הצגת המקור של הדף "משפט האידיאל הראשי"

'''משפט האידיאל הראשי''' של [[ולפגנג קרול]] קובע שב[[תחום שלמות]] [[חוג נתרי|נתרי]], [[אידיאל ראשוני]] שהוא מינימלי מעל איבר, הוא מינימלי. משפט זה, והכללות שלו, מאפשר לחשב את הגובה של אידיאלים ראשוניים, ודרך זה את [[ממד קרול]] של חוגים שונים.

אומרים שאידיאל ראשוני <math>P</math> הוא '''מינימלי מעל <math>a</math>''' אם אין ראשוני <math>\ a \in Q \subset P</math>, וסתם '''מינימלי''' אם אין ראשוני <math>Q</math> כך ש- <math>\ 0 \subset Q \subset P</math>. לפי ההגדרה, ראשוני מינימלי הוא ראשוני בעל [[גובה של אידיאל|גובה]] 1 לכל היותר.

<!--העובדה שבתחום שלמות נתרי אידיאל ראשוני הנוצר על ידי איבר אחד הוא מינימלי, קלה להוכחה גם ללא המשפט. עם זאת,-->
מן המשפט נובעת גם התוצאה הכללית יותר ("'''משפט האידיאל הראשי המוכלל'''"), שאידיאל ראשוני שהוא מינימלי מעל <math>\ a_1,\dots,a_n</math> הוא מגובה <math>n</math> לכל היותר. בפרט, הגובה של אידיאל ראשוני חסום (מלמעלה) על ידי מספר היוצרים שלו. ולהפך: אידיאל מגובה <math>n</math> אי-אפשר ליצור בפחות מ-<math>n</math> איברים. בפרט, בחוג נתרי קומוטטיבי לכל אידיאל ראשוני יש גובה סופי. מכיוון שממד קרול הוא הסופרימום של גבהי האידיאלים המקסימליים, נובע מכאן גם שלתחום שלמות [[חוג מקומי|מקומי]] יש ממד קרול סופי.

[[קטגוריה:תורת החוגים]]
[[קטגוריה:גאומטריה אלגברית]]