הצגת המקור של הדף "משפט דה מואבר"

[[קובץ:Abraham de moivre.jpg|ממוזער|אברהם דה-מואבר]]
'''משפט דה-מואבר''', הקרוי על שמו של [[אברהם דה-מואבר]], קובע שלכל [[מספר ממשי]] <math>x</math> ולכל [[מספר שלם]] <math>n</math> מתקיים:
{{משוואה
|הזחה = :
|משוואה = <math>\big(\cos (x) + i \sin (x)\big)^n = \cos (nx) + i \sin (nx)</math>
|ריווח תא = 6
|צבע מסגרת = #0073CF
|צבע רקע = #F5F9FF}}
כאשר <math>\cos(x)</math> מייצג את הרכיב הממשי [[מספר מרוכב|במספר המרוכב]] <math>\cos(x)+i\sin(x)</math>, ו־<math>i\sin(x)</math> מייצג את הרכיב המדומה במספר זה.

חשיבותו של משפט דה-מואבר היא בכך שהוא מקשר בין מספרים מרוכבים וטריגונומטריה. באופן פרקטי, המשפט מאפשר להשתמש בקשר זה כדי להעלות מספרים מרוכבים בחזקה או למצוא שורש שלהם. לנוסחה יש שני שימושים עיקריים: הוצאת שורש ממספר מרוכב, והצגת [[פונקציות טריגונומטריות|גדלים טריגונומטריים]] <math>\cos(nx)</math> ו-<math>\sin(nx)</math> כ[[פולינום|פולינומים]] ב-<math>\cos(x)</math> ו-<math>\sin(x)</math>, בהתאמה. כך לדוגמה, <math>\cos(5x) = 16\cos(x)^5-20\cos(x)^3+5\cos(x)</math>. ראו [[פולינומי צ'בישב]].

את נוסחת דה-מואבר אפשר להוכיח ב[[אינדוקציה מתמטית|אינדוקציה]]. מן הזהות <math>\ [\cos(x)+i\sin(x)][\cos(y)+i\sin(y)] = \cos(x+y)+i\sin(x+y)</math>, השקולה ל[[זהות טריגונומטרית|זהויות הטריגונומטריות]] <math>\ \cos(x)\cos(y)-\sin(x)\sin(y)=\cos(x+y)</math> ו-<math>\ \cos(x)\sin(y)+\sin(x)\cos(y)=\sin(x+y)</math>.

[[אברהם דה מואבר|אברהם דה-מואבר]] היה חבר טוב של [[אייזק ניוטון]], בשנת [[1698]] הוא כתב שנוסחה זו הייתה ידועה לניוטון עוד ב-[[1676]]. ניתן להגיע לנוסחה זאת בקלות מ[[נוסחת אוילר (אנליזה מרוכבת)|נוסחת אוילר]] (שהתגלתה מאוחר יותר). זאת משום שלפי נוסחת אוילר, משפט דה-מואבר היא פשוט השוויון הטריוויאלי <math>(e^{ix})^n = e^{i(nx)}</math>.

== הוצאת שורש מרוכב ==
ניתן להשתמש בנוסחת דה-מואבר כדי לחשב את השורשים מסדר n של מספר מרוכב כלשהו. אם <math>z</math> הוא מספר מרוכב שונה מאפס, ניתן לייצג אותו באופן יחיד בצורה <math>z=A(\cos x+i\sin x)\,</math>, <math>\ 0 < A</math> ו- <math>\ 0\leq x<2\pi</math>.

המספר <math>\ \omega = B(\cos y+i\sin y)</math> (עם <math>\ 0< B</math>), הוא שורש מסדר n של z אם <math>\ \omega ^n = z</math>, כלומר, לפי נוסחת דה-מואבר, <math>\ B^n \cdot (\cos ny+i\sin ny) = A \cdot (\cos x+i\sin x)</math>. זה קורה בדיוק כאשר :
:<math>\ \ B^n = A \, \ \cos ny+i\sin ny = \cos x+i\sin x</math>
כיוון שלכל [[מספרים חיוביים ושליליים|מספר חיובי]] קיים שורש חיובי יחיד מסדר n וכיוון שהפונקציות הטריגונומטריות מחזוריות, עם מחזור <math>\ 2\pi</math>([[רדיאן|רדיאנים]]):
:<math>\omega = \sqrt[n]{z}=\sqrt[n]{A(\cos x+i\sin x)}=\sqrt[n]{A}\left\{\cos\left(\frac{x+2k\pi}{n}\right)+i\sin\left(\frac{x+2k\pi}{n}\right)\right\}</math>
כאשר <math>\ k=0,1,\dots,n-1</math>, ואלו בדיוק n השורשים של z.

== ראו גם ==
* [[נוסחת אוילר (אנליזה מרוכבת)|נוסחת אוילר]]
* [[שורשי יחידה]]
* [[פולינומי צ'בישב]]

== קישורים חיצוניים ==
* [http://demonstrations.wolfram.com/DeMoivresTheoremForTrigIdentities/ משפט דה-מואבר לזהויות הטריגונומטריות]
* {{MathWorld}}

{{מיון רגיל:דה מואבר, משפט}}
[[קטגוריה:משפטים באנליזה מרוכבת]]
[[קטגוריה:משפטים באלגברה]]