הצגת המקור של הדף "משפט בנך-שטיינהאוס"

'''משפט בנך-שטיינהאוס''', הידוע גם בשם '''עקרון החסימות במידה שווה''', הוא [[משפט (מתמטיקה)|משפט מתמטי]] יסודי וחשוב ב[[אנליזה פונקציונלית]]. עיקרון זה טוען עבור משפחה של [[העתקה ליניארית|העתקות ליניאריות]] [[רציפות]] על [[מרחב בנך]], שאם יש חסם משותף לכל האופרטורים במשפחה בכל נקודה של המרחב, אז יש חסם אחיד על ה[[נורמה של העתקה ליניארית|נורמה]] שלהם.

משפט זה, יחד עם [[משפט האן-בנך]] ו[[משפט ההעתקה הפתוחה]], נחשב לאחת משלוש אבני היסוד של [[אנליזה פונקציונלית|האנליזה הפונקציונלית]]. גרסה מוקדמת של המשפט הופיעה במאמר של [[סטפן בנך]] ו[[הוגו שטיינהאוס]] ב-[[1927]]. המשפט הוכח באותו זמן גם על ידי [[האנס האן]].

== המשפט ==

יהי <math>X</math> [[מרחב בנך]] ויהי <math>Y</math> [[מרחב נורמי]] כלשהו. תהי <math>\mathcal{F}</math> משפחה של [[העתקה ליניארית|העתקות ליניאריות]] [[רציפות]] <math>T_{\alpha} \colon X \rightarrow Y</math>. 

אם לכל <math>x \in X</math> הקבוצה <math>\left\{T_\alpha (x) : T_\alpha \in \mathcal{F} \right\}</math> [[קבוצה חסומה|חסומה]], אז גם קבוצת הנורמות <math>\left\{||T_\alpha|| : T_\alpha \in \mathcal{F} \right\}</math> חסומה. 

== הוכחה ==

למשפט חשוב זה יש הוכחה קצרה המסתמכת על [[משפט הקטגוריה של בר]] (Baire). 

לכל מספר טבעי <math>\, n</math>, נגדיר <math>X_n = \left\{ x \in X : \| T_\alpha(x) \| \le n ,\;  \forall T_\alpha \in \mathcal{F} \right\}</math>. לפי ההנחה, קיים חסם משותף בכל נקודה, ולכן <math>\bigcup_{n}{X_n} = X</math>. הקבוצות <math>X_n</math> הן [[קבוצה סגורה|קבוצות סגורות]], משום שהקבוצות <math>\ Z_n^\alpha = \left\{ x \in X : \| T_\alpha(x) \| \le n   \right\}</math> סגורות לכל <math>\alpha</math> בגלל הרציפות של <math>T_\alpha</math>, ולכן החיתוך <math>X_n = \bigcap_{\alpha}{Z_n^\alpha} </math> גם הוא סגור. 

בתור [[מרחב מטרי שלם]], <math>X</math> הוא [[מרחב בר (טופולוגיה)|מרחב בר]] ("מרחב מקטגוריה שנייה"), ולכן אחת מהקבוצות <math>X_n</math> מכילה [[כדור (טופולוגיה)|כדור פתוח]]: יש <math>\delta > 0</math> ו-<math>x_0 \in X_n</math> כך שאם <math>\|x-x_0\|<\delta</math> אזי <math>x \in X_n</math>. נותר לתרגם את העובדה הזו לחסם המבוקש. 

תהי <math>z \in X</math> נקודה כך ש-<math>\|z\| \le \delta/2</math>, אז לפי [[אי-שוויון המשולש]] <math>\|T(z)\| = \|T(x_0+z)-T(x_0)\| \le
\|T(x_0+z)\| + \|T(x_0)\| \le 2n</math>, וזאת לכל <math>T \in \mathcal{F}</math>. מכאן נובע שלכל <math>y \in X</math> מנורמה <math>1</math>, מתקיים <math>\|T(y)\|=\frac{2}{\delta}\|T(\frac{1}{2}\delta y)\|\le \frac{2}{\delta}\cdot 2n</math>, כלומר <math>\|T \| \leq 4n / \delta</math>. זהו חסם אחיד על הנורמות של ההעתקות הליניאריות במשפחה <math>\mathcal{F}</math>.

'''הערה.''' הוכחה זו מספיקה גם אם מחלישים את ההנחה המקורית, ומניחים רק שקבוצת הנקודות <math>x\in X</math> שעבורן <math>\left\{T_\alpha (x) : T_\alpha \in \mathcal{F} \right\}</math> חסומה, היא קבוצה מקטגוריה שנייה. 

==קישורים חיצוניים==
* {{MathWorld}}

[[קטגוריה:משפטים באנליזה פונקציונלית|בנך-שטיינהאוס]]