הצגת המקור של הדף "משפט ההתכנסות הנשלטת"

ב[[תורת המידה]], '''משפט ההתכנסות הנשלטת''' של [[אנרי לבג]] הוא משפט על ה[[אינטגרל לבג|אינטגרל]] של ה[[גבול של סדרת פונקציות|גבול]] של [[סדרה (מתמטיקה)|סדרת]] [[פונקציה מדידה|פונקציות מדידות]], המתכנסת [[התכנסות נקודתית|נקודתית]]. לפי המשפט, אם כל הפונקציות בסדרה חסומות בערכן המוחלט (כלומר, "נשלטות") על ידי [[פונקציה אינטגרבילית]], אז האינטגרל של הגבול שווה לגבול של האינטגרלים. בפרט, האינטגרלים של פונקציות הסדרה קיימים וסופיים.

המשפט מנוסח עבור פונקציות שהן [[אינטגרביליות לבג]], ובפרט תקף גם עבור פונקציות [[אינטגרל רימן|אינטגרביליות רימן]].

משפט זה הוא [[מקרה פרטי]] של [[משפט ההתכנסות של ויטלי]].

==נוסח פורמלי==

יהי <math>\left( X, \mathcal{F}, \mu \right)</math> [[מרחב מידה]]. תהי <math>\ f_1,f_2,\dots</math> סדרה של [[פונקציה ממשית|פונקציות ממשיות]] או [[פונקציה מרוכבת|מרוכבות]] מדידות, אשר [[התכנסות כמעט בכל מקום|מתכנסת כמעט בכל מקום]] לפונקציה גבולית <math>\ \lim_{k\to\infty}f_k=f</math>. אם קיימת פונקציה אינטגרבילית לבג <math>\ g</math> שהאינטגרל שלה סופי כך ש-<math>\ |f_k|\le g</math> עבור כל <math>k=1,2,\dots</math> [[כמעט בכל מקום]], אזי כל הפונקציות בסדרה והגבול הנקודתי הן אינטגרביליות עם אינטגרל סופי, ומתקיים <math>\ \lim_{k\to\infty}\int_X f_kd\mu=\int_X fd\mu</math>.

==הוכחה==

הוכחת המשפט מתבססת על [[הלמה של פאטו]], אשר מטפלת בצורה כללית יותר במקרה הפרטי שבו כל הפונקציות בסדרה הן אי שליליות. ניתן יהיה להשתמש בלמה בזכות העובדה ש-<math>\ g</math> חוסמת את כל אברי הסדרה.

כיוון ש-<math>\ |f_k|\le g</math> אז <math>\ g+f_k</math> היא פונקציה אי שלילית כמעט בכל מקום, ניתן להשתמש עליה בלמה של פאטו ולקבל:

<math>\begin{align}
\int_X g d\mu+\int_X f d\mu=\int_X \left(g+f\right)d\mu \\
=\int_X \lim_{k\to\infty}\left(g+f_k\right) d\mu \\
\le \liminf_{k\to\infty}\int_X \left(g+f_k\right) d\mu \\
=\int_X g d\mu +\liminf_{k\to\infty}\int_X f_k d\mu
\end{align} </math>

כאשר <math>\ \liminf</math> מסמן את ה[[גבול תחתון|גבול התחתון]] של הסדרה.

לאחר חיסור <math>\ \int_X g d\mu</math> משני האגפים (דבר שעבורו נדרש שהאינטגרל יהיה סופי) מקבלים:

<math>\ \int_X f d\mu\le \liminf_{k\to\infty}\int_X f_k d\mu</math>

ניתן לעשות את אותו הדבר גם עם הפונקציה האי שלילית <math>\ g-f_k</math>, ולקבל:

<math>\ \int_X -f d\mu\le \liminf_{k\to\infty}\int_X -f_k d\mu=-\limsup_{k\to\infty}\int_X f_k d\mu</math>
כאשר <math>\ \limsup</math> הוא ה[[גבול עליון|גבול העליון]]. כלומר:

<math>\ \int_X f d\mu\ge \limsup_{k\to\infty}\int_X f_k d\mu</math>

ומהשוואת שתי התוצאות קיבלנו:

<math>\ \limsup_{k\to\infty}\int_X f_k d\mu\le\int_X f d\mu\le\liminf_{k\to\infty}\int_X f_k d\mu</math>

מכיוון שאגף שמאל תמיד לא קטן מאגף ימין, כל אי השוויונים הופכים לשוויונות, ולכן קיבלנו את התוצאה המבוקשת.

==ראו גם==

* [[הלמה של פאטו]]
* [[משפט ההתכנסות המונוטונית]]
* [[משפט ההתכנסות של ויטלי]]

==קישורים חיצוניים==
* {{MathWorld}}

[[קטגוריה:משפטים באנליזה|התכנסות הנשלטת]]
[[קטגוריה:משפטים בתורת המידה|התכנסות הנשלטת]]
[[קטגוריה:משפטים בתורת ההסתברות|התכנסות הנשלטת]]