הצגת המקור של הדף "משפט גאוס"

[[קובץ:Vector sphere.svg|ממוזער|שמאל|שדה וקטורי שכיוונו החוצה מפני משטח שצורתו כדורית]]
ב[[אנליזה וקטורית]], '''משפט גאוס''' או '''משפט הדיברגנץ''' מקשר בין ה[[שטף]] של [[אנליזה וקטורית#פונקציות וקטוריות|שדה וקטורי]] על פני משטח סגור ל[[דיברגנץ]] של השדה בתוך המשטח. המשפט נקרא על שם [[קרל פרידריך גאוס]] שגילה אותו בשנת [[1813]] (והוכיח אותו למקרים פרטיים), אך רק בשנת [[1831]] [[מיכאיל אוסטרוגרדסקי]] הוכיח את המשפט במלואו, לכן לעיתים קוראים לו '''משפט גאוס-אוסטרוגרדסקי'''. למשפט יש שימושים חשובים ב[[פיזיקה]] ובפרט ב[[אלקטרוסטטיקה]]. [[משפט סטוקס]] הוא הכללה של משפט גאוס למימד כללי.

== ניסוח פורמלי ==
יהי <math>V</math> תחום חלקי ל-<math>\mathbb{R}^3</math> סגור ובעל [[שפה (טופולוגיה)|שפה]] חלקה למקוטעין, ויהי <math>F</math> שדה וקטורי גזיר ברציפות בסביבת <math>V</math>, אזי מתקיים:
{{משוואה
|הזחה=:
|משוואה = {{משמאל לימין|<math>\iiint_V\left(\nabla\cdot\mathbf{F}\right)dV=</math>{{oiint|intsubscpt=<math>{\scriptstyle _S}</math>|integrand=<math>\mathbf{F}\cdot d\mathbf{S}</math>}}}}}}

כאשר <math>S = \partial V</math> הוא שפת התחום <math>V</math>, ו-<math>d\mathbf{S}</math>
הוא וקטור בעל גודל אלמנט שטח אינפיניטסימלי ובעל כיוון ניצב למשטח כלפי חוץ (לעיתים מסמנים <math>\hat n \ dS</math>, כאשר <math>\hat n</math> הוא הנורמל הפונה החוצה מהמשטח <math>\partial V</math>), וכאשר
<math>\nabla = \left( \frac{\partial }{\partial x}, \frac{\partial }{\partial y}, \frac{\partial }{\partial z} \right)</math> .

==ראו גם==
*[[חוק גאוס]]
*[[משפט סטוקס]]

==קישורים חיצוניים==
{{ויקישיתוף בשורה}}
* [http://ofer-megged-phys-notes.blogspot.co.il/2014/10/mathbbe3.html זהויות אינטגרליות בתלת-מרחב] בבלוג [http://ofer-megged-phys-notes.blogspot.co.il/ רשימות בפיזיקה עיונית].
* {{MathWorld}}

{{אנליזה וקטורית}}
{{בקרת זהויות}}
{{קצרמר|מתמטיקה}}

[[קטגוריה:ערכים שבהם תבנית בריטניקה אינה מתאימה]]
[[קטגוריה:אנליזה וקטורית]]
[[קטגוריה:משפטים באנליזה|גאוס, משפט]]
[[קטגוריה:אינטגרלים]]
[[קטגוריה:קרל פרידריך גאוס]]