הצגת המקור של הדף "משפט האן-בנך"

'''משפט האן-בנך''' הוא משפט מרכזי ב[[אנליזה פונקציונלית]] העוסק בהרחבה של [[פונקציונל]] <math>\ f_0</math> מתת-מרחב של [[מרחב בנך]], אל המרחב כולו. המשפט נוסח והוכח על ידי [[סטפן בנך]] ו[[האנס האן]], כל אחד לחוד ובאופן בלתי תלוי, ב[[שנות ה-20 של המאה ה-20]].

== המשפט ==
יהי <math>\,L</math> מרחב בנך מעל ה[[שדה (מבנה אלגברי)|שדה]] <math>\,F</math> ([[שדה המספרים הממשיים|שדה הממשיים]] או [[שדה המספרים המרוכבים|המרוכבים]]), עם תת-מרחב <math>\ L_0 \sub L</math>, ו[[פונקציה תת-ליניארית]] <math>\ \rho : L \rightarrow {\mathbb R}</math> (פונקציה זו מכונה לעיתים מז'ורנטה).<br />
אזי כל [[פונקציונל]] ליניארי <math>\ f_0 : L_0 \rightarrow F</math> החסום על ידי <math>\ \rho</math> (כלומר: <math>\ |f_0(x)|\leq \rho(x) </math> לכל <math>\ x\in L_0</math>) אפשר להרחיב לפונקציונל <math>\ f : L \rightarrow F</math> שגם הוא חסום באותו אופן.

כלומר:
# <math>\ \forall x \in L_0 \ : \ f(x) = f_0(x)</math> (כלומר: <math>\ f </math> הוא אכן הרחבה של <math>\ f_0 </math>).
# <math>\ \forall x \in L \ : \ |f(x)| \le \rho(x)</math> (כלומר: <math>\ f </math> חסום גם כן על ידי <math>\,\rho</math>).

== מסקנות ושימושים ==
* '''קיום הרחבה שומרת נורמה:'''
: אם <math>\ L</math> הוא [[מרחב בנך]] ו-<math>\ M</math> הוא תת-מרחב שלו, ואם <math>f_0 : M\to \mathbb{R}</math> הוא פונקציונל רציף (כלומר, חסום) על <math>\ M</math>, אזי קיימת לו הרחבה <math>f : L \to \mathbb{R}</math> רציפה, ובעלת אותה נורמה, כלומר: <math>\| f_0 \|_{L_0^{*}} = \| f \|_{L^{*}}</math>. זו היא מסקנה ישירה מכך ש[[פונקציונל]] הוא רציף [[אם ורק אם]] הוא חסום, כלומר: <math>\ f_0(x) \le \| f_0 \|_{*} \cdot \| x \|</math>, ומכך שה[[נורמה (אנליזה)|נורמה]] היא [[פונקציה תת-ליניארית]] ולכן יכולה לשמש כמז'ורנטה במשפט האן-בנך. בניסוח [[תורת הקטגוריות|קטגורי]], ניתן לנסח מסקנה זו כך: בקטגוריה של [[מרחב בנך|מרחבי בנך]], <math>\,\mathbb{R}</math> הוא [[אובייקט אינג'קטיבי]].
* '''משפט ההפרדה בין נקודות''':
: <math>\ \forall x_0 \ne 0 \ : \ \exist f_0 \ne 0 \ \mbox{bounded functional} \, \ \mbox{such that} \ : \ \ f_0(x_0) = \| f_0 \| \cdot \| x_0 \| \ne 0</math>.
: בפרט, אם נגדיר <math>\ x_0 = x_1 - x_2</math> עבור <math>\ x_1 \ne x_2</math> אזי נקבל שקיים פונקציונל <math>\ f_0 \ne 0</math> כך ש <math>\ f_0(x_1) \ne f_0(x_2)</math>. כלומר: קיים פונקציונל המפריד בין שתי נקודות שונות.
* '''משפט ההפרדה בין תת-מרחב לנקודה''':
: יהי <math>\ L</math> [[מרחב בנך]] ויהי <math>\ M</math> הוא תת-מרחב שלו (לא בהכרח [[קבוצה סגורה|סגור]]). תהי <math>\ z \notin \overline{M}</math> נקודה שאיננה ב[[סגור (טופולוגיה)|סגור]] של <math>\ M</math>, אזי קיים פונקציונל רציף (חסום) <math>\ f : M \to \mathbb{R}</math> כך ש:
:# <math>\ \forall x \in M \ : \ f(x)=0 </math> ,
:# <math>\ f(z)=1</math>
:# ומתקיים ש <math>\ \| f \| = (\| z \| )^{-1}</math>

== הוכחת המשפט ==
הוכחת המשפט נעזרת ב[[הלמה של צורן|למה של צורן]]. מסתכלים על קבוצת כל ההרחבות של <math>\,f_0</math> החסומות על ידי <math>\,\rho</math> לתת-מרחב כלשהו <math>\ L_0 \subset L_\alpha \subset L</math> עם יחס הסדר "הרחבה של" (נסמן קבוצה זאת ב-<math>\,E</math>). זהו [[יחס סדר|מרחב סדור]] וקל לראות שלכל שרשרת בו יש איבר מקסימלי. לכן, לפי הלמה של צורן, קיים [[איבר מקסימלי]] ב-<math>\,E</math> שמהווה הרחבה של <math>\,f_0</math> המקיימת את הנדרש. נותר להראות שזו אכן הרחבה על כל <math>\,L</math>.

עושים זאת באמצעות [[הוכחה בדרך השלילה|הוכחה על דרך השלילה]]. מניחים שההרחבה המקסימלית ב-<math>\,E</math> מוגדרת על תת-מרחב <math>\ L' \subset L</math>, כאשר <math>\ L' \ne L</math>. אזי קיים <math>\ y \in L - L'</math> ולכן אפשר לבנות במפורש הרחבה החסומה על ידי <math>\ \rho</math>, המוגדרת על ידי:
: <math>\ \forall z \in \mbox{span}\left(L' \cup \{y \} \right)\ : \ f(z) = f(x + \lambda y) = f'(x) + \lambda y'</math>
כאשר <math>\ z = x + \lambda y</math> פירוק יחיד של <math>\,z</math> כאשר <math>\ x \in L'</math> ו-<math>\,f'</math> הוא ההרחבה המקסימלית על <math>\,L'</math> (והם איברי המשפחה <math>\,E</math>). כעת נותר להראות שאפשר לבחור ערך <math>\ f'(y) = y'</math> כך שלכל <math>\,z</math> ב[[תחום ההגדרה]] יתקיים <math>\ f'(x) + \lambda y' = f(z) \le \rho(z) </math>. באמצעות מניפולציות אלגבריות, טיעונים של חדו"א ([[חסם עליון]]) ושימוש בתכונותיה של [[פונקציה תת-ליניארית]] אפשר להראות שקיים <math>\,y'</math> כנדרש. בכך בנינו הרחבה ל-<math>\,f'</math> מ-<math>\,L'</math> לתת-מרחב גדול יותר, והרחבה זו גם איבר ב-<math>\,E</math>.

מכיוון שהצלחנו לבנות הרחבה לאיבר המקסימלי של <math>\,E</math>, וניתן לראות בקלות שגם היא ב-<math>\,E</math>, נובע שהוא לא איבר מקסימלי וזו [[סתירה (לוגיקה)|סתירה]].

לכן, האיבר המקסימלי של <math>\,E</math> מוגדר היטב על כל <math>\,L</math> ומהווה הרחבה של <math>\,f_0</math> המקיימת את הנדרש. <math>\blacksquare</math>

== ראו גם ==
* [[אנליזה פונקציונלית]]
* [[פונקציונל]], [[פונקציה תת-ליניארית]]

==קישורים חיצוניים==
* {{אנציקלופדיה למתמטיקה|Hahn-Banach_theorem}}
* {{MathWorld}}

[[קטגוריה:משפטים באנליזה פונקציונלית|האן-בנך]]