הצגת המקור של הדף "משפט ג'ייקובסון-מורוזוב"

{{מקורות|נושא=מדעי הטבע}}
במתמטיקה, '''משפט ג'ייקובסון &#x2013; מורוזוב''' הוא הטענה שניתן למצוא לכל איבר [[איבר נילפוטנטי|נילפוטנטי]] ב[[אלגברת לי פשוטה למחצה]] שני איבר נוספים באלגברה כך שהם יוצרים את האלגברה <math>\mathfrak{sl}_2</math>. במילים אחרות, ניתן לשכן את <math>\mathfrak{sl}_2</math> בכל אלגברת לי פשוטה למחצה. המשפט נקרא על שם ולדימיר מורוזוב ו[[נתן ג'ייקובסון|ניית'ן ג'ייקובסון]]. מורוזוב הוכיח את המשפט עבור ה[[מרוכבים]] כ[[שדה (מבנה אלגברי)|שדה]] בסיס בשנת 1942, וג'ייקובסון הכליל את המשפט עבור שדה בסיס עם [[מאפיין (אלגברה)|מאפיין]] "מספיק נחמד" שונה מ-2 בשנת 1951.

== נוסח המשפט ==
בשביל לנסח את המשפט, נציג כמה הגדרות לשם נוחות. <math>\mathfrak{sl}_2</math>-שלשה באלגברת לי פשוטה למחצה <math>\mathfrak g</math> (לאורך כל הדף הזה, שדה הבסיס הוא מ[[מאפיין (אלגברה)|מאפיין אפס]]) הוא [[הומומורפיזם]] של אלגברות לי <math>\mathfrak{sl}_2 \to \mathfrak g</math> . באופן שקול, זו שלשה של איברים <math>e, f, h</math> ב-<math>\mathfrak g</math> כך שהיחסים הבאים מתקיימים:

: <math>[h,e] = 2e, \quad [h,f] = -2f, \quad [e,f] = h. </math>

איבר <math>x \in \mathfrak g</math> נקרא נילפוטנטי אם ה[[אנדומורפיזם]] <math>[x, -] : \mathfrak g \to \mathfrak g</math> (הידוע בשם העתקת הצמוד, באנגלית: [[:en:Adjoint_representation|Adjoint Endomorphism]] ) הוא אנדומורפיזם נילפוטנטי, כלומר המטריצה המייצגת של ההעתקה היא [[מטריצה נילפוטנטית]] . '''עובדה:''' לכל <math>\mathfrak{sl}_2</math> - שלשה <math>(e, f, h)</math>, <math>e</math> חייב להיות נילפוטנטי. משפט ג'ייקובסון &#x2013; מורוזוב מוכיח גם את הכיוון ההפוך: כל איבר נילפוטנטי <math>e \in \mathfrak g</math> שונה מאפס ניתן להרחיב ל-<math>\mathfrak{sl}_2</math>-שלשה. עבור <math>\mathfrak g = \mathfrak{sl}_n</math>, ה-<math>\mathfrak{sl}_2</math>-שלשות נמצאו מפורשות על ידי נייל קריס ו-ויקטור גינצבורג במאמרם משנת 1997.

[[קטגוריה:אלגבראות לי]]