הצגת המקור של הדף "משפט גליבנקו-קנטלי"

{{סימון מתמטי}}
[[קובץ:KS Example.png|ממוזער|300px| הקו האדום מתאר את ההתפלגות המצטברת. הקו הכחול מתאר את ההתפלגות המצטברת האמפירית לפי המדגם. אורכו של החץ השחור הוא המרחק בין ההתפלגויות (המקום שבו המרחק ביניהן הוא מקסימלי). לפי המשפט המרחק בין ההתפלגויות שואף ל-0 כמעט בוודאות.]]
בתורת [[תורת ההסתברות|ההסתברות]], '''משפט גליבנקו-קנטלי''' (המכונה לפעמים '''המשפט היסודי של הסטטיסטיקה'''), על שם ולרי איבנוביץ' גליבנקו ו[[פרנצ'סקו פאולו קנטלי]],

אומר שכאשר גודל המדגם שואף לאינסוף, [[פונקציית התפלגות מצטברת אמפירית|פונקציית ההתפלגות המצטברת האמפירית]] המבוססת על אותו המדגם [[התכנסות במידה שווה|מתכנסת במידה שווה]] [[כמעט בוודאות]] לפונקציית ההתפלגות המצטברת ממנה לקוח המדגם .<ref>{{Cite journal|last=Howard G.Tucker|year=1959|title=A Generalization of the Glivenko–Cantelli Theorem|journal=The Annals of Mathematical Statistics|volume=30|issue=3|pages=828–830|doi=10.1214/aoms/1177706212|jstor=2237422|doi-access=free}}</ref>

== ניסוח פורמלי ==
נניח ש <math>X_1,X_2,\dots</math> הם [[משתנים מקריים בלתי תלויים]] ושווי התפלגות עם [[פונקציית התפלגות|פונקציית התפלגות מצטברת]] <math>F(x)</math>. ''[[פונקציית התפלגות מצטברת אמפירית|פונקציית ההתפלגות המצטברת האמפירית]]'' עבור <math>X_1,\dots,X_n</math> מוגדרת על ידי

: <math>F_n(x)=\tfrac{1}{n}\sum_{i=1}^n I_{[X_i, \infty)}(x) = \tfrac{1}{n}\ \biggl|\left\{\ i \ \mid X_i \leq x, \ 1 \leq i \leq n \right\}\biggr|</math>

כאשר <math>I_C</math> היא [[פונקציה מציינת]] של הקבוצה <math>C</math>.

לכל <math>x</math> ממשי, לפי [[חוק המספרים הגדולים|החוק החזק של המספרים הגדולים]],<math>\ F_n(x)\ </math> היא [[סדרה (מתמטיקה)|סדרה]] של משתנים מקריים המתכנסת ל-<math>F(x)</math> [[התכנסות (הסתברות)|כמעט בוודאות]]. גליבנקו וקנטלי חיזקו תוצאה זו על ידי הוכחה של [[התכנסות במידה שווה]] של<math>\ F_n\ </math> ל-<math>F</math>.

'''משפט<ref name="vdVaart-1998">{{Cite book|last=van der Vaart|first=A.W.|url=https://archive.org/details/asymptoticstatis00vaar_017|title=Asymptotic Statistics|publisher=Cambridge University Press|year=1998|isbn=978-0-521-78450-4|publication-date=1998|pages=266|url-access=limited}}</ref>'''

: <math>\| F_n - F \|_\infty = \sup_{x \in \mathbb{R}} \biggl| F_n(x) - F(x) \biggr|\xrightarrow{a.s.} 0</math>
: הסימון .a.s משמעותו התכנסות כמעט בוודאות.

משפט זה הוכח על ידי ולרי גליבנקו<ref>{{Cite journal|last=Glivenko, V.|year=1933|title=Sulla determinazione empirica delle leggi di probabilità|journal=Giorn. Ist. Ital. Attuari|volume=4|pages=92-99}}</ref> [[פרנצ'סקו פאולו קנטלי|ופרנצ'סקו קנטלי]],<ref>{{Cite journal|author-link=Francesco Paolo Cantelli|year=1933|title=Sulla determinazione empirica delle leggi di probabilità|journal=Giorn. Ist. Ital. Attuari|volume=4|pages=421-424}}</ref> בשנת 1933.

== הוכחה ==
שימו לב שמתקיים <math>F(x)=\Pr(X_i\leq x)</math> ו-<math>F(x-)=\Pr(X_i< x)</math>.

כמו כן נזדקק גם לסימון: <math>F_n(x-)=\tfrac{1}{n}\sum_{i=1}^n I_{(X_i, \infty)}(x) = \tfrac{1}{n}\ \biggl|\left\{\ i \ \mid X_i < x, \ 1 \leq i \leq n \right\}\biggr|</math>.

לפי החוק החזק של המספרים הגדולים <math>F_n(x)\xrightarrow{a.s.} F(x)</math> ו-<math>F_n(x-)\xrightarrow{a.s.} F(x-)</math> לכל <math>x</math>.

לכל <math>\epsilon>0</math> קיימת חלוקה <math>-\infty =x_0<x_1<\cdots <x_{m-1}<x_m=\infty</math> המקיימת, <math>F(x_j-)-F(x_{j-1})<\epsilon</math> לכל <math>j=1,\dots,m</math>. (את המקומות שבהן <math>F</math> קופצת ב-<math>\epsilon</math> או יותר בוחרים כחלק מנקודות החלוקה.) בגלל ה[[פונקציה מונוטונית|מונוטוניות הלא יורדת]] של כל הפונקציות המעורבות, לכל <math>x_{j-1}\leq x <x_j</math> מתקיים,

: <math>\begin{align}
F_n(x)-F(x) &\leq F_n(x_j-)-F(x_{j-1}-) +\epsilon\\
F_n(x)-F(x) &\geq F_n(x_{j-1})-F(x_j) -\epsilon
\end{align}
</math>

ההתכנסות של <math>F_n(x)</math> ושל <math>F_n(x-)</math> לכל <math>x</math> נתון היא במידה שווה על הקבוצה הסופית <math>\{x_1,...,x_{m-1}\}</math>. לכן, <math>\lim\sup\|F_n-F\|_\infty \leq \epsilon</math> כמעט בוודאות.

מאחר שזה נכון לכל <math>\epsilon>0</math>, נובעת נכונות המשפט.'''<ref name="vdVaart-1998" />'''

== ראו גם==
* [[אי-שוויון דבורצקי-קיפר-וולפוביץ]] - מחזק את משפט גליבנקו-קנטלי על ידי כימות קצב ההתכנסות.

== הערות שוליים ==
{{הערות שוליים}}

[[קטגוריה:משפטים בסטטיסטיקה]]
[[קטגוריה:משפטים בתורת ההסתברות]]