הצגת המקור של הדף "משפט גרין"

'''משפט גרין''' הוא משפט ב[[אנליזה מתמטית]] המגדיר קשר בין [[אינטגרל קווי]] של [[פונקציה]] על עקום סגור ופשוט לבין ה[[אינטגרל כפול|אינטגרל הכפול]] על השטח החסום על ידי העקום. משפט גרין הוא [[מקרה פרטי]] דו-ממדי של [[משפט סטוקס]]. הוא נקרא על שם ה[[מתמטיקאי]] ה[[אנגליה|אנגלי]] [[ג'ורג' גרין]].

למשפט שימושים רבים במתמטיקה ובהנדסה. לדוגמה, הבסיס המתמטי לפעולת ה[[פלנימטר]], שהוא מכשיר המודד שטח של צורה מישורית כלשהי, הוא משפט גרין, או [[נוסחת הסקטור של לייבניץ|נוסחת הסקטור]] של [[לייבניץ]] כמקרה פרטי שלו. ממשפט גרין נובעת [[נוסחת השרוך]].

המשפט: תהי <math>C</math> [[עקומה|מסילה פשוטה סגורה]], מכוונת חיובית (נגד [[כיוון השעון]]) ו[[גזירות למקוטעין|גזירה למקוטעין]] החוסמת שטח ב-<math>\mathbb{R}^2</math>, ונסמן ב-<math>D</math> את השטח החסום על ידי המסילה <math>C</math>. אם <math>P(x,y)</math> ,<math>Q(x,y)</math> פונקציות בעלות [[נגזרת חלקית|נגזרות חלקיות]] רציפות עד סדר ראשון בסביבה המכילה את <math>D</math>, אזי:

:<math>\oint_{C} (P\, \mathrm{d}x + Q\, \mathrm{d}y) = \iint_{D} \left(\frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y}\right)\, \mathrm{d}x \mathrm{d}y</math>.

כאשר הביטוי משמאל מגדיר אינטגרל קווי על עקום סגור (ולכן סימון העיגול על סימן האינטגרל) ומימין מבוטא האינטגרל הכפול עבור שטח התחום הסגור <math>D</math>.
==סימון מקובל בפיזיקה==
מקרה שימושי במיוחד הוא כאשר הפונקציות <math>P, Q </math> הן רכיבים של [[שדה וקטורי]]: <math>\vec f(\vec r) = (P,Q)</math>. הסימון המקובל הוא <math>P=f_x, Q=f_y</math>. במקרה זה המשפט מקשר בין האינטגרל המשטחי על [[שטף]] ה[[רוטור (מתמטיקה)|רוטור]] של השדה הווקטורי, לבין ה[[אינטגרל מסילתי|אינטגרל המסילתי]] של השדה. אם נסמן ב-<math>\hat n</math> את הווקטור הניצב למשטח, וב-<math>\vec {dl}</math> את אלמנט המסילה המקיפה את המשטח, ניסוח המשפט יהיה
: <math>\oint_C \vec f\cdot \vec{dl}=\iint_D\left(\vec\nabla\times\vec f\right)\cdot\hat n</math>
בניסוח הזה, המשפט הוא כללי יותר. הוא תקף לא רק כאשר התחום <math>D</math> מוכל במישור, אלא גם במקרה כללי שבו <math>D</math> הוא [[יריעה]] חלקה דו-ממדית [[תחום פשוט קשר|פשוטת קשר]], והעקום <math>C</math> הוא [[שפה (טופולוגיה)|שפת]] היריעה (שצריכה להיות גזירה למקוטעין).

==שימוש לדוגמה: [[שדה מגנטי]] מסביב לתיל נושא [[זרם חשמלי|זרם]]==
[[קובץ:Electromagnetism.svg|ממוזער|שמאל|זרם חשמלי מיצר שדה מגנטי.]]
נניח כי נתון לנו תיל ישר, אינסופי, הנושא זרם <math>I</math>. הקשר בין הזרם לשדה המגנטי נתון (במקרה הסטטי) על ידי [[חוק אמפר]]:
:<math>\vec \nabla \times \vec B = \mu _0 \vec J </math>
כאשר <math>\vec B </math> הוא השדה המגנטי, <math>\vec J</math> הוא [[צפיפות זרם|צפיפות הזרם]], ו-<math>\mu_0</math> הוא [[פרמיאביליות|קבוע הפרמיאביליות]] של ה[[ריק]].
נבנה משטח מעגלי מאונך לתיל ברדיוס <math>r</math>, שמרכזו נמצא על התיל (כמו [[קווי שדה|קווי השדה]] האדומים בתמונה). נסמן את המשטח ב-<math>D</math> ואת העקום שמקיף אותו ב-<math>C</math>. מכיוון שהמערכת [[סימטריה|סימטרית]] לסיבוב סביב התיל, השדה המגנטי לאורך <math>C</math> קבוע. משיקולים אחרים{{הערה|1=עובדה זו נובעת מאי קיומם של [[מונופול מגנטי|מונופולים מגנטים]], כלומר, מ[[משוואות מקסוול|משוואת מקסוול]] הקובעת כי ה[[דיברגנץ]] של השדה המגנטי מתאפס.}} ניתן לקבל שכיוון השדה המגנטי [[משיק]] ל-<math>C</math> בכל נקודה. לכן, האינטגרל המסלולי על השדה המגנטי שווה פשוט ל:
:<math>\oint_C \vec B\cdot \vec dl=\int_C B=2\pi r B</math>
כאשר <math>B=\left|\vec B\right| </math>. כעת נשתמש במשפט גרין ובחוק אמפר כדי לחשב את גודל השדה:
:<math>2\pi r B=\oint_C \vec B\cdot \vec dl=\iint_D \vec \nabla\times\vec B\cdot \hat n=\iint_D \mu_0\vec J\cdot\hat n</math>
לפי הגדרה, האינטגרל על צפיפות הזרם הוא הזרם, ולכן קיבלנו <math>2\pi r B=\mu_0 I</math>, או בניסוח המקובל יותר:
:<math>B(r)=\frac{\mu_0 I}{2\pi r}</math>.

== הוכחה עבור תחום מלבני ==
[[קובץ:Green's-theorem-simple-region.svg|ממוזער|300px|שמאל|D הוא תחום החסום על ידי העקום הגזיר למקוטעין הבנוי מ: ''C''<sub>1</sub>, ''C''<sub>2</sub>, ''C''<sub>3</sub>, ''C''<sub>4</sub>]]

נוכיח כי מתקיים:
:<math>\oint_{C} P\, dx = \iint_{D} \left(- \frac{\partial P}{\partial y}\right)\, dA\qquad\mathrm{(1)}</math>

עבור <math>D</math> שהוא תחום פשוט מסוג 1 - תחום חסום על ידי שני ישרים מאונכים לציר x ושתי פונקציות גזירות של <math>x</math> (כמתואר בתמונה).

נגדיר:
:<math>D = \{(x,y)|a\le x\le b, g_1(x) \le y \le g_2(x)\}</math>
<br />
כאשר <math>g_1, g_2</math> גזירות למקוטעין ב-<math>[a,b]</math>. נחשב את האינטגרל הכפול ב-(1):<br />
:<math> \iint_{D} \left(-\frac{\partial P}{\partial y}\right)\, dxdy = \int_a^b\!\!\int_{g_1(x)}^{g_2(x)} \left(-\frac{\partial P}{\partial y} (x,y)\right)\, dy\, dx = \int_a^b \big\{-P(x,g_2(x)) + P(x,g_1(x))\, \big\} \, dx\qquad\mathrm{(2)} </math>

כעת נחשב את האינטגרל הקווי ב-(1): ניתן לרשום את <math>C</math> כאיחוד ארבעת העקומים: <math>C_4</math>, <math>C_3</math>, <math>C_2</math>, <math>C_1</math>.

עבור <math>C_1</math> נשתמש בהצגה הפרמטרית: <math>a<=x<=b</math>'', <math>y=g_1(x)</math>'', <math>x=x</math>

:<math>\int_{C_1} P(x,y)\, dx = \int_a^b P(x,g_1(x))\, dx</math>

עבור <math>C_3</math> נשתמש בהצגה הפרמטרית:  <math>a<=x<=b</math>'', <math>y=g_2(x)</math>'', <math>x=x</math>
ולכן:

:<math> \int_{C_3} P(x,y)\, dx = \int_b^a P(x,g_2(x))\, dx = - \int_a^b P(x,g_2(x))\, dx</math>

<br />
עבור <math>C_2, C_4</math>, הערך של x זהה בשני גבולות האינטגרציה, ולכן

:<math> \int_{C_4} P(x,y)\, dx = \int_{C_2} P(x,y)\, dx = 0</math>

מסקנה:
:<math> \oint_{C} P\, dx = \int_{C_1} P(x,y)\, dx + \int_{C_2} P(x,y)\, dx + \int_{C_3} P(x,y)\, dx + \int_{C_4} P(x,y)\, dx = \int_a^b P(x,g_1(x))\, dx - \int_a^b P(x,g_2(x))\, dx\qquad\mathrm{(3)}</math>

התוצאות במשוואות (3) ו-(2) זהות, ובכך קיבלנו את השוויון ב-(1).

באופן דומה ניתן להוכיח כי מתקיים:
:<math>\oint_{C} Q\, dy = \iint_{D} \left(\frac{\partial Q}{\partial x}\right)\, dA\qquad\mathrm{(4)}</math>

עבור <math>D</math> שהוא תחום פשוט מסוג 2 - חסום על ידי שני ישרים מאונכים לציר y ושתי פונקציות גזירות של y.

משילוב (1) ו-(4) מתקבל כי עבור תחום מלבני (שהוא תחום פשוט מסוג 1 וגם תחום פשוט מסוג 2) מתקיים

:<math> \oint_{C} (P\, dx + Q\, dy) = \iint_{D} \left(\frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y}\right)\, dA\qquad\mathrm{(5)}</math>

על ידי שימוש בתכונות של אינטגרלים (אדיטיביות על תחומים זרים, והיפוך סימן בהיפוך כיוון) ניתן לראות כי המשפט תקף עבור כל שטח שניתן לחלוקה למספר סופי של תחומים מלבניים.{{הערה|ההוכחה עבור מקרים כלליים יותר ([[משפט העקום של ז'ורדן|עקומי ז'ורדן]] עם נגזרות רציפות למקוטעין) מורכבת מעט יותר, ומשתמשת בפירוק השטח לשטחים מלבניים עד כדי שגיאה קטנה כרצוננו.}}

== ראו גם ==
* [[משפט גרין דיסקרטי]]

==קישורים חיצוניים==
{{ויקישיתוף בשורה}}
* {{MathWorld}}
* {{דף שער בספרייה הלאומית|987007540806905171|פונקציות גרין}}

==הערות שוליים==
{{הערות שוליים|יישור=ימין}}
{{אנליזה וקטורית}}


[[קטגוריה:ערכים שבהם תבנית בריטניקה אינה מתאימה]]
[[קטגוריה:אנליזה וקטורית]]
[[קטגוריה:גאומטריה דיפרנציאלית]]
[[קטגוריה:משפטים באנליזה|גרין]]
[[קטגוריה:אינטגרלים]]