הצגת המקור של הדף "משפט ההפרדה הבסיסי"

[[קובץ:קבוצה קמורה וקו מפריד.jpg|ממוזער|המחשה דו־ממדית של המשפט. קבוצה [[קבוצה קמורה|קמורה]] <math>\Omega</math> (בירוק), נקודה <math>y</math> שלא נמצאת בקבוצה [[על-מישור|והיפר-מישור]] <math>(\cdot, a) = \alpha</math> המפריד בין הקבוצה והנקודה.]]
ב[[גאומטריה]], '''משפט ההפרדה הבסיסי''' עוסק בקשר בין [[קבוצה קמורה|קבוצות קמורות]] ונקודות שנמצאות מחוץ לקבוצה.

המשפט טוען שבהינתן נקודה שלא נמצאת בקבוצה הקמורה תמיד ניתן יהיה למצוא [[על-מישור|היפר-מישור]] שיפריד את הקבוצה מהנקודה.

== ניסוח פורמלי ==
תהי <math>\Omega</math> קבוצה קמורה וסגורה [[מרחב אוקלידי|במרחב האוקלידי]] <math>\mathbb{R}^n</math> ויהי <math>y \in \mathbb{R}^n</math> המקיים <math>y \notin\Omega</math> אז קיים ווקטור <math>\bar{0} \neq a \in \mathbb{R}^n</math> ומספר <math>\alpha \in \mathbb{R}</math> כך ש:

<math>a \cdot x \leq \alpha < a\cdot y</math>

לכל <math>x\in\Omega</math>.

== הוכחה ==
נתון <math>\Omega</math> קמורה וסגורה ולכן מ[[משפט הקירוב הטוב ביותר]] קיים <math>z</math> שהוא הווקטור הקרוב ביותר ל<math>y</math> ב<math>\Omega</math>. מעובדה זו, נובע אי השוויון הבא<ref>קיים משפט שטוען שאם <math>\Omega</math> סגורה וקמורה אז: <math>\lVert y-z \rVert \leq \lVert y-x \rVert \ \forall x\in \Omega \quad \Leftrightarrow \quad (y-z)\cdot (x-z) \leq 0 \ \forall x\in\Omega</math>כלומר אי השוויון הימני מתקיים אמ"ם <math>z</math> הוא הקירוב הטוב ביותר של <math>y</math> ב<math>\Omega</math>.</ref>:

<math>(y-z) \cdot (x-z)\leq 0</math>

לכל <math>x\in\Omega</math>.

נגדיר <math>a = y-z</math>. ברור ש <math>a \neq \bar{0}</math> ו- <math>a \cdot (x-z)\leq 0</math> לכל <math>x\in\Omega</math>.

אם כך אז <math>a \cdot x \leq a\cdot z</math> לכל <math>x\in\Omega</math>.

נגדיר <math>\alpha = a\cdot z</math> ונשים לב ש <math>a \cdot y - \alpha = a \cdot (y-z) = \lVert a \rVert ^2 > 0</math>

כלומר <math>a \cdot x \leq \alpha < a\cdot y</math> לכל <math>x\in\Omega</math> ומכאן מ.ש.ל.

== קישורים חיצוניים ==
<div class="mw-content-ltr">
* A. L. Peressini, F. E. Sullivan J. J. Uhl, Jr. '''[[iarchive:mathematicsofnon00per_k0z/page/162/mode/2up|The Mathematics of Nonlinear Programming]]''' p.162–163
</div>

==הערות שוליים==
{{הערות שוליים}}

[[קטגוריה:משפטים בגאומטריה]]