הצגת המקור של הדף "משפט דיריכלה"

{{פירוש נוסף|אחר=מבחן התכנסות|ראו=מבחן דיריכלה}}
{{חומר רקע|
[[מספר ראשוני]], [[מספרים זרים]], [[סימון מתמטי]]
|250px}}
[[קובץ:Peter_Gustav_Lejeune_Dirichlet.jpg|שמאל|ממוזער|250 פיקסלים|[[יוהאן פטר גוסטב לז'ן דיריכלה]]. הוכיח את המשפט בשנים [[1837]]–[[1839]].]]
[[קובץ:Dirichlet theorem statistics.svg|שמאל|ממוזער|250 פיקסלים|[[סטטיסטיקה]] המדגימה את משפט דיריכלה כאשר <math>m=60</math>. בתמונה פרוסים כל [[מספר ראשוני|המספרים הראשוניים]] עד 1800 על פי השארית שלהם [[חשבון מודולרי|מודולו]] [[60 (מספר)|60]]. כל עמודה מייצגת [[סדרה חשבונית]]. בעמודות שמספרם [[מספרים זרים|זר]] ל-60, הראשוניים מפולגים באופן שנראה הומוגני אם כי מדלל ככול שעולים בערך המספר. בעמודות [[2 (מספר)|2]], [[3 (מספר)|3]] ו-[[5 (מספר)|5]] יש ראשוני אחד. ביתר העמודות אין ראשוניים כלל.]]

'''משפט דיריכלה''' הוא [[משפט מתמטי]], הקובע כי יש [[אינסוף]] [[מספר ראשוני|מספרים ראשוניים]] ב[[סדרה חשבונית]] שבסיסה [[מספרים זרים|זר]] להפרש שלה.{{ביאור|עבור סידרה חשבונית מהצורה <math>a + m k</math> (כאשר <math>a</math>  ו - <math>m</math> קבועים ו - <math>k</math> רץ על ה[[מספר טבעי|טבעיים]]) <math>a</math> נקרא בסיס הסדרה ו - <math>m</math>  נקרא הפרש הסדרה.}} גרסאות חזקות יותר של המשפט קובעות את הצפיפות היחסית של המספרים הראשוניים בסדרות חשבוניות. את המשפט [[הוכחה|הוכיח]] ה[[מתמטיקאי]] ה[[גרמנים|גרמני]] [[יוהאן פטר גוסטב לז'ן דיריכלה]] בשנים [[1837]]–[[1839]].

עוד מימי [[אוקלידס]] ידוע ש[[קיומם של אינסוף מספרים ראשוניים|קיימים אינסוף מספרים ראשוניים]]. הוכחות דומות לזו של אוקלידס מאפשרות להראות גם שקיימים אינסוף ראשוניים מן הצורות
<math>4n\pm1,6n\pm1</math>, וידועות גם תוצאות כלליות יותר. דיריכלה היה הראשון שהראה שבכל סדרה חשבונית שבה הדבר אפשרי (כלומר סדרה מהצורה <math>a,a+m,a+2m,a+3m\ldots</math> שבה <math>a,m</math> [[מספרים זרים|זרים]]), קיימים אינסוף ראשוניים.

דיריכלה הוכיח שלקבוצת המספרים הראשוניים השקולים ל-<math>a</math> [[חשבון מודולרי|מודולו]] <math>m</math> יש [[צפיפות דיריכלה]] ביחס לקבוצת כל הראשוניים, והיא שווה ל-<math>\frac{1}{\phi(m)}</math>, כאשר <math>\phi</math> היא [[פונקציית אוילר]]. ההוכחה מבוססת על [[התמרת פורייה דיסקרטית]] על [[חבורת אוילר]] המאפשרת לבטא את הצפיפות היחסית באמצעות סיכום משוקלל של [[לוגריתם|לוגריתמים]] של [[פונקציית L של דיריכלה|פונקציות L של דיריכלה]] – וריאנטים על [[פונקציית זטא של רימן]] התלויים ב[[קרקטר (מתמטיקה)|קרקטר]] כפליים מודולו <math>m</math>.

ההוכחה של דיריכלה נחשבת פורצת דרך, שכן היא עירבה לראשונה שימוש מרובה ב[[אנליזה מתמטית]] מתקדמת כדי להשיג תוצאה בתורת המספרים. הוכחת המשפט נחשבת להולדת [[תורת המספרים האנליטית]]. כמו כן, ההוכחה השפיעה על התפתחות [[תורת המספרים האלגברית]] ו[[תורת ההצגות]].

ב-[[1896]], יחד עם הוכחת [[משפט המספרים הראשוניים]], הראו [[ז'אק אדמר]] ו[[שארל דה לה ואלה פוסן]] שהטענה נכונה גם אם מחליפים את צפיפות דיריכלה ב[[צפיפות טבעית|צפיפות הטבעית]].{{הערה|שם=ספרהיסטוריה|{{Harv|Narkiewicz|2000|loc= 2.1}}}}

==גרסאות של המשפט==
יהי <math>m</math> מספר טבעי. הגרסה הבסיסית של משפט דיריכלה אומרת:
{{ציטוט|לכל <math>a</math> [[מספרים זרים|זר]] ל-<math>m</math>, יש [[אינסוף]] [[מספר ראשוני|מספרים ראשוניים]] שהשארית שלהם בחלוקה ל-<math>m</math> היא <math>a</math>.}}
כל ההוכחות הידועות למשפט (התקפות באופן כללי) מוכיחות גם חסם כמותי לצפיפות הראשוניים במובן זה או אחר. הוכחתו המקורית של דיריכלה הוכיחה גם את המשפט הבא:
{{ציטוט|הטור <math>\sum_{p\,\equiv\,a\!\pmod{\!m}}\frac{1}{p}</math> מתבדר}}
כאן, וביתר הערך, השימוש באות {{לאטך|p}} מסמן שמדובר ב[[מספר ראשוני]].

המקרה <math>a=m=1</math> הוכח על ידי [[אוילר]] עוד ב{{ה|מאה ה-18}}. לכן גרסה זאת נובעת מהגרסה הבאה שגם אותה הוכיח דיריכלה:
{{ציטוט|[[צפיפות דיריכלה]] של קבוצת המספרים הראשוניים בסדרה החשבונית <math>a+m\N</math> ביחס לקבוצת המספרים הראשוניים שווה ל-<math>\frac{1}{\varphi(m)}</math> כאשר <math>\varphi</math> היא [[פונקציית אוילר]]. זאת אומרת כי:
<math display=block>\lim_{s\to1^+}\frac{\sum\limits_{p\,\equiv\,a\!\pmod{\!m}}\frac{1}{p^s}}{\sum\limits_p\frac{1}{p^s}}=\frac{1}{\varphi(m)}</math>
}}
הטורים המוזכרים מעלה מהווים מדד עקיף לצפיפות קבוצת הראשוניים בסדרה חשבונית. [[משפט המספרים הראשוניים]] מספק מדד ישיר ומדויק יותר לצפיפות קבוצת המספרים הראשוניים. יחד עם הוכחת משפט המספרים הראשוניים, שילבו [[ז'אק אדמר]] ו[[שארל דה לה ואלה פוסן]] בין הוכחת משפט המספרים הראשוניים והוכחת משפט דיריכלה וקיבלו את המשפט הבא:
{{ציטוט|<math>\lim_{x\to\infty}\frac{\#\{p|p<x;\, p\equiv a \mod m\}}{\frac{x}{\ln(x)}}=\frac{1}{\varphi(m)}</math>}}
המונה בנוסחה האחרונה מסמל את [[עוצמה (מתמטיקה)|גודל]] [[קבוצה (מתמטיקה)|קבוצת]] הראשוניים הקטנים מ - <math>x</math> ונמצאים בסדרה החשבונית <math>p\equiv a \mod m</math>.

המקרה <math>a=m=1</math> הוא משפט המספרים הראשוניים, כך שבהינתן משפט המספרים הראשוניים, ניסוח זה שקול לניסוח הבא:
{{ציטוט|ה[[צפיפות (תורת המספרים)|צפיפות הטבעית]] של קבוצת המספרים הראשוניים הסדרה החשבונית <math>a+m\N</math> ביחס לקבוצת המספרים הראשוניים שווה ל
<math>\frac{1}{\varphi(m)}</math>. זאת אומרת כי:
<math display=block>\lim_{x\to\infty}\frac{\#\{p|p<x;\, p\equiv a \mod m\}}{\#\{p|p<x\}}=\frac{1}{\varphi(m)}</math>}}

==היסטוריה==
===מספרים ראשוניים בעת העתיקה===
<div style="width: auto; float:left; clear:left;">
{|class="wikitable" style="float:left; text-align:center;" width="250"
|-
|[[קובץ:Euclid_by_Andre_Thevet_1584.webp|125px|אוקלידס]]
|[[קובץ:Portrait_of_Eratosthenes.png|125px|ארטוסתנס]]
|-
|colspan=2| [[אוקלידס]] ו[[ארטוסתנס]], [[מתמטיקאי]]ם [[יוון העתיקה|יוונים]] במאות [[המאה ה-3 לפנה"ס|השלישית]] ו[[המאה ה-4 לפנה"ס|הרביעית]] לפני הספירה, אבות המחקר על [[מספר ראשוני|מספרים ראשוניים]].
|}
</div>
{{הפניה לערך מורחב|ערכים=[[קיומם של אינסוף מספרים ראשוניים]], [[הנפה של ארטוסתנס]]}}
[[קיומם של אינסוף מספרים ראשוניים|העובדה]] שישנם [[אינסוף]] [[מספר ראשוני|מספרים ראשוניים]] הייתה ידועה עוד ב[[יוון העתיקה]]. ההוכחה הראשונה הידועה שלה מופיעה בספר "[[יסודות (ספר)|יסודות]]" של [[אוקלידס]] עוד ב[[המאה השלישית לפני הספירה|מאה השלישית לפני הספירה]].

מספר עשורים לאחר מכן פיתח [[ארטוסתנס]] את [[הנפה של ארטוסתנס]], שהיא שיטה יעילה ליצירת טבלאות של מספרים ראשוניים. באמצעות שיטה זו ניתן היה להבחין בתבניות הקשורות ל[[התפלגות]] המספרים הראשוניים.

===משוואת פל===
[[קובץ:Pierre_de_Fermat.jpg|ימין|ממוזער|200 פיקסלים|[[פייר דה פרמה]] – פתר את משוואת פל בשנת [[1657]]. ה[[הוכחה]] הראשונה של משפט דיריכלה השתמשה בפתרון [[משוואת פל]] למקרים בהם ל-<math>m</math> יש גורמים ראשוניים המשאירים שארית 3 בחלוקה ל-<math>4</math>.]]
{{הפניה לערך מורחב|ערך=[[משוואת פל]]}}
המשוואה <math>x^2-my^2=1</math> (כאשר <math>m</math> הוא [[פרמטר]] [[מספר טבעי|טבעי]] ו- <math>x,y</math> הם [[נעלם|נעלמים]] שלמים) נחקרה עוד בעת העתיקה. ב{{ה|מאה ה-12}} המתמטיקאי [[הודים|ההודי]] [[בהסקארא השני]] {{אנ|Bhāskara II}} הציג פתרון כללי למשוואה. אולם פתרון זה לא הגיע ל[[אירופה]]. כ-500 שנה מאוחר יותר [[פייר דה פרמה]] פתר משוואה זו מחדש, והפתרון נודע באירופה.{{הערה|
{{harv|Struik
|1986
|loc= פרק 7}}
}}
<!-- כמאה שנים לאחר מכן, חקירה יסודית של המשוואה נעשתה על ידי [[ז'וזף לואי לגראנז']]{{הערה|1=[http://www-history.mcs.st-aDdrews.ac.uk/Biographies/Pell.html JohD Pell], Math Tutor|כיוון=שמאל}} -->
[[לאונרד אוילר|אוילר]] כינה משוואה זו [[משוואת פל]], מכיוון שייחס את הפתרון בטעות ל[[ג'ון פל]], ומאז התקבע השם.

במקרה בו ל-<math>m</math> יש גורמים ראשוניים המשאירים שארית 3 בחלוקה ל-4, ההוכחה הראשונה של משפט דיריכלה השתמשה בפתרון של גרסה של משוואת פל. עבור שאר המקרים, את מקומה של משוואת פל מחליפה המשוואה <math>x^2+my^2=1</math>, והיא פשוטה מאוד.{{הערה|{{Harv|Narkiewicz|2000|loc= 2.3}} }}

===אנליזה מתמטית וקשריה עם תורת המספרים===
{|class="wikitable" style="float:left; text-align:center;" width="250"
|-
|[[קובץ:GodfreyKneller-IsaacNewton-1689.jpg|125px|ניוטון]]
|[[קובץ:Christoph_Bernhard_Francke_-_Bildnis_des_Philosophen_Leibniz_(ca._1695).jpg|125px|לייבניץ]]
|-
|colspan="2"| [[אייזק ניוטון]] ו[[גוטפריד וילהלם לייבניץ]], מתמטיקאים אירופיים מהמאות ה-17–18, אבות [[אנליזה מתמטית|האנליזה המתמטית]]. אחד החידושים בהוכחתו של דיריכלה הוא שימוש מרכזי באנליזה מתקדמת כדי לקבל תוצאות ב[[תורת המספרים]].
|}
{{הפניה לערך מורחב|ערך=[[אנליזה מתמטית]]}}
האנליזה המתמטית פותחה ב{{ה|מאה ה-17}} על-ידי [[אייזק ניוטון]] ו[[גוטפריד וילהלם לייבניץ]] (אף שניצניה הופיעו מאות רבות קודם לכן, החל לפחות בעבודותיו של [[ארכימדס]]). אף שהאנליזה המתמטית פותחה לצורך מחקר ה[[פיזיקה]] ולשימושים ב[[הנדסה]], מתמטיקאים רבים הוסיפו לפתח את האנליזה המתמטית ובמרוצת השנים היא נהייתה שימושית מאוד במגוון תחומים במתמטיקה ובמדעים אחרים.

האנליזה המתמטית איפשרה לטפל באופן שיטתי בסכומים אינסופיים. סכומים כאלה נקראים [[טור (מתמטיקה)|טורים]]. [[לאונרד אוילר]] פיתח מאוד את תורת הטורים והשתמש בה (ובכלים נוספים מהאנליזה) לטובת תורת המספרים. אפשר לראות בעבודותיו אלה של אוילר את לידתה של [[תורת המספרים האנליטית]], אולם השימוש באנליזה לצורך ההוכחה של משפט דיריכלה מובהק בהרבה מהשימוש של אוילר בכלים מהאנליזה בתורת המספרים. לכן רבים רואים בהוכחה של משפט דיריכלה את נקודת לידתה של תורת המספרים האנליטית המודרנית.{{הערה|שם=ספרהיסטוריה}}

האנליזה המתמטית פותחה תחילה ללא הגדרות והוכחות [[ריגורוזיות]]. במשך השנים היא קיבלה צורה מתמטית ריגורוזית. בתהליך השתתפו מתמטיקאים רבים והוא הושלם רק לקראת סוף [[המאה ה-19]], אולם כבר בתחילת המאה ה-19 הכלים האנליטיים שבהם השתמש דיריכלה בהוכחתו היו ריגורוזיים למדי, כך שהוכחתו נחשבת למלאה גם בסטנדרטים מודרניים.

===עבודותיו של אוילר===
[[קובץ:Leonhard_Euler_2.jpg|שמאל|ממוזער|200 פיקסלים|[[לאונרד אוילר]], [[מתמטיקאי]] [[אירופה|אירופאי]] מ[[המאה ה-18]]. לעבודותיו ב[[תורת המספרים]] ובתורת [[טור (מתמטיקה)|הטורים]], ובראשן [[מכפלת אוילר|נוסחת המכפלה של אוילר]], היה תפקיד מרכזי ב[[הוכחה]] של משפט דיריכלה.]]
{{הפניה לערך מורחב|ערכים=[[מכפלת אוילר]], [[טור ההופכיים של המספרים הראשוניים]], [[חבורת אוילר]]}}
ב[[המאה ה-18|מאה ה-18]] חקר [[לאונרד אוילר]] את התפלגותם של [[מספר ראשוני|מספרים ראשוניים]]. הוא חקר את הפונקציה שלימים הורחבה על ידי [[ברנהרד רימן|רימן]] ונקראה [[פונקציית זטא של רימן]]. פונקציה זו היא ארכיטיפוס של משפחה רחבה של פונקציות הנקראות [[פונקציית L|פונקציות L]]. לפוקציות אלה (כמו גם לפונקציית זטא של רימן) היה תפקיד מכריע בהוכחה של דיריכלה.

אוילר פיתח את [[מכפלת אוילר|נוסחת המכפלה של אוילר]] עבור פונקציית זטא של רימן, נוסחה זו הפכה לימים כלי מרכזי בתורת המספרים האנליטית בכלל ובהוכחת משפט דיריכלה בפרט. באמצעות נוסחה זו הוכיח אוילר (בשנת [[1737]]) כי [[טור ההופכיים של המספרים הראשוניים]] מתבדר.{{הערה|{{Harv|Narkiewicz|2000|loc= 1.2}} }}

אוילר התייחס בעבודותיו לטענה של משפט דיריכלה ללא הוכחה.{{הערה|אוילר טען ללא הוכחה שהמשפט תקף עבור [[סדרה חשבונית|סדרות חשבוניות]] מהסוג <math>n=1 \mod 100</math>. ראו {{Harv|Euler|2000|loc= p241}} }}

בנוסף, התברר לימים כי עבודתיו של אוילר על [[חבורת אוילר|חבורת המספרים ההפיכים מודולו <math>n</math>]] חיוניות להוכחה.

===ניסוח המשפט===
[[קובץ:Legendre.jpg|ימין|ממוזער|200 פיקסלים|[[אדריאן-מארי לז'נדר]] – ניסח את משפט דיריכלה בשנת [[1798]] אך לא הצליח [[הוכחה|להוכיחו.]]]]
בשנת [[1798]] ניסח [[אדריאן-מארי לז'נדר]] את משפט דיריכלה ואף הציג הוכחה לו, אולם הוכחה זו הייתה שגויה. הוא השתמש בטענה טכנית מסוימת וכתב שקל להוכיח אותה. אולם לא כך היה הדבר. טענה זו הופרכה בשנת [[1858]] על-ידי [[אתאנאס דופרה]] {{אנ|Athanase Dupré}}. עם זאת לז'נדר נתן הוכחה נכונה למספר [[מקרה פרטי|מקרים פרטיים]].{{הערה|שם=ספרהיסטוריה}}

===תבניות ריבועיות===
[[קובץ:Carl_Friedrich_Gauss.jpg|שמאל|ממוזער|200 פיקסלים|[[קרל פרידריך גאוס]] – פיתח בסוף [[המאה ה-18]] את התורה של [[תבנית ריבועית|תבניות ריבועיות]] משני משתנים [[מספר שלם|שלמים]]. לתורה זו היה תפקיד חשוב בהוכחה המקורית של דיריכלה, אולם חלק מההוכחות המאוחרות יותר לא משתמשות בה.]]
{{הפניה לערך מורחב|תבנית ריבועית בינארית}}
בשנת [[1801]] פרסם [[קרל פרידריך גאוס]] את הספר "[[מחקרים אריתמטיים]]", שבנוסף לידע שהיה קיים אז ב[[תורת המספרים]], הכיל גם עבודות חדשות של גאוס על [[תבנית ריבועית|תבניות ריבועיות]]. בעבודותיו אלה חקר את השאלה איזה [[מספר שלם|מספרים שלמים]] אפשר לבטא בצורה <math>ax^2+bxy+cy^2</math> כאשר <math>a,b,c</math> שלמים נתונים ו-<math>x,y</math> [[משתנה|משתנים]] שלמים. במחקריו של גאוס הופיע [[שמורה (מתמטיקה)|אינווריאנט]] הנקרא [[מספר המחלקה (תבניות ריבועיות)|מספר המחלקה]] של מספר שלם, הקשור לתבנית ריבועית. כמו כן, כלל גאוס בספר זה את ההוכחות הראשונות (שלו) ל[[הדדיות ריבועית|הדדיות הריבועית]].
להדדיות הריבועית ולמספר המחלקה היה תפקיד חשוב בהוכחתו של דיריכלה, אם כי חלק מההוכחות המאוחרות יותר לא משתמשות בהם.{{הערה|שם=ספרהיסטוריה}}

===טור פורייה===
[[קובץ:Fourier2.jpg|ימין|ממוזער|200 פיקסלים|[[ז'אן-בטיסט ז'וזף פורייה]], [[מנחה מחקרי|מורו]] של דיריכלה, פיתח בתחילת [[המאה ה-19]] את [[טור פורייה]]. לגרסה [[מתמטיקה בדידה|דיסקרטית]] של קונספט זה היה תפקיד מכריע בהוכחת משפט דיריכלה.]]
{{הפניה לערך מורחב|ערכים=[[טור פורייה]], [[התמרת פורייה דיסקרטית]]}}
בתחילת [[המאה ה-19]] פיתח [[ז'אן-בטיסט ז'וזף פורייה|ז'וזף פורייה]] [[טור פורייה|שיטה]] לקרב כל [[פונקציה מחזורית]] על ידי [[צירוף ליניארי|קומבינציה]] של [[פונקציה טריגונומטרית|פונקציות טריגונומטריות]].
שיטה זו היא [[אנליזה מתמטית|אנליטית]] מטבעה ועוסקת באובייקטים רציפים. עד היום מרבית השימושים בשיטה הם אנליטיים ורציפים. אולם לימים התברר שגרסה [[מתמטיקה בדידה|דיסקרטית]] של השיטה היא בעלת תפקיד מפתח בהוכחת משפט דיריכלה.{{הערה|שם=ספרהיסטוריה}}

===הוכחת המשפט===
[[קובץ:Dirichlet.jpg|שמאל|ממוזער|200 פיקסלים|[[יוהאן פטר גוסטב לז'ן דיריכלה]]. הוכיח את המשפט בשנים [[1837]]–[[1839]].]]

בשנים [[1837]]–[[1839]] הוכיח [[יוהאן פטר גוסטב לז'ן דיריכלה]] את המשפט בסדרת מאמרים. בשנת 1837 דיריכלה הצהיר על כך שהוכיח את המשפט ופרסם את ההוכחה עבור <math>m</math> ראשוני. הוא גם הצביע על הטעות בהוכחתו של לז'נדר. את ההוכחה למקרה הכללי פרסם דיריכלה ב-1839.{{הערה|שם=ספרהיסטוריה}}

הוכחתו של דיריכלה מתבססת על [[התמרת פורייה דיסקרטית]], על [[חבורת אוילר]] ועל משפחת פונקציות שהוא הגדיר הנקראות כיום [[פונקציית L של דיריכלה|פונקציות L של דיריכלה]] ומהוות הכללה של [[פונקציית זטא של רימן]]. השלב הראשון בהוכחתו של דיריכלה מהווה רדוקציה לאי־התאפסות של פונקציות <math>L</math> בנקודה 1. שלב זה הופיע במאמרים מ-1837 למקרה הכללי. דיריכלה גם נתן במאמרים אלו נוסחה מפורשת לערך של פונקציות <math>L</math> בנקודה 1 והצליח להוכיח מנוסחה זו את אי־ההתאפסות עבור <math>m</math> ראשוני.{{הערה|שם=ספרהיסטוריה2|{{Harv|Narkiewicz|2000|loc= 2.2}}}} במאמרים משנת 1839 הציג דיריכלה נוסחה אחרת לערך של פונקציות <math>L</math> בנקודה 1 הקושרת בין ערך זה לאינווריאנט מסוים של מספר שלם הנקרא [[מספר המחלקה (תבניות ריבועיות)|מספר המחלקה]]. נוסחה זו נקראת [[נוסחת מספר המחלקה של דיריכלה]] והוכחתה מתבססת על עבודותיו של [[גאוס]] על [[תבנית ריבועית|תבניות ריבועיות]]. הנוסחה גוררת באופן מיידי את אי־ההתאפסות של פונקציות <math>L</math> בנקודה 1 ובכך משלימה את ההוכחה.

הוכחתו של דיריכלה נותנת גם מידע כמותי על [[התפלגות]] הראשוניים בסדרה חשבונית: היא מוכיחה ש[[צפיפות דיריכלה]] שלהם מבין כל הראשוניים היא חיובית. אולם היא לא מספקת מידע על ה[[צפיפות טבעית|צפיפות הטבעית]] של קבוצת הראשוניים בסדרה חשבונית.

===הוכחות מאוחרות יותר===
כאמור ההוכחה של משפט דיריכלה מחולקת לשני חלקים:
#רדוקציה לאי־התאפסות של פונקציית <math>L</math> בנקודה 1.
#הוכחת אי־התאפסות זו.
החלק הראשון כמעט ולא השתנה עם השנים. ישנן מספר גרסאות לחלק זה, אך הן דומות למדי. הדרכים המודרניות להציג את ההוכחה שונות במקצת מההצגה המקורית.

לעומת זאת, במרוצת השנים, מתמטיקאים רבים מצאו גרסאות רבות ושונות לחלק השני של ההוכחה.
ישנן גם הוכחות מועטות למשפט דיריכלה שאינן עוברות דרך פונקציית <math>L</math> כלל.

====עבודותיו של דדקינד על תורת המספרים האלגברית====
[[קובץ:Dedekind.jpeg|שמאל|ממוזער|150 פיקסלים|[[ריכרד דדקינד]] – שיכתב במחצית השנייה של המאה ה-19 את הוכחתו של דיריכלה בשפה מודרנית, ומצא מספר הוכחות נוספות המתבססות על כלים מתקדמים ב[[תורת המספרים האלגברית]] שפיתח.]]

במחצית השנייה של המאה ה-19 כתב [[ריכרד דדקינד]] את הספר "[[הרצאות בתורת המספרים]]" (Vorlesungen über Zahlentheorie), שסיכם את עבודותיו של דיריכלה והכיל מספר תוספות של דדקינד. בספר זה הוא ניסח מחדש את הוכחתו של דיריכלה בצורה מודרנית וקונספטואלית יותר. בגרסאות המאוחרות של הספר, הוא פיתח את התורה של [[חוג השלמים האלגבריים|חוגי השלמים]] ב[[שדה מספרים|שדות מספרים]] וה[[אידיאל (אלגברה)|אידיאל]]ים שלהם. תורה זו מאפשרת ניסוח מחדש של המושג [[מספר מחלקה (תבניות ריבועיות)|מספר המחלקה]] במונחים של [[הרחבת שדות|הרחבות ריבועיות]] של [[שדה המספרים הרציונליים| <math>\Q</math>]] במקום [[תבנית ריבועית בינארית|תבניות ריבועיות]]. בכך היא מאפשרת גם [[מספר מחלקה (תורת המספרים)|הכללת מושג זה עבור שדות מספרים כלליים]]. דדקינד הוכיח הכללה של נוסחת מספר המחלקה של דיריכלה לשדות מספרים כלליים. הכללה זו נקראת [[נוסחת מספר המחלקה של דדקינד]]. היא מספקת הוכחה נוספת למשפט דיריכלה. הוכחה זו לא עושה שימוש בהדדיות ריבועית, ובמובן מסוים היא קונספטואלית יותר, אבל היא פחות אלמנטרית כיוון שהיא עושה שימוש בכלים מתקדמים יותר מתורת המספרים האלגברית. בפרט היא החליפה את השימוש ב[[משוואת פל]] (הפשוטה יחסית) בשימוש ב[[משפט היחידות של דיריכלה]] המהווה הכללה של משוואת פל.{{הערה|פרק 184 ב-[http://rcin.org.pl/Content/142075/PDF/WA35_176301_15883-3_Art1.pdf התוספת ה-11 של דדקינד] ל{{harv
|דיריכלה
|דדקינד
|1999
}}
}}{{הערה|
{{harv
|דיריכלה
|דדקינד
|1999
}}
}}{{הערה|[https://mathoverflow.net/questions/180400/history-of-the-analytic-class-number-formula דיון] ב-[[mathOverflow]] על המקור של [[נוסחת מספר המחלקה של דדקינד]]}}

====ההוכחות האלמנטריות של מרטנס====
[[קובץ:Franz_Mertens.jpg|ימין|ממוזער|150 פיקסלים|[[פרנץ מרטנס]] – מצא בשלהי המאה ה-19 הוכחות אנליטיות פשוטות ואלמנטריות למשפט דיריכלה.]]

בשלהי המאה ה-19 הציג [[פרנץ מרטנס]] {{אנ|Franz Mertens}} מספר הוכחות אנליטיות [[מתמטיקה אלמנטרית|אלמנטריות]] לאי־התאפסות של פונקציית <math>L</math> בנקודה 1. ההוכחות האלה היו פשוטות יותר מהוכחתו של דיריכלה. הן לא עברו דרך [[נוסחת מספר המחלקה של דיריכלה|נוסחת מספר המחלקה]]. למעשה הן לא נתנו מידע ישיר על הערך של פונקציית <math>L</math>, אלא רק את העובדה שהיא לא מתאפסת.{{הערה|שם=מרטנס
|{{harv|Narkiewicz|2000|loc= 2.4}}
}}

====הרחבה של פונקציית זטא ופונקציות L למישור המרוכב====
[[קובץ:Georg_Friedrich_Bernhard_Riemann.jpeg|שמאל|ממוזער|150 פיקסלים|[[ברנהרד רימן]] – הרחיב בשנת [[1859]] את פונקציית זטא למישור המרוכב, וקישר בינה ובין הצפיפות הטבעית של המספרים הראשוניים.]]

בשנת [[1859]] פרסם [[ברנהרד רימן]] את מאמרו [[על מספר הראשוניים מתחת לגודל נתון]], שבו הוא הרחיב את ההגדרה של [[פונקציית זטא של רימן]] (שהוגדרה במקור על ידי אוילר עבור משתנה [[מספר ממשי|ממשי]] גדול מ-1) לכל משתנה [[מספר מרוכב|מרוכב]]. הרחבה זו איפשרה לקבל מידע רב על [[מספר ראשוני|מספרים ראשוניים]] באמצעות [[אנליזה מרוכבת]], ובכך סללה את הדרך להוכחת [[משפט המספרים הראשוניים]].

מספר מתמטיקאים (Kinkelin, [[אדולף הורוויץ|A. Hurwitz]], [[רודולף ליפשיץ|R. Lipschitz]]) הרחיבו את תוצאותיו של רימן עבור [[פונקציית L של דיריכלה|פונקציות L של דיריכלה]].{{הערה|
{{Harv
|Narkiewicz
|2000
|loc= 4.2}}
}}

====משפט המספרים הראשוניים וגרסה מדויקת יותר של משפט דיריכלה====
{{תמונות מרובות
| יישור = ימין
| כיוון = אופקי
| תמונה1 = Hadamard2_cropped.jpg
| רוחב = 130
| תמונה2 = De La Vallée Poussin.jpg
| סיומת = [[ז'אק אדמר]] ו[[שארל דה לה ואלה פוסן]] – הוכיחו בשנת [[1896]] את [[משפט המספרים הראשוניים]] וגרסה של משפט דיריכלה שנותנת מידע על ה[[צפיפות (תורת המספרים)|צפיפות הטבעית]].
| יישור סיומת = מרכז
}}
בשנת [[1896]] הוכיחו [[ז'אק אדמר]] ו[[שארל דה לה ואלה פוסן]] את משפט המספרים הראשוניים, בהתבסס על עבודותיו של [[ברנהרד רימן|רימן]]. ביחד עם הוכחותיהם למשפט המספרים הראשוניים, הוכיחו אדמר ודה לה ואלה פוסן גרסה של משפט דיריכלה שנותנת מידע על ה[[צפיפות טבעית|צפיפות הטבעית]] של קבוצת המספרים הראשוניים בסדרה חשבונית. הוכחתם משלבת בין הוכחתו של דיריכלה והוכחת משפט המספרים הראשוניים.{{הערה|שם=ספרהיסטוריה}}

====ההוכחות הקצרות של לנדאו====
[[קובץ:Edmund_Landau.jpg|שמאל|ממוזער|150 פיקסלים|[[אדמונד לנדאו]] – מצא, בתחילת המאה ה-20, הוכחה קצרה למשפט דיריכלה המשתמשת באנליזה מרוכבת.]]

בתחילת המאה ה-20 מצא [[אדמונד לנדאו]] שתי הוכחות אנליטיות נוספות לאי־התאפסות של [[פונקציית L של דיריכלה|פונקציית L]] ב-1. הוכחות אלו קצרות אף יותר מההוכחות של מרטנס, אך משתמשות בכלים של [[אנליזה מרוכבת]] ובכך פחות אלמנטריות.{{הערה|שם=לנדאו|{{Harv|Narkiewicz|2000
|loc=פרק 5.5 סעיף 4}}}}

====ההוכחות ללא פונקציות L של דיריכלה====
[[קובץ:Atle_Selberg.jpg|שמאל|ממוזער|150 פיקסלים|[[אטלה סלברג]] – מצא, בשנים 1948–1950, הוכחות למשפט דיריכלה אשר לא משתמשות ב[[פונקציית L של דיריכלה|פונקציית L]]. אחת ההוכחות אף מוכיחה את הגרסה של משפט דיריכלה הנוגעת [[צפיפות טבעית|לצפיפות הטבעית]], וזאת ללא שימוש ב[[אנליזה מרוכבת]].]]
החל מאמצע [[המאה ה-20]] נמצאו מספר הוכחות (על ידי [[אטלה סלברג]], [[הרולד שפירו]], [[הנס זסנהאוס]] ואחרים) למשפט דיריכלה אשר לא משתמשות ב[[פונקציית L של דיריכלה]]. הוכחות אלה משתמשות בכלים מ[[אנליזה מתמטית|אנליזה]] ואינן אלמנטריות או פשוטות יותר מהוכחתו של דיריכלה, אולם הן שונת ממנה באופן מהותי.{{הערה|{{harv
|Koshiba
|Uchiyama
|1966}}
}}
<!-- {{צ-מאמר|שם=On the existence of prime numbers in arithmetic progressions|קישור=https://projecteuclid.org/journals/proceedings-of-the-japan-academy/volume-42/issue-7/On-the-existence-of-prime-numbers-in-arithmetic-progressions/10.3792/pja/1195521877.full|שנת הוצאה=1966-01|כתב עת=Proceedings of the Japan Academy|כרך=42|doi=10.3792/pja/1195521877|עמ=696–701|מחבר=Zen'ichirô Koshiba, Saburô Uchiyama}}
 -->
ההוכחות מתבססות בין היתר על הכלים שפותחו על ידי סלברג ו[[פאול ארדש]] בהוכחתם האלמנטרית של [[משפט המספרים הראשוניים]]. אחת מההוכחות של סלברג למשפט דיריכלה מוכיחה את הגרסה על [[צפיפות טבעית|הצפיפות הטבעית]] של הראשוניים בסדרה חשבונית. בדומה להוכחה של סלברג וארדש למשפט המספרים הראשוניים, הוכחה זו לא משתמשת ב[[אנליזה מרוכבת]] אלה רק ב[[אנליזה ממשית]].
<!--
בשנים [[1948]]–[[1950]] נמצאו מספר הוכחות למשפט דיריכלה אשר לא משתמשות בפונקציית L של דיריכלה.{{הערה|A. Selberg: An elementary proof of Dirichlet's theorem about primes in an arithmetic progression. Ann. of Math.|כיוון=שמאל}}{{הערה|A. Selberg: An elementary proof of the prime-number theorem for arithmetic progressions. Canadian J. of Math.|כיוון=שמאל}}{{הערה|H. N. Shapiro: On primes in arithmetic progressions (I), (II). Ann. of Math., 52, 217-230, 231-243 (1950).|כיוון=שמאל}}{{הערה| H. Zassenhaus: Uber die Existenz von Primzahlen in arithmetischen Progressionen. Comment. Math. Helvetici, 22, 232-259 (1949).|כיוון=שמאל}}
 -->

==הכללות==
למשפט דיריכלה נמצאו [[הכללה (מתמטיקה)|הכללות]] במשך השנים. כמו כן מספר השערות ידועות מהוות הכללות שלו.
* [[משפט הצפיפות של צ'בוטרב]] ו[[משפט פרובניוס (תורת המספרים האלגברית)|משפט פרובניוס]]: שני משפטים אלה מחשבים את [[צפיפות (תורת המספרים)|הצפיפות]] של תתי-קבוצות מסוימות של קבוצת המספרים הראשוניים.

:משפט פרובניוס אינו מכליל את משפט דיריכלה אך אנלוגי לו, והוכחתו התבססה על הוכחת משפט דיריכלה. משפט הצפיפות של צ'בוטרב מהווה הכללה משותפת של משפט דיריכלה ומשפט פרובניוס. לשני המשפטים גרסאות הנוגעות לצפיפות דיריכלה ולצפיפות הטבעית.

:בהינתן [[פולינום]] <math>f</math> (עם מקדמים שלמים), משפט פרובניוס מחשב את הצפיפות של קבוצת המספרים הראשוניים <math>p</math> כך שהפולינום מודולו <math>p</math> מתפרק לגורמים בלתי פריקים בתבנית פירוק מסוימת. [[משפט פרובניוס (תורת המספרים האלגברית)#תבנית פירוק|תבנית פירוק]] היא מספר הגורמים הבלתי פריקים, ריבויים ודרגותיהם. דוגמה לתבנית פירוק היא התפצלות הפולינום לגורמים ליניאריים.

:משפט צ'בוטרב אומר שבהינתן [[הרחבת שדות]] <math>K/\Q</math> ואיבר ב[[חבורת גלואה]] <math> \gamma\in \operatorname{Gal}(K/Q)</math> קיימים אינסוף ראשוניים <math>p</math> כך ש[[מחלקת פרובניוס]] המתאימה להם ב <math>\operatorname{Gal}(K/Q)</math> תכיל את <math> \gamma</math>. המשפט גם מחשב את הצפיפות של קבוצת הראשוניים האלה.

:כדי לקבל את משפט דיריכלה ממשפט צ'בוטרב יש להציב את המקרה בו <math>K</math> היא [[שדה ציקלוטומי|הרחבה ציקלוטומית]] (או באופן שקול את המקרה בו <math>f=x^m-1</math>).

:הוכחת המשפטים האלו מקבילה להוכחת משפט דיריכלה. היא משתמשת בכלים מ[[תורת המספרים האלגברית]] שפיתחו [[דדקינד]] ו[[פרדיננד גאורג פרובניוס|פרובניוס]]. את אי־ההתאפסות (והסופיות) של [[פונקציית L של דיריכלה]] ב - 1 מחליפה אי־ההתאפסות (והסופיות) של [[פונקציית L של ארטין]] ב - 1.
*ניתן לראות במשפט דיריכלה חלק מתופעה כללית, על-פיה במקרים רבים בהינתן תנאי מסוים שאין מניעה ברורה שמספרים ראשוניים יקיימו אותו, אז קיימים מספרים ראשוניים המקיימים אותו. דוגמאות נוספות לתופעה זו הן:
** השערת [[תאומים ראשוניים|התאומים הראשוניים]]
** [[משפט גרין-טאו]]
** [[בעיות לנדאו|בעיית לנדאו]] הרביעית
** השערת שלשות הראשוניים
** [[השערת גולדבך]], במידה מסוימת.
:משפט דיריכלה הוא הדוגמה הראשונה לתופעה זו שהוכחה. השערה מרחיקת לכת הממחישה תופעה זו היא [[השערת דיקסון]] {{אנג|Dickson's conjecture}} המוכללת, האומרת שאם <math>f_1,\dots f_n</math> הם פולינומים במשתנה אחד עם מקדמים שלמים המקיימים תנאים מסוימים, אז קיימים אינסוף מספרים טבעיים <math>k</math> כך שהמספרים <math>f_1(k),\dots,f_n(k)</math> הם ראשוניים.
:השערה זו נקראת גם [[השערת בניקובסקי|השערת בוניאקובסקי]] (Bunyakovsky conjecture) המוכללת. ההשערה מכלילה את כל הטענות שנמנו מעלה למעט השערת גולדבך.
* חלק מרכזי במשפט דיריכלה הוא אי־ההתאפסות של פונקציית L של דיריכלה ב-1. ישנן טענות אי־התאפסות של פונקציות L שונות, בהן כאלה שמכלילות את משפט דיריכלה. דוגמה:
** אי־התאפסות של פונקציית זטא של רימן על הישר <math>\Re(s)=1</math> הוכחה על ידי [[ז'אק אדמר|אדמר]] ו[[שארל דה לה ואלה פוסן|דה לה ולה פוסן]]. היא גוררת את [[משפט המספרים הראשוניים]].
** אי־התאפסות של פונקציית <math>L</math> של דיריכלה על הישר <math>\Re(s)=1</math> הוכחה על ידי אדמר ודה לה ולה פוסן. היא גוררת את הגרסה של משפט דיריכלה לגבי הצפיפות הטבעית.
** אי־התאפסות של פונקציית <math>L</math> של ארטין ב-1 גוררת את [[משפט הצפיפות של צ'בוטרב]].
** אי־התאפסות של פונקציית <math>L</math> של ארטין על הישר <math>\Re(s)=1</math> גוררת גרסה של משפט צ'בוטרב התקפה לגבי הצפיפות הטבעית.
:ההכללה האולטימטיבית של כל אי־ההתאפסויות האלה היא [[השערת רימן המוכללת]].

==שימושים==
עיקר השפעתו של משפט דיריכלה היא עקיפה. אולם למשפט גם מספר שימושים ישירים. להלן מספר דוגמאות:
*משפט דיריכלה והגרסאות הכמותיות שלו מהווים כלי מרכזי בהוכחת [[השערת גולדבך החלשה]].
*משפט דיריכלה גורר כי עבור אינסוף ראשוניים <math>p</math>, הפולינום <math>x^m-1</math> מתפצל לגורמים ליניאריים מעל השדה <math>\mathbb F_p</math>. משפט צ'בוטרב גורר את אותו הדבר עבור כל פולינום עם מקדמים שלמים. כך שבעוד שעבור כל מספר ראשוני <math>p</math> [[שדה סופי|השדה הסופי]] <math>\mathbb F_p</math> אינו [[שדה סגור אלגברית|סגור אלגברית]], לפי משפט דיריכלה ומשפט צ'בוטרב, כל{{ביאור|שם=כמעט כל|למעשה מספיקה כל קבוצת ראשוניים בעלת צפיפות 1.}} השדות האלה יחד מהווים מעין "מערכת סגורה אלגברית".
*בהינתן מערכת משוואות פולינומיות <math>X</math> עם מקדמים שלמים במספר משתנים, [[השערות וייל]] מספקות קשר בין ה[[טופולוגיה]] של ה[[יריעה אלגברית|יריעה]] <math>X(\C)</math> של הפתרונות ה[[שדה המספרים המרוכבים|מרוכבים]] של <math>X</math> ובין מספר הנקודות בקבוצה <math>X(\mathbb F_p)</math> של הפתרונות ב-<math>\mathbb F_p</math> של <math>X</math>. השימוש המרכזי של השערות וייל הוא לקבל מידע על הקבוצה <math>X(\mathbb F_p)</math> באמצעות היריעה <math>X(\C)</math>. אולם בזכות משפט דיריכלה ומשפט צ'בוטרב ניתן גם לקבל מידע על היריעה <math>X(\C)</math> באמצעות כל הקבוצות <math>X(\mathbb F_p)</math> כאשר <math>p</math> רץ על כל{{ביאור|שם=כמעט כל}} הראשוניים.

==השפעה==
===תורת המספרים האנליטית===
{{ערך מורחב|תורת המספרים האנליטית}}
ניתן לראות במשפט דיריכלה את לידתה של [[תורת המספרים האנליטית]]. אומנם שימוש ב[[אנליזה מתמטית|אנליזה]] לטובת [[תורת המספרים]] הופיע עוד בעבודותיו של [[אוילר]], אולם תפקידה של האנליזה בהוכחתו של דיריכלה היה סיסטמטי ומסיבי בהרבה. משפט דיריכלה יצר [[פרדיגמה]] חדשה בתורת המספרים. על פי פרדיגמה זו, כדי לחקור שאלה מסוימת בתורת המספרים יש לבצע את השלבים הבאים:
# להתאים לשאלה הנחקרת [[פונקציית L]], זו אומרת [[טור דיריכלה]] המקודד את הבעיה.
# להוכיח תכונות בסיסיות של פונקציית L זו: [[מכפלת אוילר]], ולאחר עבודותיו של [[רימן]], גם [[המשכה אנליטית]] ([[המישור המרוכב|למישור המרוכב]]) ו[[משוואה פונקציונלית]].
# לחקור פונקציית L זו בכלים אנליטיים. זה כולל בדרך כלל:
#* הוכחת אי־ההתאפסות שלה באזורים מסוימים במישור המרוכב.
#* הוכחת הרגולריות שלה באזורים מסוימים במישור המרוכב.
#* מציאת חסמים על גודלה.
# להסיק מהתנהגות פונקציית L זו מסקנות על השאלה המקורית בתורת המספרים.
פרדיגמה זו השתרשה עד כדי כך, שכיום תוצאות רבות בתורת המספרים מנוסחות כתוצאות על תכונות של פונקציות L, ללא גזירה של מסקנות לגבי האובייקטים מתורת המספרים שפונקציות L אלה מבוססות עליהם.

להלן מספר דוגמות לפונקציות L הנחקרות כיום:
* [[פונקציית זטא של רימן]] – מקודדת תכונות של [[מספר ראשוני|המספרים הראשוניים]].
* [[פונקציית L של דיריכלה]] – מקודדת תכונות של המספרים ראשוניים ב[[סדרה חשבונית]] ו[[קרקטר דיריכלה|קרקטרי דיריכלה]].
* [[פונקציית זטא של דדקינד]] – מקודדת תכונות של [[שדה מספרים|שדות מספרים]].
* [[פונקציית L של ארטין]] – מקודדת תכונות של הצגות גלואה של הרחבות שדות מספרים.
* [[פונקציית L של הקה]] – מקודדת תכונות של [[חבורת מחלקות האידלים]] ו[[קרקטר הקה|קרקטרי הקה]].
* [[פונקציית L של תבנית אוטומורפית]] – מקודדת תכונות של [[תבנית אוטומורפית|תבניות אוטומורפיות]].
* [[פונקציית L מוטיבית]] – מקודדת תכונות של אובייקטים מ[[גאומטריה אלגברית אריתמטית]]. לדוגמה:
** [[פונקציית זטא של הסה-וויל]] ו[[פונקציית זטא אריתמטית]] - שתיהן סופרות נקודות ב[[יריעה אלגברית|יריעות אלגבריות]] מעל [[שדה סופי]].
** [[פונקציית זטא של איגוסה]] – סופרת נקודות ביריעות אלגבריות מעל [[חוג (מבנה אלגברי)|חוגים]] סופיים.
פונקציות L מופיעות גם מחוץ לתורת המספרים, כאשר סופרים אובייקטים. לדוגמה:
* פונקציית זטא של [[חבורה (מבנה אלגברי)|חבורה]] – טור דיריכלה הסופר תתי-חבורות של חבורה.
* פונקציית זטא הצגתית של חבורה - טור דיריכלה הסופר הצגות של חבורה.
'''הערה:''' [[פונקציית זטא|פונקציות זטא]] הן מקרה פרטי של [[פונקציית L|פונקציות L]], בו כל המקדמים הם חיוביים.

לעיתים, הדרך לקשר בין שני אובייקטים שונים היא להוכיח שיש להם אותה פונקציית L. [[השערת לנגלנדס]] ו[[השערת טניאמה-שימורה]] הן דוגמאות לקשר כזה.

===תורת המספרים האלגברית ואלגברה קומוטטיבית===
{{ערך מורחב|ערכים=[[תורת המספרים האלגברית]], [[אלגברה קומוטטיבית]]}}
שימושים בכלים [[אלגברה|אלגבריים]] לטובת [[תורת המספרים]] עתיקים כמו תורת המספרים עצמה, כך שתורת המספרים האלגברית התפתחה לאורך תקופה ארוכה. במהלך [[המאה ה-19]] חלה התפתחות דרמטית בתחום זה. אחת מאבני הדרך המשמעותיות בתחום זה הן העבודות של [[ריכרד דדקינד|דדקינד]] על חוגי שלמים בשדות המספרים והאידיאלים שלהם. עבודות אלה שמתבססות על עבודותיו של [[ארנסט קומר|קומר]] מהוות המשך ישיר לעבודותיו של דיריכלה על משפט דיריכלה.

ה[[אלגברה קומוטטיבית|אלגברה הקומוטטיבית]] פותחה על ידי [[דוד הילברט|הילברט]] ו[[אמי נתר|נתר]] בהתבסס על עבודותהם של דדקינד וקומר.

===תורת ההצגות===
{{ערך מורחב|תורת ההצגות}}
ההתפתחות של [[תורת ההצגות]] ושל [[תורת המספרים האלגברית]] שזורות זו בזו. ניתן לראות בעבודותיו של [[ז'אן-בטיסט ז'וזף פורייה|פורייה]] על [[טור פורייה|פירוק של פונקציה לקומבינציה של פונקציות טריגונומטריות]] את תחילתה של תורת ההצגות. פירוק זה נקרא טור פורייה (או [[התמרת פורייה]]). מנקודת מבט מודרנית, אפשר לראות פירוק זה כפירוק של מרחב הפונקציות על [[הישר הממשי|הישר]] (או ה[[מעגל היחידה|מעגל]]) ל[[תת-מרחב שמור|תתי מרחבים אינווריאנטים]] לגבי הזזות. במילם אחרות: פירוק של [[ההצגה הרגולרית]] של הישר (או המעגל) ל[[הצגה אי-פריקה|הצגות בלתי פריקות]]. אולם בשלב זה, רעיונות אלה הוגבלו למספר מצומצם של דוגמאות דומות, ורק [[חבורה אבלית|לחבורות קומוטטיביות]].

דיריכלה, שהיה תלמידו של פורייה, הוציא את הרעיונות האלה מההקשר של אנליזה שבה הם פותחו והפעיל אותם על דוגמאות נוספות של חבורות קומוטטיביות. מהלך זה היה אחד הרעיונות המשמעותיים בהוכחת משפט דיריכלה.

דדקינד שיכתב את עבודותיו של דיריכלה בשפה כללית ונקייה יותר, ובכך פיתח את התמרת פורייה ותורת הקרקטרים עבור חבורה אבלית סופית כלשהי. דדקינד הבין שבשביל שימושים מתקדמים יותר בתורת המספרים הוא צריך גם אנלוגים של תורת הקרקטרים גם עבור חבורות לא קומוטטיביות. במכתביו ל[[פרדיננד גאורג פרובניוס|פרובניוס]] הציע לו דדקינד לפתח תורה כזאת.{{הערה|{{harv
|Etingof et al.
|2011}}
}}
פרובניוס הצליח לפתח תורה זו במאמרו המפורסם משנת [[1896]]. במאמר זה פותחה תורה מעמיקה של קרקטרים של חבורות לא קומוטטיביות, ואנלוגים של פירוק פורייה בשבילן, אולם מושג [[הצגה ליניארית|ההצגה]] עוד לא היה קיים. עבודותיו של פרובניוס איפשרו להגדיר את [[פונקציית L של ארטין]], שהיא הכללה של פונקציית L של דיריכלה, ולהוכיח את [[משפט הצפיפות של צ'בוטרב|משפט צ'בוטרב]] שהוא הכללה של משפט דיריכלה.

את מושג ההצגה הגדיר תלמידו של פרובניוס, [[ישי שור]], ובכך הניח את היסודות לתורת ההצגות בצורתה המודרנית. שור גם הסביר את הקשר בין הצגות וקרקטרים.

במהלך [[המאה ה-20]] התפתחה תורת ההצגות והפכה לתחום מרכזי במתמטיקה המקושר לתחומים שונים הכוללים לצד תורת המספרים גם אלגברה, [[גאומטריה]], אנליזה ואפילו פיזיקה. אולם תורת המספרים האנליטית הייתה ונשארה אחד המקורת המרכזיים לשאלות בתורת ההצגות. כך לדוגמה התחום של [[תבנית אוטומורפית|תבניות]] ו[[הצגה אוטומורפית|הצגות אוטומורפיות]] הוא תחום משותף ל[[תורת המספרים]] ו[[תורת ההצגות]]. כך גם [[תוכנית לנגלנדס]]. כמו כן תורת ההצגות של [[חבורה p-אדית|חבורות]] [[מספר p-אדי|p-אדיות]] הוא תחום בתורת ההצגות השואב את עיקר המוטיבציה שלו מתורת המספרים.

==ההוכחות למשפט==
===הוכחות אלגבריות למקרים פרטיים===
{{ערך מורחב|קיומם של אינסוף מספרים ראשוניים}}
כל ההוכחת הידועות למשפט דיריכלה הן [[אנליזה מתמטית|אנליטיות]], ומוכיחות טענה חזקה יותר מאינסופיות קבוצת הראשוניים בסדרה חשבונית. אולם עבור מקרים פרטיים של משפט דיריכלה יש הוכחות [[אלגברה|אלגבריות]] הדומות ל[[קיומם של אינסוף מספרים ראשוניים|הוכחתו של אוקלידס לכך שיש אינסוף ראשוניים]] וכמעט שאינן מספקות מידע על צפיפות קבוצה זו. רוב ההוכחות האלה מבוססות על הרעיון הבא: מוצאים [[פולינום]] <math>f</math> כך שלכל <math>k</math> [[מספר טבעי|טבעי]], למספר <math>f(k)</math> יש [[גורם]] [[מספר ראשוני|ראשוני]] [[סדרה חשבונית|בסדרה החשבונית]]. אז מציבים מכפלה של ראשוניים מהסדרה החשבונית לפולינום כדי לקבל מחלקים ראשוניים מהסדרה החשבונית שלא השתתפו במכפלה. נדגים שיטה זו במספר מקרים:
====מספרים שמשאירים שארית 3 בחלוקה ל-4====
{| width="100%" class="wikitable" align="right"
! משפט
|-
| יש [[אינסוף]] ראשוניים שמשאירים שארית 3 בחלוקה ל-4.
|}
{{טבלה מוסתרת|עיצוב=|עיצוב כותרת=|כותרת='''הוכחה'''|לא מוסתר=כן|תוכן=נניח [[הוכחה בשלילה|בשלילה]] שיש מספר סופי של ראשוניים כאלה ונסמן ב-<math>p_1,\dots,p_n</math> את אלה מביניהם שהם גם גדולים מ-3. נשים לב שיש לפחות מספר ראשוני כזה (המספר 7), ולכן המספר  <math>N:=4p_1\cdot\ldots\cdot p_n+3</math> מוגדר היטב.
* נראה כי ל-<math>N</math> יש גורם ראשוני <math>p</math> המשאיר שארית 3 בחלוקה ב-4:
:נשים לב ש-<math>N</math> הוא מספר אי־זוגי, ולכן כל הגורמים הראשוניים שלו, הם מספרים אי־זוגיים. כמו כן לפי [[המשפט היסודי של האריתמטיקה|משפט קיום ויחידות של הפירוק לגורמים ראשוניים]] <math>N</math> הוא מכפלה של גורמיו הראשוניים (באיזשהם חזקות). לכן, בהכרח קיים  לפחות [[גורם]] ראשוני אחד <math>p</math> של <math>N</math> שמשאיר שארית 3 בחלוקה ב-4, כי אם בשלילה כל הגורמים הראשוניים של <math>N</math> היו כאלה שאינם משאירים שארית 3 בחלוקה ב-4, אז מכך שהם אי־זוגיים נובע שכולם היו משאירים שארית 1 בחלוקה ב-4, ולכן גם מכפלתם, כלומר <math>N</math> עצמו,  הייתה משאירה שארית 1 בחלוקה ב-4, בסתירה לכך שלפי הגדרת <math>N</math> מתקיים ש-<math>N</math> משאיר 3 בחלוקה ב-4.
* נראה ש: <math>p>3</math>:
:אכן, אם בשלילה <math>p\leq 3</math>, אז כיוון ש-<math>p</math> הוא מספר ראשוני אי־זוגי נובע שלמעשה <math>p=3</math>, וכיוון ש-<math>p</math> (כלומר 3) מחלק את <math>N</math> נקבל ש-3 צריך לחלק גם את <math>N-3=4p_1\cdot\ldots\cdot p_n</math>, וזו סתירה כי אגף ימין הוא מכפלה של ראשוניים שכולם שונים מ-3 (כי הנחנו ש-<math>p_1,\dots,p_n</math> גדולים מ-3, והגורם הנוסף במכפלה הוא <math>4=2\cdot 2</math>).
*הגעה לסתירה:
:כיוון שכל המספרים הראשוניים שגדולים מ-3 ומשאירים 3 בחלוקה ב-4 הם <math>p_1,\dots,p_n</math>, בהכרח נובע שיש אינדקס <math>i</math> כך ש-<math>p=p_i</math>. זה בלתי אפשרי מכיוון שבמקרה כזה <math>p</math> מחלק גם את <math>N</math> וגם את <math>4p_1\cdot\ldots\cdot p_n</math> ולכן את <math>3=N-4p_1\cdot\ldots\cdot p_n</math>, בסתירה לכך ש-<math>p>3</math> כמו שהראינו קודם.}}

====מספרים שאינם ריבוע מודולו <span style="font-family: 'Computer Modern roman', serif; font-style: italic; font-size:1.5em ">m</span> ====
הוכחה דומה נותנת את המשפט הבא:
{| width="100%" class="wikitable" align="right"
! משפט
|-
| יהי <math>2<m\in \N</math>. אז יש [[אינסוף]] ראשוניים שאינם [[שארית ריבועית|ריבוע מודולו]] <math>m</math>.
|}
{{טבלה מוסתרת|עיצוב=|עיצוב כותרת=|כותרת='''הוכחה'''| תוכן=
נניח [[הוכחה בשלילה|בשלילה]] שיש מספר סופי של ראשוניים שאינם [[שארית ריבועית|ריבוע מודולו]] <math>m</math>. נבחר מספר <math>k</math> זר ל-<math>m</math> שאינו ריבוע מודולו <math>m</math>. נסמן את הראשוניים  שאינם [[שארית ריבועית|ריבוע מודולו]] <math>m</math> ואינם מחלקים את <math>k</math> ב-<math>p_1,\dots,p_n</math>. נסמן <math>N=mp_1\cdots p_n+k</math>.{{ביאור|כאן אנו משתמשים במוסכמה שהערך של מכפלה ריקה הוא 1.}} נשים לב ש-<math>N</math> אינו ריבוע מודולו <math>m</math>. מ[[המשפט היסודי של האריתמטיקה|משפט קיום ויחידות של הפירוק לגורמים ראשוניים]] נובע של-<math>N</math> חייב להיות לפחות [[גורם]] ראשוני אחד שאינו ריבוע מודולו <math>m</math>. הרי אם כל גורמיו הראשוניים של <math>N</math>  היו ריבועים מודולו <math>m</math> אז <math>N</math> היה מכפלה של מספרים שהם ריבוע מודולו <math>m</math> ולכן בעצמו ריבוע מודולו <math>m</math>. גורם זה זה של <math>N</math> חייב להיות שונה מ-<math>p_1,\dots,p_n</math> ולא יכול לחלק את <math>k</math>. זה מוביל לסתירה.}}

====מספרים שהם 1 מודולו <span style="font-family: 'Computer Modern roman', serif; font-style: italic; font-size:1.5em ">m</span>====
{{עוגן|1modn}}
{| width="100%" class="wikitable" align="right"
! משפט
|-
| יהיה <math>m\in \N</math>. אז יש אינסוף ראשוניים בסדרה החשבונית <math>1+m\N</math>
|}
הוכחת המשפט מתבססת על ה[[למה (מתמטיקה)|למה]] הבאה:
{| width="100%" class="wikitable" align="right"
! למה
|-
| לכל <math>m>1</math> קיים [[פולינום]] <math>f</math> עם מקדמים שלמים ומקדם חופשי שווה ל-<math>1</math> כך שלכל <math>k</math> טבעי, כל מחלק ראשוני <math>p</math> של <math>f(k)</math> מקיים <math>p=1 \mod m</math>.
|}
הפולינום <math>f</math> הוא למעשה <math>x\mapsto \Phi_m(mx)</math> כאשר <math>\Phi_m</math> הוא [[הפולינום הציקלוטומי]] של <math>m</math>. הוכחת הלמה מתבססת על כלים של [[תורת המספרים האלגברית]], ההוכחה איננה פשוטה אך אלגברית לחלוטין. לצורך המחשה נביא כאן את ההוכחה כאשר <math>m =q</math> ראשוני.
{{טבלה מוסתרת|עיצוב=|עיצוב כותרת=|כותרת='''הוכחת הלמה ל-<math>m=q</math>:'''|תוכן=ניקח
<math display="block">f(k)=1+qk+\dots +(qk)^{q-1}</math>
ונקבע <math>p</math> המקיים
<math display="block">p|f(k)</math>
ראשית נראה כי
<math display="block">. qk \neq 1 \mod p</math>
אכן, אם
<math display="block">qk = 1 \mod p</math>
אז
<math display="block">f(k) =q \mod p</math>
ולכן <math>p|q</math>.
מכיוון ש<math>p \neq q</math> זה סותר את ההנחה ש - <math>q</math> ראשוני.

כעת נבחין ש
<math display="block">f(k)(qk-1)=(qk)^q-1</math>
ולכן
<math display="block">. (qk)^q=1 \mod p</math>
יהיה <math>l</math> הסדר של <math>qk</math> מודולו <math>p</math> זאת אומרת המספר הטבעי הקטן ביותר המקיים
<math display="block">. (qk)^l=1 \mod p</math>
נקבל <math>l|q</math>. קל לראות ש - <math>l\neq 1</math>. לכן <math>l=q</math>.
מצד שני, לפי [[המשפט הקטן של פרמה]] <math>l|(p-1)</math>, זה מוכיח ש
<math display="block">p=1 \mod q</math>
כפי שרצינו.}}
כעת נוכיח את המשפט
{{טבלה מוסתרת|עיצוב=|עיצוב כותרת=|כותרת='''הוכחה למשפט דיריכלה עבור <math>a=1</math>:'''| לא מוסתר=כן| תוכן=
נניח בשלילה שיש מספר סופי של ראשוניים בסדרה החשבונית <math>1+m\N</math>. נסמנם ב - <math>p_1,\dots,p_n</math>. נסמן <math>N=f(p_1\cdots p_n)</math> כאשר <math>f</math> הוא הפולינום מהלמה. יהיה <math>p</math> מחלק ראשוני של <math>N</math>. לפי הלמה <math>p=1 \mod m</math>   ומאידך <math>p\neq p_1,\dots,p_n</math> . סתירה}}

====מסקנות====
מטענות אלה נובע משפט דיריכלה ל- <math>m=1,2,3,4,6</math>.

===מכפלת אוילר===
{{ערך מורחב|מכפלת אוילר}}
נקודת המוצא של הוכחתו של דיריכלה (כמו גם של כמעט כל ההוכחות המאוחרות יותר) היא נוסחת [[מכפלת אוילר|המכפלה של אוילר]]:
<math display="block">\sum_{n=1}^\infty\frac1n=\prod_{p}\left(\sum_{k-0}^\infty \frac{1}{p^k}\right)=\prod_{p}\left(\frac{1}{1-\frac1p}\right)</math>כאשר המכפלה עוברת על כל המספרים הראשוניים. הנוסחה מבוססת על [[טור הנדסי|טורים הנדסיים]] ועל [[המשפט היסודי של האריתמטיקה|משפט קיום ויחידות של פירוק לגורמים ראשוניים]]. הנוסחה מאפשרת לקבל מידע על ההתפלגות של מספרים ראשוניים (מאגף ימין) באמצעות כלים של אנליזה (בהם מנתחים את אגף שמאל). עם זאת, בצורתה זו הנוסחה לא נותנת מידע רב, שכן שני אגפיה מתבדרים. כדי להפוך אותה לשימושית יותר, מכניסים פרמטר ממשי <math>s>1</math> ומחליפים את הנוסחה בנוסחת המכפלה של אוילר עבור [[פונקציית זטא של רימן]]:
<math display="block">\zeta(s):=\sum_{n=1}^\infty\frac1{n^s}=\prod_{p}\frac{1}{1-\frac1{p^s}}</math>
באופן כללי, כדי לקבל מנוסחה זו את המידע הדרוש לנו, יש לנתחה כאשר <math>s</math> שואף ל-<math>1</math>. בדרך כלל כדי להבין את הטיעונים ברמה האינטואיטיבית אפשר להציב <math>s=1</math>, אבל זה לא מספיק כדי לקבל הוכחה [[ריגורוזיות|ריגורוזית]].

ממכפלת אוילר ניתן לקבל ש[[טור ההופכיים של המספרים הראשוניים]] מתבדר. לשם כך לוקחים [[לוגריתם]] של שני הצדדים של הנוסחה ומשתמשים ב[[טור טיילור|קירוב טיילור]] מסדר ראשון של הלוגריתם, ומקבלים:
<math display="block">\ln(\zeta(s))=-\sum_{p}\ln\left({1-\frac1{p^s}}\right)=\sum_{p}\frac1{p^s}+f(s)
</math>
כאשר:
<math display="block">0<f(s):=-\sum_{p}\left(\frac1{p^s}+\ln\left({1-\frac1{p^s}}\right)\right)<\sum_{p}\frac{1}{p^{2s}}<1</math>
מכאן קל להסיק שהטור
<math display="block">\sum_{p}\frac1{p}
</math>
מתבדר.{{ביאור|זאת כי <math>\ln(\zeta(1)) = \ln(\infty) = \infty</math> מתבדר.}}

באופן פשטני אפשר לומר כי הרעיון בהוכחתו של דיריכלה הוא להתאים טיעון זה לטור דומה עבור הראשוניים בסדרה חשבונית.

===שימוש במספרים מרוכבים===
{{ערך מורחב|מספר מרוכב}}
אחד הרעיונות המהפכניים של רימן בתורת המספרים האנליטית היא להציב לפונקציית זטא ערכים [[מספר מרוכב|מרוכבים]] של '''המשתנה''' <math>s</math> (עם [[חלק ממשי]] גדול מ-1) ואז להמשיך את [[פונקציית זטא של רימן]] ל[[פונקציה מרומורפית]] המוגדרת על [[המישור המרוכב]] כולו. זה הופך את פונקציית זטא לכלי עוצמתי לחקר ההתפלגות של [[מספר ראשוני|המספרים הראשוניים]]. רעיון זה הוביל בין היתר להוכחת [[משפט המספרים הראשוניים]]. אולם רעיון זה הופיע כ-30 שנה לאחר הוכחת משפט דיריכלה ואינו מופיע בהוכחה המקורית של דיריכלה. חלק מההוכחות המאוחרות יותר משתמשות ברעיון זה, מה שמקצר את ההוכחה. המחיר של קיצור זה הוא שימש בכלים מתקדמים יחסית מ[[אנליזה מרוכבת]], שהוכחתם לא פשוטה.

הוכחתו של דיריכלה (כמו גם כמעט כל ההוכחות המאוחרות יותר) משתמשת במספרים מרוכבים במקום אחר: [[פונקציית L של דיריכלה|פונקציות <math>L</math> של דיריכלה]], שהן גרסאות של פונקציית זטא של רימן הנחוצות בהוכחה, הן פונקציות עם '''ערכים''' מרוכבים גם כאשר '''המשתנה''' שלהן ממשי. שימוש זה לא דורש אנליזה מרוכבת אלא רק הבנה של מספרים מרוכבים, ולכן פשוט בהרבה. גם שימוש זה לא הכרחי, אפשר להחליף אתו בשימוש ב[[פונקציות טריגונומטריות]], אולם החלפה כזאת תסרבל את ההוכחה ותסתיר את הרעיונות שבה, כך שהיא לא מקובלת.

===קרקטר דיריכלה===
{{ערך מורחב|ערכים=[[קרקטר דיריכלה]], [[פונקציית L של דיריכלה]], [[חבורת אוילר]]}}
[[מכפלת אוילר]] נותנת מידע על התפלגות כל הראשוניים, בעוד שעבור משפט דיריכלה יש צורך במידע על התפלגות הראשוניים בסדרה חשבונית. לא ניתן להתאים את מכפלת אוילר באופן ישיר כדי שהיא תערב רק מספרים בתת-קבוצה מסוימת, אולם לעיתים ניתן להתאים את מכפלת אוילר כדי שהיא תערב את כל המספרים עם משקלים מסוימים. עבור פונקציה חסומה <math>a:\N \to \C</math> אפשר להגדיר גרסה ממושקלת של פונקציית זטא של רימן באופן הבא:
<math display="block">. L(s,a):=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{a(n)}{n^s}</math>
טור כזה נקרא באופן כללי [[טור דיריכלה]]. עבור בחירות מסוימות של <math>a</math> יהיו לפונקציה זו חלק מהתכונות הטובות של פונקציית זטא של רימן, לרבות מכפלת אוילר. מקרה אחד כזה הוא כאשר הפונקציה <math>a</math> היא [[קרקטר דיריכלה]].{{ביאור|המושג [[קרקטר דיריכלה]] הוגדר על ידי [[דדקינד]]. בהוכחה של [[דיריכלה]], במקום לדבר על קרקטרים של [[חבורת אוילר]], דיריכלה בחר יוצרים בלתי תלויים של חבורה זאת והתאים פונקציית L לכל בחירה של [[שורש יחידה|שורשי יחידה]] מתאימים עבור כל יוצר. {{Harv|Narkiewicz|2000|loc= פרק 2.1, סעיף 2}}}}
{| width="100%" class="wikitable" align="right"
! הגדרה
|-
|קרקטר דיריכלה עם מנחה (condactor) <math>m</math> הוא פונקציה <math>\chi:\N\to \C</math> המקימת:
#לכל <math>n\in \N</math> מתקיים: <math>\chi(n+m)=\chi(n)</math>
#לכל <math>n</math> שאינו זר ל-<math>m</math> מתקיים: <math> \chi(n)=0</math>
#לכל <math>n,k\in \N</math> מתקיים: <math>\chi(nk)=\chi(n)\chi(k)</math>
#<math>\chi(1)=1</math>
|}
לטורי דיריכלה עם פונקציית משקל שהיא קרקטר דיריכלה קוראים [[פונקציית L של דיריכלה|פונקציות <math>L</math> של דיריכלה]]. עבור פונקציות אלה מתקימת נוסחת המכפלה של אוילר:
<math display="block">L(s,\chi)=\prod_{p}\frac{1}{1-\frac{\chi(p)}{p^s}}</math>
כיוון שקרקטר דיריכלה הוא [[פונקציה מחזורית]] (תנאי 1) ניתן לראות בו [[פונקציה על]] ה[[חוג (מבנה אלגברי)|חוג]] הסופי <math>\Z|_m:=\Z/m\Z</math>. כיוון שהוא מתאפס על האיברים הלא [[איבר הפיך|הפיכים]] בחוג זה (תנאי 2) ניתן לראות בו פונקציה על [[חבורה (מבנה אלגברי)|חבורת]] האיברים ההפיכים בחוג זה. חבורה זו נקראת חבורת אוילר ומסומנת ב-<math>\Z|_m^\times</math>. מנקדת מבט זו קרקטר דיריכלה הוא [[קרקטר (מתמטיקה)|קרקטר כפלי]] של החבורה <math>\Z|_m^\times</math>. קרי [[הומומורפיזם]] מחבורה זו לחבורה <math>\C^ \times:=\C\smallsetminus \{0\} </math>. אוסף כל הקרקטרים של חבורה <math>G</math> נקרא [[דואליות פונטריאגין|החבורה הדואלית]] של <math>G</math> ומסומן ב-<math>\widehat G</math>. בהתאם, אוסף כל קרקטרי דיריכלה עם מנחה <math>m</math> מסומן ב-<math>\widehat{\Z|_m^\times}</math>.

===התמרת פורייה דיסקרטית כפלית===
{{ערכים מורחבים|ערכים=[[התמרת פורייה דיסקרטית]], [[חבורת אוילר]]}}
אנו מעוניינים בראשוניים [[סדרה חשבונית|בסדרה החשבונית]] <math>a+m\N</math>. באופן עקרוני ניתן לבודד ראשוניים אלה על ידי שימוש בפונקציית משקל שתהיה [[פונקציה מציינת|הפונקציה המציינת]] של הסדרה החשבונית. אולם פונקציה זו איננה [[קרקטר (מתמטיקה)|קרקטר]], ולכן [[מכפלת אוילר]] לא תקפה עבורה. דיריכלה התמודד עם קושי זה בכך שהוא הציג את הפונקציה המציינת של הסדרה החשבונית בתור [[צירוף ליניארי]] של קרקטרים. באופן ספציפי, הוא הוכיח את הטענה הבאה:
{| width="100%" class="wikitable" align="right"
! טענה
|-
|{{עוגן|פי|נסמן ב- <math>\Phi_{a,m}</math> את הפונקציה המציינת של הסדרה החשבונית <math>a+m\N</math>.}} אז מתקיים:
<math display="block"> \Phi_{a,m}=\frac1{\varphi(m)}\sum_{\chi\in \widehat{\Z|_m^\times}}\overline{ \chi(a)}\chi</math>
או, באופן מפורש יותר, לכל <math>n\in \N</math> מתקיים:
<math display="block">. \frac1{\varphi(m)}\sum_{\chi\in \widehat{\Z|_m^\times}}\overline{ \chi(a)}\chi(n)=\delta_{a,n}</math>
|}
טענה זו היא מקרה פרטי של [[התמרת פורייה]] על [[חבורה אבלית|חבורות אבליות]] סופיות:
{| width="100%" class="wikitable" align="right"
! משפט
|-
|לכל חבורה סופית <math>G</math> ולכול פונקציה <math>f:G\to \C</math> מתקיים:
<math display="block">f=\sum_{\chi\in \hat G} \langle f,\chi \rangle \chi</math>
כאשר:
<math display="block">. \langle f,h \rangle =\frac{1}{\#G}\sum_{x\in G}f(x)\overline{h(x)}</math>
|}
למשפט זה יש [[דואליות פונטריאגין|הכללה]] לחבורת אבליות [[חבורה טופולוגית|טופולוגיות]] [[מרחב קומפקטי מקומית|קומפקטיות מקומית]] ואף לחבורת לא אבליות.
ניתן להוכיח את המשפט על ידי ליכסון משותף של אופרטורים ממרחב הפונקציות <math>\{f:G\to \C\}</math> לעצמו המתקבלים מהזזה באיברי <math> G</math>. אך יש למשפט גם הוכחות אלמנטריות יותר. שלא משתמשות ב[[אלגברה ליניארית]]. למשל הוא נובע בקלות יחסית מהלמה הבאה:
{| width="100%" class="wikitable" align="right"
! למה
|-
|לכל חבורה אבלית סופית <math>G</math> ולכל <math>1\neq x\in G</math> מתקיים:
<math display="block">\sum_{\chi\in \hat G}\chi(x)=0</math>
|}
עובדה זו (הנכונה בנוסח המוכלל <math>\sum_{\chi\in \hat G}\dim(\chi)\chi(x)=0</math> לכל חבורה סופית) נובעת מ"יחס שור השני" על [[טבלת קרקטרים|טבלת הקרקטרים]]. ניתן להסיק אותה גם מן הלמה הבאה:
{| width="100%" class="wikitable" align="right"
! למה
|-
|לכל חבורה סופית <math>G</math> ולכל <math>1\neq x\in G</math> קיים <math>\chi\in \hat G</math> כך שמתקיים: <math>\chi(x)\neq 1</math>.
|}
למה זו נובעת בקלות ממשפט המיון ל[[חבורה אבלית נוצרת סופית|חבורות אבליות נוצרות סופית]] המראה ש-x שייך למחובר ישר ציקלי; אך ניתן גם להוכיח אותה ישירות על ידי הרחבה הדרגתית של קרקטר מתת-חבורה לכל החבורה. כמו כן, במקרה שרלוונטי למשפט דיריכלה <math>G=\Z|_m^\times</math> ניתן גם להוכיח אותה באמצעות ניתוח המבנה של החבורה <math>\Z|_m^\times</math> המבוסס על [[משפט השאריות הסיני]].

=== רדוקציה להתכנסות ואי־התאפסות של פונקציית L של דיריכלה ===

עבור פונקציה חסומה <math>f:\N \to \C</math> נסמן <math display="block">P(s,f)=\sum_{p} \frac{f(p)}{p^s}</math>
משפט דיריכלה נובע מהטענה הבאה:
<math display="block">. P(1,\Phi_{a,m})=\infty</math>
כאשר <math>\Phi_{a,m}</math> היא [[פונקציה מציינת|הפונקציה המציינת]] שהוגדרה [[#פי|למעלה]].
מאידך <math display="block">. P(s,\Phi_{a,m})=\frac{1}{\varphi(m)} \sum_{\chi\in \hat \Z|_m^{\times}} \overline{\chi (a)}P(s,\chi)</math>
באופן דומה להסבר [[#מכפלת אוילר|למעלה]], מכאן, ניתן להסיק ש:
<math display="block" id="logsum">. P(s,\Phi_{a,m})=\frac{1}{\varphi(m)} \sum_{\chi\in \hat \Z|_m^{\times}} \overline{\chi (a)}\ln (L(s,\chi))+g(s)
</math>
כאשר <math>g(s)</math> היא [[פונקציה חסומה]] בקרן <math>(1,\infty)</math>.

אם <math>\chi</math> הוא הקרקטר הטריוויאלי אז <math>L(s,\chi)</math> דומה מאוד לפונקציית זטא של רימן, ובפרט <math>L(1,\chi)=\infty</math>. לכן <math>\ln(L(1,\chi))=\infty</math>. כך שכדי להוכיח ש <math>P(1,\Phi_{a,m})=\infty</math> די להוכיח ש <math>\ln(L(s,\chi))</math> חסום בסביבת <math>s=1</math> עבור <math>\chi</math> לא טריוויאלי. במילים אחרות, די להוכיח ש: <math display="block">L(1,\chi)\neq 0,\infty</math>

'''הערה:''' לשוויונים למעלה יש משמעות [[ריגורוזיות|ריגורוזית]] רק כאשר <math>s>1</math>. כמו כן, פונקציית הלוגריתם איננה מוגדרת ביחידות, כך שהטיעון שהוצג איננו ריגורוזי. ניתן לקבל טיעון ריגורוזי בהתבסס על הלמה הפשוטה הבאה:
{{טבלה מוסתרת|עיצוב=|עיצוב כותרת=|כותרת='''למה'''| תוכן=
תהיא <math>f:(0,\infty)\to\Complex</math> פונקציה רציפה כך שקיימים <math>C>c>0</math> המקימים
<math display="block">. c < |e^f| < C </math> אז <math>f</math> חסומה.
}}

===התכנסות של פונקציית L של דיריכלה===
{{ערך מורחב|מבחן דיריכלה}}
[[קובץ:Oscillatory sum.webm|מרכז|ממוזער|500px|אנימציה המדגימה איך לחסום את קצב ההתכנסות של טורים מהסוג של <math>L(s,\chi)</math>]]
נקבע קרקטר לא טריוויאלי <math>\chi</math> בעל מחזור <math>m</math>.
ההתכנסות (בתנאי) של הטור <math display="block">L(1,\chi)=\sum_{n=1}^\infty \frac{\chi(n)}{n}=\lim_{s\to 1} L(s,\chi).</math> היא טענה פשוטה למדי. היא נובעת בקלות מ[[מבחן דיריכלה]] להתכנסות טורים ומהלמה הפשוטה הבאה:
{| width="100%" class="wikitable" align="right"
! למה
|-
| עבור כל <math>k\in \N</math> מתקיים <math display="block">\sum_{i=k+1}^{k+m}\chi(i)=0</math>
|}
למעשה קל להסיק מלמה זו גם חסם יעיל על קצב ההתכנסות של הטור.

לפיכך, כדי להוכיח את המשפט דיריכלה, די להוכיח את המשפט הבא:

{| width="100%" class="wikitable" align="right"
! משפט
|-
| עבור כל קרקטר דיריכלה לא טריוויאלי <math>\chi</math> מתקיים:
<math display="block">L(1,\chi)\neq 0</math>
|}

משפט זה לא פשוט כלל, ולמעשה מהווה את עיקר הקושי בהוכחת משפט דיריכלה, אולם, יש הבדל עקרוני משמעותי בינו לבין משפט דיריכלה:
בעוד שגם עבור סידרה חשבונית נתונה, משפט דיריכלה אינו טריוויאלי כלל, משפט זה קל לבדיקה לכל קרקטר דיריכלה נתון: כדי להוכיח את המשפט לקרקטר נותון די לחשב את הסכום החלקי <math>\sum_{n=1}^N \frac{\chi(n)}{n}</math> עד ל <math>N</math> גדול מספיק כך שהערכה לשגיאה בחישוב הטור תהיה קטנה מערך הסכום החלקי. אומנם בהיעדר חסם מלרע לערך של פונקציית <math>L</math> ב-1, אין דרך לדעת כמה זמן יערוך חישוב כזה, אך (בהנחה שהמשפט מתקיים; מה שאנו יודעים בדיעבד) החישוב בהכרח יוכיח אותו בזמן סופי עבור הקרקטר הנתון.

כיוון שיש מספר סופי של קרקטרי דיריכלה עם מנחה (conductor) נתון, טיעון זה מאפשר להוכיח את משפט דיריכלה עבור כל סידרה חשבונית נתונה באמצעות חישוב סופי. במחשב מודרני, קל לבצע את החישוב עד ערכי <math>m</math> גדולים למדי (אלפים). גם באמצעות חישוב ידני אפשר להוכיח את המשפט לערכי <math>m</math> שעבורם הוא לא היה ידוע בטרם דיריכלה פיתח שיטה זו.

{{טבלה מוסתרת|עיצוב=|עיצוב כותרת=|כותרת={{עוגן|חישובL|'''חישוב מפורש של <math>L(1,\chi)</math>'''}}|תוכן=
דיריכלה אף פיתח נוסחה ל - <math>L(1,\chi)</math> המציגה אותו כסכום סופי:
<math display="block">L(1,\chi)=-\frac{1}{m}\sum_{k=1}^{m-1} \ln(1-e^{2\pi i k/m})\sum_{l=1}^{m}\chi(l)e^{2\pi i kl/m}</math>
פיתוח הנוסחה מתבסס על פירוק של <math>\chi</math> לצירוף ליניארי של קרקטרים אדיטיביים באמצעות התמרת פורייה אדיטיבית. זאת אומרת פירוק של <math>\chi</math> ל[[צירוף ליניארי]] של פונקציות מחזוריות <math>\psi_i</math> המקיימות <math>\psi_i(k+l)=\psi_i(k)\psi_i(l)</math>. מקדמי פירוק זה הם [[סכום גאוס|סכומי גאוס]] סופיים. נותר לחשב את טורי דיריכלה <math>L(1,\psi_i)</math>.
קל לפתח נוסחה סגורה לטורים אלה באמצעות [[פונקציה יוצרת|פונקציות יוצרות]].

אומנם הנוסחה מספקת דרך קלה ומהירה להוכיח את המשפט עבור מנחה נתון, אבל היא לא מקלה על הוכחת המשפט במקרה הכללי, וההוכחות הידועות למשפט דיריכלה לא משתמשות בה. עם זאת הנוסחה שימושית מאוד בתורת המספרים, לדוגמה לצורך חישוב [[מספר מחלקה (תורת המספרים)|מספרי מחלקה]]. כמו כן, דיריכלה השתמש בה כדי להוכיח את המשפט שלו עבור המקרה בו <math>m</math> ראשוני.{{הערה|{{Harv|Narkiewicz|2000|loc= 2.2}} }} הוכחה למקרה הכללי לא משתמשת בהוכחה זו.
}}

מההתכנסות של <math>L(1,\chi)</math> יחד עם [[#logsum|הנוסחה למעלה]], קל להסיק שההתבדרות של <math>P(1,\Phi_{1,m})</math> גוררת את ההתבדרות של <math>P(1,\Phi_{a,m})</math> לכל <math>a</math> זר ל- <math>m</math>. במילים אחרות מקבלים רדוקציה של הגרסה הכמותית של משפט דיריכלה למקרה בו <math>a=1</math>. עם זאת רדוקציה זו לא תקפה לגרסה הרגילה של משפט דיריכלה. כך שההוכחה האלגברית שהוסברה [[#1modn|למעלה]] למשפט דיריכלה למקרה <math>a=1</math> איננה מספיקה כדי לסיים את ההוכחה. אולם ניתן להתאים את ההוכחה הזאת לכדי הוכחה של הגרסה הכמותית של משפט דיריכלה ובכך לסיים את ההוכחה. ראו פרוט [[#הוכחות אלגבריות|למטה]].

===המקרה הלא ממשי===
דיריכלה מצא טיעון פשוט ואלגנטי להוכיח ש <math>L(1,\chi)\neq 0</math> כאשר לא כל ערכי <math>\chi</math> [[מספר ממשי|ממשיים]]. לא כל ההוכחות למשפט דיריכלה משתמשות בטיעון זה. זאת כיוון שאת רוב ההוכחות לאי־התאפסות <math>L(1,\chi)</math> במקרה שערכי <math>\chi</math> ממשיים ניתן להתאים גם למקרה הכללי. עם זאת, התאמות אלה בדרך כלל מכבידות על ההוכחה. לכן, הרבה מקורות מציגים את הטיעון של דיריכלה למקרה הלא ממשי בנפרד, ובכך מפשטים את שאר ההוכחה. כך גם נראתה ההוכחה המקורית של דיריכלה.

אפשר לראות בטיעון זה של דיריכלה כטעון [[דיכוטומיה]]: או ש<math>L(1,\chi)</math> לא מתאפס, או שהוא מתאפס באופן מובהק מספיק שיגרור מסקנות לא הגיונית על התפלגות הראשוניים בסדרה חשבונית שיובילו [[סתירה (לוגיקה)|לסתירה]]. באופן פורמלי יותר, הטיעון מבוסס על הלמה הבאה:

{| width="100%" class="wikitable" align="right"
! {{עוגן|למה0–2|למה}}
|-
|
יהיו <math>\chi_1, \chi_2</math> שני קרקטרים עם אותו מנחה (condactor). אז '''לא ייתכן כי'''
<math display="block">L(1,\chi_1)=L(1,\chi_2)=0</math>
|}
הרעיון בהוכחת הלמה מבוסס על ניתוח צפיפות דיריכלה של הראשוניים בסדרה החשבונית <math>1+m\N</math>: כאמור [[#logsum|למעלה]] צפיפות זו נתונה על ידי הנוסחה
<math display="block" id = "logsum1">P(s,\Phi_{1,m})=\frac{1}{\varphi(m)} \sum_{\chi\in \widehat{\Z|_m^{\times}}}\ln (L(s,\chi))+g(s).</math>
כאשר <math>g(s)</math> היא פונקציה חסומה בקרן <math>(1,\infty)</math>.
נסמן ב <math>\chi_0\in \widehat{\Z|_m^{\times}}</math> את הקרקטר הטריוויאלי.
באופן לא ריגורוזי, אם מניחים בשלילה ש-<math>L(1,\chi_1)=L(1,\chi_2)=0</math> ומציבים <math>s=1</math> לנוסחה מקבלים:
<math display="block">\begin{align}
P(1,\Phi_{1,m})=&\frac{1}{\varphi(m)} \left ( \ln L(1,\chi_0)+\ln L(1,\chi_1)+\ln L(1,\chi_2)+\sum_{\chi\in \widehat{\Z|_m^{\times}};\chi\neq \chi_0,\chi_1,\chi_2}\ln (L(s,\chi)) \right )+g(s)
\\=&\frac{1}{\varphi(m)} \left ( \infty-\infty-\infty+\sum_{\chi\in \widehat{\Z|_m^{\times}};\chi\neq \chi_0,\chi_1,\chi_2}\ln (L(s,\chi)) \right )+g(s)=-\infty.
\end{align}</math>
מה שלא ייתכן כי <math>P(1,\Phi_{1,m})\geq 0</math>.
אמנם אין כל משמעות ריגורוזית לחיבור וחיסור של ערכים אינסופיים, אבל ניתן להפוך טיעון זה לריגורוזי:
{{טבלה מוסתרת|עיצוב=|עיצוב כותרת=|כותרת={{עוגן|למה התאפסות כפולה|'''הוכחה ריגורוזית של הלמה'''}}|לא מוסתר=כן|תוכן=
[[קובץ:Integral vs. sum.webm|שמאל|ממוזער|400px|אנימציה המדגימה איך לחסום ההפרש בין [[פונקציית זטא של רימן]] והאינטגרל <math display="block">\int_1^\infty \frac{1}{x^s}dx =\frac{1}{s-1}.</math>]]
נכפיל את שני הצדדים של הנוסחה [[#logsum1|למעלה]] ב <math>\varphi(m)</math> וניקח [[אקספוננט]] שלהם. נקבל
<math display="block">e^{\varphi(m)P(s,\Phi_{1,m})}= e^{g(s)}\prod_{\chi\in \hat \Z|_m^{\times}}L(s,\chi)</math>
מכאן קל להסיק ש:
<math display="block">\inf_{s\in(1,\infty)}\left|\prod_{\chi\in \hat \Z|_m^{\times}}L(s,\chi)\right|>0</math>
ולכן גם:
<math display="block">\inf_{s\in(1,\infty)}\left|\zeta(s)L(s,\chi_1)L(s,\chi_2)\right|>0</math>
קל לראות (על ידי [[מבחן דיריכלה]]) ש <math>\lim_{s\to 1 } L'(s,\chi)=-\sum_{n=1}^\infty\frac{\chi(n)\ln n}{n}</math> מתכנס עבור <math>\chi</math> לא טריוויאלי.
לכן אם מניחים בשלילה ש: <math display="block">L(1,\chi_1)=L(1,\chi_2)=0</math> אז מקבלים ש
<math display="block">\lim_{s\to 1}\left|\frac{L(s,\chi_i)}{s-1}\right|<\infty</math>
כמו כן, על ידי השוואת פונקציית זטא של רימן לאינטגרל <math display="block">\int_1^\infty \frac{1}{x^s}dx </math>
[[פונקציית זטא של רימן#נוסחה|קל להראות]] כי <math display="block">\lim_{s\to 1} \left|\zeta(s)(s-1)\right |<\infty.</math> לכן <math display="block">\lim_{s\to1}\left|\zeta(s)L(s,\chi_1)L(s,\chi_2)\right|=\lim_{s\to1}\left|\zeta(s)(s-1)\frac{L(s,\chi_1)}{s-1}\frac{L(s,\chi_2)}{s-1}(s-1)\right|=0
</math>
בסתירה למה שקיבלנו קודם.
}}
מלמה זו קל להסיק אי־התאפסות של פונקציית <math>L</math> לקרקטר לא ממשי:
{| width="100%" class="wikitable" align="right"
! הוכחה ש - <math>L(1,\chi)\neq 0</math> עבור <math>\chi</math> לא ממשי.
|-
| נניח בשלילה ש: <math>L(1,\chi)=0</math>. נקבל <math display="block">L(1,\bar\chi)=\overline{L(1,\chi)}= 0.</math> זה סותר את הלמה הקודמת.
|}
מטענה זו ו[[#logsum|מהנוסחה למעלה]] קל להסיק את משפט דיריכלה (בגרסה הכמותית) עבור <math>a</math> שאינו ריבוע מודולו אף מחלק גדול מ-2 של <math>m</math>.
כמו כן, בשיטה דומה, אפשר לקבל רדוקציה של משפט דיריכלה לטענה הבאה:
<!-- <math display="block">\sum_{p ; \exists k.\, p =k^2 \mod m} \frac{1}{p} =\infty</math> -->
<math display="block">P(1,\Phi_{sq,m})=\infty</math>
כאשר <math>\Phi_{sq,m}</math> היא ה[[פונקציה מציינת|פונקציה המציינת]] של [[שארית_ריבועית|קבוצת המספרים שהם ריבוע מודולו <math>m</math>]].

מ[[#למה0–2|הלמה למעלה]] קל גם להסיק את הטענה הבאה:

{{ציטוט|קיים <math>m_0</math> כך שמשפט דיריכלה נכון לכל <math>m</math> שאינו מחלק את <math>m_0</math>. כמו כן, על ידי חישוב של מספר סופי של פונקצוית L, ניתן לחסום מלרע את הערך של <math>m_0</math> על ידי חסם גבוהה כרצוננו.}}

===רדוקציה להתבדרות פונקציית זטא של דדקינד===
{{ערך מורחב|פונקציית זטא של דדקינד}}
נקבע [[קרקטר דיריכלה]] [[מספר ממשי|ממשי]] <math>\chi</math>. נגדיר
<math display="block">\zeta_{\chi}(s):=L(s,\chi)\zeta(s)=\prod_{p} \frac{1}{(1-p^{-s})(1-\chi(p)p^{-s})}=\prod_{p ;\,\chi(p)=1} \frac{1}{(1-p^{-s})^2} \prod_{p ;\, \chi(p)\neq 1} \frac{1}{(1-p^{-2s})}
</math>
על ידי פתיחת סוגריים קל להראות כי זהו [[טור דיריכלה]] עם מקדמים חיוביים. למעשה (עד כדי מודיפיקציה קלה) זוהי [[פונקציית זטא של דדקינד]] עבור הרחבה ריבועית מסוימת של שדה המספרים הרציונליים.

השלב הבא ברוב ההוכחות של משפט דיריכלה הוא להראות שהתבדרות של טור זה ב - <math>s=1</math> גוררת ש - <math>L(1,\chi)\neq0</math>. באופן אינטואיטיבי אפשר להסביר זאת בכך שאם <math>\zeta_\chi(1)=\infty</math> אז
<math display="block">L(1,\chi)=\frac{\zeta_\chi(1)}{\zeta(1)}=\frac\infty\infty\neq 0.</math>
קל להפוך טיעון זה לריגורוזי, באופן דומה [[#למה התאפסות כפולה|להוכחת הלמה למעלה]]

קל לראות ש:
<math display="block"> \prod_{p ;\, \chi(p)\neq 1} \frac{1}{(1-p^{-2s})}
</math>
מתכנס כש <math>s=1</math> לכן התבדרות <math>\zeta_\chi(1)</math> שקולה למעשה להתבדרות
<math display="block">\prod_{p ;\,\chi(p)=1} \frac{1}{(1-p^{-1})^2}
</math>
השקולה להתבדרות
<math display="block">\prod_{p;\,\chi(p)=1} \frac{1}{(1-p^{-1})}
</math>
זו בתורה שקולה להתבדרות הטור
<math display="block">\sum_{p;\,\chi(p)=1} \frac{1}{p}
</math>
ההתבדרות האחרונה היא למעשה מקרה פרטי של הגרסה הכמותית של משפט דיריכלה. ואכן למקרה זה יש הוכחות [[אלגברה|אלגבריות]] כמעט לחלוטין שלא עושות שימוש בכל הארגומנטים לעליל, כך שאפשר לראות בכל ההוכחה עד כאן בתור רדוקציה למקרה זה. אולם יש גם הוכחות [[אנליזה מתמטית|אנליטיות]] למקרה זה אשר משתמשות בטיעונים לעליל וספציפית בפירוק
<math display="block">\zeta_{\chi}(s)=L(s,\chi)\zeta(s)</math>
שאותו לא ניתן לראות סתם מחקר של קבוצת הראשוניים המקיימים <math>\chi(p)=1</math>.
====המקרה של קרקטר לא ממשי====
אומנם הראינו איך ניתן לטפל במקרה של קרקטר לא ממשי [[משפט דיריכלה#המקרה הלא ממשי|למעלה]], אבל ניתן לטפל גם בו באמצעות [[פונקציית זטא של דדקינד]] מתאימה. זוהי הפונקציה
<math display="block">\zeta_m(s):=\prod_{\chi\in \widehat{\Z|_m^\times}}L(s,\chi).</math>
והיא למעשה פונקציית זטא של דדקינד עבור [[שדה ציקלוטומי|השדה הציקלוטומי]] <math>\Q(\sqrt[d]{1})</math> (עד כדי מודיפיקציה קלה).
גם במקרה זה קל להראות שהתבדרות פונקציה זו ב <math>s=1</math> גוררת <math>L(1,\chi)\neq 0</math> עבור כל <math>\chi\in \widehat{\Z|_m^\times}</math> ושקול להתבדרות הטור
<math display="block">\sum_{p ;\,p=1 \mod m} \frac{1}{p}.</math> גם במקרה זה, ניתן להוכיח זאת הן בגישה אלגברית והן בגישה אנליטית, אך הוכחות אלה מסובכות יתר מההוכחות למקרה הממשי.

===הוכחות אנליטיות===
ההוכחות האנליתיות מתבססות על תופעת ה[[דיכוטומיה]] הבאה: אם <math>L(1,\chi)= 0</math> אז לא רק שטור הדיריכלה <math>\zeta_\chi(s)</math> מתכנס ב <math>s=1</math> אלא הוא גם מתכנס עבור כל <math>s</math> חיובי. זה מוביל ל[[סתירה (לוגיקה)|סתירה]] מכיוון שקל לראות שהטור <math>\zeta_\chi\left(\frac{1}{2}\right)</math> מתבדר.

באופן מפורט יותר, תחילה כותבים את הפונקציה <math>\zeta_\chi(s)</math> כטור דיריכלה: <math>\zeta_\chi(s)=\sum c_n n^{-s}</math> ומוכיחים את הלמה הפשוטה הבאה:
{| width="100%" class="wikitable" align="right"
! למה
|-
| לכל <math>n</math> טבעי מתקיים:
* <math>c_n\geq 0</math>
*<math>c_{n^2}\geq 1</math>
|}
מכאן יש 2 גישות:
* הוכחה המשתמשת ב[[אנליזה מרוכבת]] (ספציפית ב[[הלמה של לנדאו|למה של לנדאו]])
* הוכחה [[מתמטיקה אלמנטרית|אלמנטרית]], אך קשה יותר טכנית
====הוכחה המשתמשת באנליזה מרוכבת====
תחילה מוכיחים (באמצעות [[מבחן דיריכלה]]) שהטור <math>L(s,\chi)</math> מתכנס (בתנאי) כאשר <math>\Re(s)>0</math>. לאחר מכן שמים לב כי עבור <math>\Re(s)>1</math> מתקיים:
<math display="block">\zeta(s)=\zeta(s)-\int_1^\infty t^{-s}dt+\int_1^\infty t^{-s}dt=\sum_{n=1}^\infty \left(\frac{1}{n^s} -\int_n^{n+1} t^{-s}dt\right)+\frac{1}{s-1}</math>
מכאן מסיקים כי אם <math>L(1,\chi)=0</math> אז למכפלה <math>\zeta_\chi(s):=\zeta(s)L(s,\chi)</math> יש המשכה אנליטית לחצי המישור <math>\Re(s)>0</math>. לכן מכיוון שמקדמי הטור <math>\zeta_\chi(s)</math> הם חיוביים, [[הלמה של לנדאו]] גוררת שטור זה מתכנס כאשר <math>\Re(s)>0</math>. זה מוביל לסתירה כי:
<math display="block">\zeta_\chi(1/2)=\sum_{n=1}^\infty c_n n^{-\frac12}\geq \sum_{k=1}^\infty c_{k^2} (k^2)^{-\frac12} \geq \sum_{k=1}^\infty k^{-1}=\infty</math>
הוכחה זאת היא אחת מהוכחותיו של [[אדמונד לנדאו|לנדאו]].{{הערה|שם=לנדאו}}

====הוכחה אלמנטרית====
{{מצגת
|כותרת=הדגמה של [[שיטת ההיפרבולה של דיריכלה]]
|רוחב=400
|
קובץ:Hyperbola method-1.png#איור 1  <math display="block">\color{blue}\sum_{ij<n^2} a_ib_j</math>
קובץ:Hyperbola method-2.png#איור 2 <math display="block">{\color{blue}\sum_{ij<n^2; i\leq n} a_ib_j}+{\color{red}\sum_{ij<n^2; i> n} a_ib_j}</math>
קובץ:Hyperbola method-3.png#איור 3 <math display="block">{\color{blue}\sum_{i=1}^n a_i\sum_{j=1}^{n^2/i} b_j} + {\color{red}\sum_{j=1}^n  b_j \sum_{j=n+1}^{n^2/i}a_i}</math>
}}
[[קובץ:Sum minus integral vs its limit.webm|שמאל|ממוזער|400px|אנימציה המדגימה איך לקבל קירוב אסימפטוטי של הטור
<math display="block">\sum_{n=1}^x n^{-1/2}</math>]]
ההוכחה האלמנטרית מתבססת על שיערוך הטור
<math display="block">\sum_{n=1}^x c_n n^{-1/2},</math>
כאשר <math>x</math> גדול.
ראשית מקבלים חסם מלרע:
<math display="block">\sum_{n=1}^x c_n n^{-1/2}\geq \sum_{n=1}^\sqrt{x} n^{-1} = \frac{\ln(x)}{2}+O(1)</math>

לאחר מכן משתמשים בפירוק
<math display="block">\sum_{n=1}^x c_n n^{-1/2}= \sum_{kl<x} k^{-1/2}\chi(l)l^{-1/2}</math> המבוסס על הפירוק
<math display="block">\zeta_\chi(s)= \zeta(s)L(s,\chi)</math>
וב[[שיטת ההיפרבולה של דיריכלה]] כדי לקבל [[פיתוח אסימפטוטי|שיערוך אסימפטוטי]] של הסכום
<math display="block">. \sum_{n=1}^x c_n n^{-1/2}</math> לשם כך יש לקבל את השיערוכים האסימפטוטיים הבאים:
<math display="block">\sum_{n=1}^x \chi(n)n^{-1}=L(1,\chi)+O(1/x)</math>
<math display="block">\sum_{n=a}^b \chi(n)n^{-s}=O(a^{-s})</math>
<math display="block">\sum_{n=1}^x n^{-1/2}=2\sqrt{x}+\alpha+O\left(\frac{1}{\sqrt{x}}\right)</math>
כאשר <math>\alpha </math> קבוע מתאים.
כל אלה נותנים את השיערוך
<math display="block">\sum_{n=1}^x c_n n^{-1/2}=2\sqrt{x}L(1,\chi)+O(1)</math>
כך שאם <math>L(1,\chi)=0</math> זה מוביל לסתירה עם החסם מלרע.
הוכחה זאת היא אחת מהוכחותיו של [[פרנץ מרטנס|מרטנס]].{{הערה|שם=מרטנס}}

====המקרה הלא ממשי====
קל למדי להתאים את ההוכחה שמשתמשת באנליזה מרוכבת לכל קרקטר <math>\chi</math>. ההוכחה האלמנטרית נהיית מסורבלת בהרבה אם מנסים להתאימה לקרקטר כללי, כך שהדבר לא נעשה מכיוון שהוא מיותר.

===הוכחות אלגבריות===
{{ערכים מורחבים|ערכים=[[נוסחת מספר המחלקה של דיריכלה]], [[נוסחת מספר המחלקה של דדקינד]]}}

כאמור, אין הוכחות אלגבריות לחלוטין למשפט דיריכלה. אולם ישנן הוכחות הדומות באופיין [[#הוכחות אלגבריות למקרים פרטיים|להוכחות האלגבריות למעלה]] להתבדרות <math>\zeta_\chi(1)</math>, או באופן שקול לעובדה שיש הרבה ראשוניים המקיימים <math>\chi(p)=1</math>. היתרונות בהוכחות האלגבריות הוא שהן מפורשות יותר ונותנות נוסחה מפורשת לערך <math>L(1,\chi)</math> כאשר <math>\chi</math> הוא קרקטר ממשי. נוסחה זו נקראת [[נוסחת מספר המחלקה של דיריכלה]].
====גישה אלמנטרית====
הרעיון הוא למצוא פולינום כך שחלק ניכר מהמחלקים הראשוניים של ערכיו (בנקודות שלמות) יקיימו <math>\chi(p)=1</math>. אולם הפעם לא די בכך, מכיוון שאנו צריכים שלפולינום יהיו די ערכים כדי לגרור את התבדרות הטור המתאים. לכן זה צריך להיות פולינום במספר משתנים, מכיוון שקבוצת הערכים של פולינום לא ליניארי ממשתנה אחד דלילה מידי.

מתברר שהפולינום המתאים הוא <math>f(k,l)=k^2+dl^2</math> כאשר <math>d</math> מספר שלם מסוים התלוי ב-<math>\chi</math> (עד כדי כפל בסימן וב-2 זה המנחה של <math>\chi</math>). הנקודה המרכזית בחלק זה של ההוכחה היא הלמה הבאה:
{| width="100%" class="wikitable" align="right"
! {{עוגן|למה_זטה|למה}}
|-
| לכל קרקטר ממשי <math>\chi</math> קיים שלם <math>d</math> כך שלכול שני שלמים <math>k,l</math> כל מחלק <math>p</math> של <math>k^2+dl^2</math> כך ש <math>p^2</math> לא מחלק את <math>k^2+dl^2</math> מקיים <math>\chi(p)=1</math>.
|}

למה זו איננה פשוטה כלל, והוכחתה משתמשת ב[[הדדיות ריבועית]]. עם זאת ניתן להוכיח אותה בצורה אלמנטרית ואלגברית לחלוטין.

כדי להשלים את ההוכחה, די להראות כי יש אחוז חיובי של מספרים מהצורה <math>k^2+dl^2</math> עד גודל <math>N</math> מסוים. אינטואיטיבית הדבר די ברור. הרי אם <math>k,l</math> הם בטווח <math>[-x,x]</math> אז מספר האפשרוית ל <math>k^2+dl^2</math> הוא כ-<math>4x^2</math> והם כולם קטנים (בערכם המוחלט) מ- <math>O(x^2)</math>. אולם מכיוון שהפולינום <math>f</math> איננו [[פונקציה חח"ע]] זו אינה הוכחה. כדי לקבל הוכחה יש לחסום את מספר הזוגות השונים שנותנים את אותו הערך בהצבה ל-<math>f</math>. בפרט יש להבין את פתרונות המשוואה
<math display="block">. k^2+dl^2=1</math>

כאשר <math>d</math> חיובי זו משימה קלה מאוד. כאשר <math>d</math> שלילי, משוואה זו נקראת [[משוואת פל]] וניתוחה מצריך עבודה מסוימת.

ניתן להביא טיעון זה לידי הוכחה ריגורוזית, אך הדבר קשה מבחינה טכנית. הוכחתו המקורית של דיריכלה הייתה לאורך קווים אלו. [[ריכרד דדקינד|דדקינד]] פיתח שיטה אלגנטית ופשוטה להציג טיעון זה באמצעות כלים מתקדמים יותר מ[[תורת המספרים האלגברית]].

====גישה המשתמשת בתורת המספרים האלגברית====
בהינתן [[שדה מספרים]] <math>k</math> (ז.א. [[הרחבת שדות|הרחבה]] [[הרחבת שדות סופית|סופית]] של <math>\Q</math>), ניתן להגדיר את חוג השלמים בו <math>\mathcal{O}_k</math> להיות חוג כל איברי <math>k</math> המהווים [[שלם אלגברי|שלמים אלגבריים]]. [[פונקציית זטא של דדקינד]] של השדה <math>k</math> מוגדרת כך:
<math display="block">\zeta_k(s):=\sum_{I\triangleleft \mathcal{O}_k} |\mathcal{O}_k/I|^{-s},</math>כאשר הסכום הוא על כל [[אידיאל (אלגברה)|האידיאלים]] ב <math>\mathcal{O}_k</math>.
[[ריכרד דדקינד|דדקינד]] הוכיח כי (עד כדי מודיפיקציה קלה) פונקציה זו שווה לפונקציה <math>\zeta_\chi</math> אם בוחרים את <math>k</math> להיות הרחבה ריבועית מסוימת של <math>\Q</math> המתאימה ל-<math>\chi</math>. טענה זו היא גרסה מתקדמת של [[#למה_זטה|הלמה למעלה]], והוכחתה משתמשת בפריקות יחידה לאידיאלים ב[[חוג דדקינד|חוגי דדקינד]] וב[[הדדיות ריבועית]].

כעת נותר להוכיח את ההתבדרות של <math>\zeta_k</math> בנקודה 1. לשם כך נשים לב ש: <math display="block">\zeta_k(s)\geq \bar \zeta_k(s):=\sum_{\langle a \rangle \triangleleft \mathcal{O}_k} |\mathcal{O}_k/\langle a \rangle|</math>
כאשר הסכום הוא על כל [[אידיאל ראשי|האידיאלים הראשיים]] ב <math>\mathcal{O}_k</math> (ז.א. אידיאלים הנוצרים על ידי איבר אחד). לכן די להוכיח ש:
<math display="block">. \bar\zeta_k(1)=\infty</math>

קל לראות ש:
<math display="block"> |\mathcal{O}_k/\langle a \rangle|=||a||</math> כאשר <math>||a||</math> הוא הערך המוחלט של [[נורמת גלואה]] של <math>a</math>. כמו כן, קל לראות ש <math>\langle a \rangle=\langle b \rangle</math> [[אם ורק אם]] <math>\frac ab\in \mathcal{O}_k^\times</math> כאשר <math>\mathcal{O}_k^\times</math> מסמן את [[החבורה הכיפלית של חוג|חבורת]] [[איבר הפיך|האיברים ההפיכים]] ב <math>\mathcal{O}_k</math>. מכאן מקבלים ש:
<math display="block">. \bar\zeta_k(1)=\sum_{a\in \mathcal{O}_k/\mathcal{O}_k^\times}||a||^{-1}</math>
במקרה ש <math>k/\Q</math> היא הרחבה ריבועית החוג <math>\mathcal{O}_k</math> איזומורפי כ[[חבורה אבלית]] לסריג <math>\Z^2</math>. הפונקציה <math>||\cdot ||</math> היא (ערך מוחלט של) פונקציה ריבועית על סריג זה. ה[[חבורה (מבנה אלגברי)|חבורה]] <math>\mathcal{O}_k^\times</math> היא [[חבורה סופית]] (במקרה שההרחבה <math>k/\Q</math> היא מרוכבת) או [[חבורה ציקלית]] [[חבורה חופשית|חופשית]] המתוארת על ידי [[משוואת פל]] (במקרה שההרחבה <math>k/\Q</math> היא ממשית). לכן קל למדי להראות את התבדרות הטור <math>\bar\zeta_k(1)</math> ובכך לסיים את הוכחת המשפט.

ניתן גם לנתח באופן מדויק את האסימפטוטיקה של <math>\zeta_k(s)</math> כאשר <math>s\to 1</math>. לשם כך יש להעריך את היחס <math>\zeta_k(s)/ \bar\zeta_k(s)</math>. במילים אחרות צריך להבין מהו חלקם של האידיאלים הראשיים מתוך כלל האידיאלים. חלק זה נמדד באמצעות [[חבורת מחלקות האידיאלים|חבורת המחלקה]] שגודלה נקרא [[מספר מחלקה (תורת המספרים)|מספר המחלקה]] של <math>k</math>. מכיוון שהאסימפטוטיקה של <math>\zeta_k(s)</math> כאשר <math>s\to 1</math> קשורה בקשר ישיר לערך <math>L(1,\chi)</math>, אנו מקבלים נוסחה הקושרת ערך זה למספר המחלקה. נוסחה זו נקראת [[נוסחת מספר המחלקה של דיריכלה]]. נוסחה זו גוררת באופן מידי את אי־ההתאפסות <math>L(1,\chi)\neq 0</math>.

'''הערות:'''
* הניסוח המקורי של דיריכלה לנוסחת מספר המחלקה לא משתמש במספר המחלקה של השדה <math>k</math>, אלא במספר המחלקה של תבנית ריבועית מתאימה. זהו מושג שפיתח [[קרל פרידריך גאוס|גאוס]] ומהווה גרסה מוקדמת למספר המחלקה של [[שדה מספרים]].
* נוסחת מספר המחלקה כוללת גם את המנחה <math>m</math> של <math>\chi </math> ומידע על חבורת [[איבר הפיך|האיברים ההפיכים]] <math>\mathcal{O}_k^\times</math>.
* אומנם דיריכלה השתמש בנוסחת המחלקה כדי לקבל מידע על הערך <math>L(1,\chi)</math> באמצעות מספר המחלקה, אבל רוב השימשים המודרניים לנוסחת המחלקה הם בכיוון ההפוך. זאת מכיוון שחישוב מספר המחלקה איננה משימה פשוטה, בעוד שחישוב של <math>L(1,\chi)</math> עבור קרקטר <math>\chi </math> נתון היא משימה פשוטה למדי. למעשה די לשערך את <math>L(1,\chi)</math> ואין צורך לחשב אותו במדויק, מכיוון שמספר המחלקה תמיד שלם ולכן נוסחת מספר המחלקה כופה מגבלות על הערך <math>L(1,\chi)</math>. במקרה של דיריכלה המצב היה הפוך מכיוון שהוא התעניין בתצאה כללית על אי־התאפסות, כך שלא די בשיטות חישוב לקרקטר נתון. מאידך אי־התאפסות של מספר המחלקה מובנת מההגדרה.

====המקרה הלא ממשי====
ניתן להתאים את ההוכחות האלגבריות למקרה הלא ממשי. את מקומה של ההרחבה הריבועית <math>k</math>, תתפוס ההרחבה הציקלוטומית <math>\Q\langle\sqrt[m]{1}\rangle</math>. פונקציית זטא של דדקינד של הרחבה זו נותנת (לאחר מודיפיקציה קלה) את הפונקציה <math>\zeta_m(s)</math> שהוגדרה מעלה, שהיא מכפלת כל פונקציות ה-<math>L</math> של דיריכלה עם קרקטרים בעלי מנחה <math>m</math>. טענה זו נובעת מפריקות יחידה לאידיאלים ראשוניים ב[[חוג דדקינד]], בדומה לטענות למעלה. במובן מסוים טענה זו פשוטה יותר מכיוון שאיננה משתמשת ב[[הדדיות ריבועית]]. דבר זה אינו מפתיע, מכיוון שאחת ההוכחות של ההדדיות הריבועית משתמשת ב[[סכום גאוס ריבועי|סכום גאוס]] המראה שניתן לשכן כל הרחבה ריבועית בהרחבה ציקלוטומית, כך שאם מלכתחילה אנו עובדים עם הרחבה ציקלוטומית חלק זה נחסך מאיתנו.

כדי להשלים את ההוכחה בגישה זו, נותר להראות שפונקציית זטא של דדקינד של הרחבה ציקלוטומית מתבדרת ב-<math>s=1</math>. למעשה פונקציית זטא של דדקינד של כל [[שדה מספרים]] מתבדרת ב-<math>s=1</math>. ההוכחה של טענה זו דומה להוכחה למקרה של הרחבה ריבועית, אך מסובכת יותר, מכיוון שבמקום ניתוח [[משוואת פל]] יש לנתח את חבורת האיברים ההפיכים בחוג השלמים בשדה מספרים כללי. ניתוח זה מהווה את [[משפט היחידות של דיריכלה]].

גם כאן ניתן לקבל מידע מדויק יותר לגבי האסימפטוטיקה של פונקציית זטא של דדקינד ב-<math>s=1</math>. ספציפית עבור כל שדה מספרים <math>k</math> אפשר להביע את הגבול <math>\lim_{s\to 1}(s-1)\zeta_k(s)</math> באמצעות מספר המחלקה של <math>k</math> ואינווריאנטים נומריים נוספים של <math>k</math>. קשר זה נקרא [[נוסחת מספר המחלקה של דדקינד]]. בשונה מהמקרה הריבועי, הגבול <math>\lim_{s\to 1}(s-1)\zeta_k(s)</math> איננו ערך של פונקציית <math>L</math> מסוימת. אולם אם <math>k</math> הרחבה ציקלוטומית אז גבול זה שווה (עד כדי מודיפיקציה קלה) למכפלה
<math display="block">\prod_{\chi\in \widehat{\Z|_m^\times}\smallsetminus 1} L(1,\chi). </math>

באופן מפורש יותר אפשר לסכם את הגישה הזאת באמצעות הלמה הבאה:

{| width="100%" class="wikitable" align="right"
! למה
|-
| קיים פולינום במקדמים שלמים<math>f(n_1,\dots,n_k)</math> כך ש:
* כל מחלק ראשוני <math>p</math> ערך <math>n</math> של הפולינום <math>f</math> כך ש <math>p^2</math> לא מחלק את <math>n</math> מקיים <math>p=1 \mod m</math>.
* מספר הערכים של <math>p</math> בטווח <math>0\dots x</math> הוא ([[סימון אסימפטוטי|אסימפטוטית]]) <math>\Theta(x)</math>.
|}
הפולינום <math>f</math> הוא למעשה [[נורמת גלואה]] בחוג השלמים של הרחבה ציקלוטומית. זה פולינום מסובך למדי אך מפורש לחלוטין.

מלמה זו קל להסיק את הגרסה הכמותית של משפט דיריכלה עבור הסדרה החשבונית <math>1+m\N</math>. כאמור גרסה זו גוררת את משפט דיריכלה באופן כללי.

נשים לב כי הפולינום <math>f</math> [[#1modn|מההוכחה האלגברית האלמנטרית למעלה]] הוא צימצום של הפולימום <math>f</math> כאן, לישר. כך שההוכחה כאן היא למעשה הרחבה של הארגומנט האלמנטרי עבור משפט דיריכלה לסדרה החשבונית <math>1+m\N</math> כך שיתן גם חסם כמותי יעיל על צפיפות דיריכלה של הראשוניים על סידרה זו.

===תיאור סכמתי של ההוכחות השונות===
ניתן לתאר את רוב ההוכחות השונות לפי הסכמה ההבאה:
# ההוכחות מתבססת על ניתוח הטור <math display="block">\sum_{p ; \, p = a \mod m}\frac{1}{p^s}</math> בנקודה <math>s=1</math>.
# באמצעות [[התמרת פוריה דיסקרטית]] על [[חבורת אוילר|החבורה]] <math>(\Z/n\mathbb{Z})^\times</math> מפרקים טור זה לטורים מהסוג <math display="block">\sum_{p}\frac{\chi(p)}{p^s}</math>
# באמצעות [[מכפלת אוילר]] מקרבים טורים אלה עם ה[[לוגריתם]] של [[פונקציית L של דיריכלה]].
# מכאן קל לבצע רדוקציה של משפט דיריכלה להתכנסות ואי־התאפסות של פונקציית L של דיריכלה בנקודה 1.
# ההתכנסות של פונקציית L של דיריכלה קלה יחסית, כך שדי להוכיח את אי־ההתאפסות.
# ניתן להראות את אי־ההתאפסות עבור [[קרקטר דיריכלה|קרקטרים]] לא ממשיים על ידי טיעון דיכוטומיה אנליטי, שלפיו אם פונקציית L כזאת מתאפסת בנקודה 1, אז גם פונקציית L נוספת צריכה להתאפס, ומכאן "שיש <math>-\infty</math> ראשוניים בסדרה החשבונית <math>p = 1 \mod m</math>". שלב זה אינו הכרחי. אפשר להתאים את השלבים הבאים כך שלא יהיה צורך בשלב זה. אולם הדבר יסבך את ההוכחה, בדרך כלל.
# אי־ההתאפסות של פונקציית L בנקודה 1, שקולה להתבדרות של [[פונקציית זטא של דדקינד]] מתאימה. חלק מההוכחות משתמשות בשקילות זו וחלק לא. מדובר בהבדל שהוא אקספוזיציוני בעיקרו.
# מכאן יש שתי גישות:
#* הגישה ה[[אלגברה|אלגברית]]: ניתן להעריך את קצב ההתבדרות של [[פונקציית זטא של דדקינד]] בנקודה 1 באמצעים אלגבריים, על ידי בנייות אלגבריות של מספרים ראשוניים שמקיימים תנאי קונגרואנציה מתאים. ניתן לבצע הערכה כזאת בשפה קלאסית (בעזרת [[תבנית ריבועית|תבניות ריבועיות]]), או בשפה מודרנית יותר (בעזרת [[שדה מספרים|שדות מספרים]]). שיטה זו מספקת נוסחאות לערכי פונקציית L ב-1: [[נוסחת מספר המחלקה של דיריכלה]] ו[[נוסחת מספר המחלקה של דדקינד]].
#*הגישה ה[[אנליזה מתמטית|אנליטית]]: משתמשים בטיעון דיכוטומיה אנליטי שמראה שאם [[פונקציית זטא של דדקינד]] מתכנסת בנקודה 1 אז יש לה תכונות אנליטיות "טובות" נוספות, למשל התכנסות בנקודה 1/2. זה עומד בסתירה להתבדרות [[הטור ההרמוני]]. ניתן לממש גישה זו באמצעות [[אנליזה מרוכבת]], או אם מעט יותר מאמץ על ידי כלים אנליטיים אלמנטריים.
{{תרשים זרימה להוכחות משפט דיריכלה}}

==ראו גם==
{{תקציר פורטל|מתמטיקה}}

===הכללות===
* [[משפט הצפיפות של צ'בוטרב]]
* [[משפט פרובניוס (תורת המספרים האלגברית)|משפט פרובניוס]]
===פונקציות קשורות===
* [[פונקציית L של דיריכלה]]
** [[נוסחת מספר המחלקה של דיריכלה]]
* [[פונקציית זטא של רימן]]
* [[פונקציית זטא של דדקינד]]
** [[נוסחת מספר המחלקה של דדקינד]]
===שונות===
* [[טור ההופכיים של המספרים הראשוניים]]
* [[תורת המספרים האנליטית]]
* [[תורת המספרים האלגברית]]
* [[התמרת פורייה דיסקרטית]]
* [[יוהאן פטר גוסטב לז'ן דיריכלה]]

==מקורות==
<div class="mw-content-ltr">
* Lejeune Dirichlet and Peter Gustav, [https://archive.org/details/lecturesonnumber0000leje Lectures on Number Theory]. (1999). A co-publication of the AMS and London Mathematical Society
* {{citation
 | last =  Narkiewicz| first = Władysław
 | title =  The Development of Prime Number Theory From Euclid to Hardy and Littlewood
 | year = 2000}}
* {{cite book |editor1-last=Struik |editor1-first=Dirk Jan |title=A Source Book in Mathematics, 1200–1800 |date=1986 |publisher=Princeton University Press |location=Princeton, New Jersey, USA |pages=29–30 |isbn=9781400858002 |url=https://books.google.com/books?id=o-3_AwAAQBAJ&pg=PA29}}
* {{citation
|last1 =  Koshiba
|last2 = Uchiyama
|first1=Zen'ichirô
|first2=Saburô
|title =   On the existence of prime numbers in arithmetic progressions
|pages = 696–701
|doi= 10.3792/pja/1195521877
|issue   = 42
|journal = journal
|volume=  1966-01
|year=1966}}
* {{עוגן|CITEREFEtingof_et_al.2011
|{{citation
|last1 = Etingof
|first1=Pavel
|last2 = Oleg Golberg
|display-authors =1
|title =   Introduction to representation theory
|url=https://arxiv.org/pdf/0901.0827
|year = 2011
}}

* {{citation
 | last =  Euler| first = Leonhard
 | title =  Opuscula analytica, Volume 2
 | year = 1785
|url=https://books.google.co.il/books?id=spQ_AAAAcAAJ }}
}}
</div>
<!-- |vauthors=
Pavel Etingof, Oleg Golberg, Sebastian Hensel,
Tiankai Liu, Alex Schwendner, Dmitry Vaintrob, and Elena Yudovina
 -->

==קישורים חיצוניים==
===ספרים===
* {{צ-ספר|מחבר=Władysław Narkiewicz|שם=The Development of Prime Number Theory: From Euclid to Hardy and Littlewood|מקום הוצאה=ברלין|מו"ל=[[הוצאת שפרינגר|שפרינגר]]|שנת הוצאה=2000|oclc=43836479|ISBN=9783540662891|שפה=en|עמ=49–96|פרק=Dirichlet’s Theorem on Primes in Arithmetic Progressions}}

===אנציקלופדיות===
* {{MathWorld}}
* {{בריטניקה}}
===בלוגים===
*{{לא מדויק|2009/05/25/dirichlet_theorem_on_arithmetic_progressions/|משפט דיריכלה על סדרות חשבוניות}} {{שפת קישור|עברית}}
* {{קישור כללי|כתובת=https://terrytao.wordpress.com/2014/11/23/254a-notes-1-elementary-multiplicative-number-theory/#more-7855|הכותב=[[טרנס טאו]]|כותרת=254A, Notes 1: Elementary multiplicative number theory|אתר=What's new|תאריך=23 בנובמבר 2014|שפה=en|תאריך_וידוא=2025-02-21|archive-url=https://web.archive.org/web/20250215171503/https://terrytao.wordpress.com/2014/11/23/254a-notes-1-elementary-multiplicative-number-theory/#more-7855|archive-date=2025-02-15}}

===סרטונים והרצאות===
*{{יוטיוב|EK32jo7i5LQ|שם=Why do prime numbers make these spirals? {{!}} Dirichlet’s theorem and pi approximations|ערוץ=[[3Blue1Brown]]|תאריך=8 באוקטובר 2019|אורך=22:20|סוג=אנימציה}} {{אנגלית}}
*{{קישור כללי|כתובת=https://www.youtube.com/playlist?list=PLuEFhJaDsHzAeRch-2TOCzOUcGKVbGMYb|כותרת=משפט דיריכלה|תאריך_וידוא=2022-06-06|אתר=יוטיוב}}, סדרת הרצאות על משפט דיריכלה. {{שפת קישור|עברית}}

== ביאורים ==
{{ביאורים}}

==הערות שוליים==
{{הערות שוליים}}
{{פונקציות L וזטא}}
{{נוסחת מספר המחלקה}}
{{ערך מומלץ}}
[[קטגוריה:תורת המספרים האנליטית]]
[[קטגוריה:משפטים בתורת המספרים|דיריכלה]]
[[קטגוריה:מספרים ראשוניים]]