אז תמונתה מכילה עיגול ברדיוס 1.

'''הוכחה''': <math>f</math> לא קבועה, תהי <math>z_0 \in \mathbb{C}</math> עבורה <math>f'(z_0) \neq 0</math>. נגדיר <math>\psi (z)=\frac{1}{16} f(\frac{16}{f'(z_0)} z+ z_0)</math>. אז <math>\psi</math> מקיימת את תנאי משפט לנדאו, ולכן מכילה כדור ברדיוס <math>\frac{1}{16}</math>, ולכן מתקיים הדרוש.

==ראו גם==
* [[משפטי פיקארד]]

==קישורים חיצוניים==
* {{MathWorld}}

[[קטגוריה:משפטים באנליזה מרוכבת|בלוך-לנדאו]]