הצגת המקור של הדף "משפט ההתמדה של סילבסטר"

ב[[אלגברה ליניארית]], '''משפט ההתמדה של [[ג'יימס ג'וזף סילבסטר|סילבסטר]]''' קובע  שסימנם של המקדמים ב[[תבנית ריבועית]] אלכסונית מעל [[שדה המספרים הממשיים|הממשיים]] אינו תלוי ב[[בסיס (אלגברה ליניארית)|בסיס]] שבו היא מתוארת. מבחינה גאומטרית, המשפט מתבטא בכך שהטיפוס של צורה המוגדרת על ידי תבנית ריבועית (כגון: [[אליפסה]], [[פרבולה]] או [[היפרבולה]]) אינו משתנה כשמסובבים, מותחים או משקפים את המרחב שבו היא מוגדרת.

== מבוא ==

אחד השימושים הנאים של תורת ה[[מטריצה|מטריצות]] הוא לתיאור ולטיפול ב[[תבנית ריבועית|תבניות ריבועיות]], שהן פונקציות כדוגמת <math>\ f(x,y,z)=4x^2-5y^2+z^2+8xy-2xz</math>. (נניח מעתה שה[[מאפיין של שדה|מאפיין]] של שדה הבסיס שונה מ-2). פונקציות כאלה אפשר לייצג על ידי מטריצה בצורה <math>\ f(v)=v^{T}Av</math> כאשר A היא מטריצה סימטרית, וה[[וקטור (אלגברה)|וקטור]] הוא <math>\ v=(x,y,z)</math>. בייצוג כזה, [[החלפת משתנה|החלפה ליניארית של המשתנים]] שקולה להחלפת המטריצה A במטריצה <math>\ P^{T}AP</math> כאשר P מטריצה הפיכה.

כל מטריצה מן הצורה <math>\ P^{T}AP</math> (כאשר P הפיכה) "[[חפיפת מטריצות|חופפת]]" למטריצה A, והגדרה זו קובעת [[יחס שקילות]] בין מטריצות, הנקרא יחס החפיפה. לדוגמה, סידור מחדש של השורות ושל העמודות של A (באותו אופן) מהווה חפיפה, המתארת החלפת משתנים. אפשר לסכם ולומר שמטריצות המצויות באותה מחלקת חפיפה מייצגות, עקרונית, את אותה תבנית ריבועית. 

אפשר להוכיח שכל מטריצה סימטרית חופפת ל[[מטריצה אלכסונית]]; באופן דומה, אפשר להביא כל תבנית ריבועית לצורה אלכסונית, ללא גורמים מהצורה <math>\ xy</math>, שאותה קל יותר לנתח. לדוגמה, הצבת המשתנים <math>\ x'=x+y-z/4, y'=y-z/9, z'=z</math> מביאה את התבנית f לצורה <math>\ f(x',y',z')=4(x')^2-9(y')^2+\frac{31}{36}(z')^2</math>.

כאשר נתונה תבנית אלכסונית, אפשר לבצע בה החלפת משתנים של מתיחה וכיווץ, כלומר, מן הצורה <math>\ x\mapsto cx</math>. החלפה כזו מכפילה את המקדם של <math>\ x^2</math> בתבנית ב[[סקלר (מתמטיקה)|סקלר]] <math>\ c^2</math>. 

כאשר מדובר בתבנית שמקדמיה הם [[שדה המספרים הממשיים|מספרים ממשיים]], כל מספר שקול, [[עד כדי (מתמטיקה)|עד כדי]] ריבוע, לאחד מבין המספרים <math>\ +1,-1,0</math>, ולכן אפשר להביא את התבנית לצורה שקולה, שאלו מקדמיה. לדוגמה, את התבנית f אפשר להעביר לצורה <math>\ f(x_1,x_2,x_3)=x_1^2+x_2^2-x_3^2</math>. באופן דומה, כל תבנית ריבועית ממשית (בת n משתנים) שקולה לתבנית אלכסונית מן הצורה <math>\ x_1^2+\dots+x_k^2-x_{k+1}^2-\dots-x_{k+s}^2</math>. 

[[משפט יעקובי]] מספק שיטה חישובית למציאת הצורה האלכסונית, שממנה אפשר להסיק גם על המבנה והתכונות של [[מטריצה חיובית|מטריצות חיוביות]] ומטריצות בעלות תכונות קרובות.

== משפט סילבסטר ==

הצגנו הצבה המביאה את התבנית f לצורה אלכסונית שבה הסימנים הם <math>\ +,+,-</math>. לכאורה, ייתכן שהצבה אחרת תביא את אותה תבנית לצורה אלכסונית אחרת, שבה המקדמים הם <math>\ +,-,-</math>. משפט סילבסטר מבטיח שהדבר בלתי אפשרי.

'''משפט סילבסטר''': אם f היא תבנית ריבועית ב- n משתנים מעל הממשיים, אז היא שקולה לתבנית אלכסונית אחת ויחידה מן הצורה <math>\ x_1^2+\dots+x_k^2-x_{k+1}^2-\dots-x_{k+s}^2</math>. במילים אחרות, כל מטריצה סימטרית ממשית חופפת למטריצה אלכסונית אחת ויחידה שבה אברי האלכסון הם 0, 1 או 1- (עד-כדי סדר). 

המספר k+s נקרא "דרגת התבנית", והמספר k-s הוא "'''סימן סילבסטר''' של התבנית" (או של המטריצה המייצגת שלה).

== שימושים ב[[גאומטריה]] ==

[[חתכי חרוט]], [[גופי סיבוב של חתכי חרוט|גופי הסיבוב]] שלהם, והכללות מממד גבוה, מתוארים כולם על ידי תבניות ריבועיות ומשוואות מן הצורה <math>\ f(x,y,z)=1</math>. משפט סילבסטר מראה שאפשר במקרה כזה להביא את התבנית הריבועית לצורה אלכסונית ולמיין את התבניות על-פי מספר הסימנים החיוביים והשליליים. לדוגמה: במרחב התלת-ממדי, כל משוואה הומוגנית מן הצורה הנזכרת לעיל אפשר להביא (על ידי שינוי בסיס, כלומר סיבוב, מתיחה ושיקוף) לאחת מבין הצורות הבאות: <math>\ x^2+y^2+z^2=1</math> ([[כדור (טופולוגיה)|כדור]]),  <math>\ x^2+y^2-z^2=1</math> ([[היפרבולואיד חד-יריעתי]]), <math>\ x^2-y^2-z^2=1</math> (היפרבולואיד דו-יריעתי), <math>\ x^2+y^2+z^2=-1</math> או <math>\ x^2+y^2=-1</math> או <math>\ x^2=-1</math> ([[הקבוצה הריקה|קבוצה ריקה]]), <math>\ x^2+y^2=1</math> ([[גליל (גאומטריה)|גליל]]), <math>\ x^2-y^2=1</math> (יריעה היפרבולית לא קשירה), <math>\ x^2=1</math> (זוג [[מישור (גאומטריה)|מישורים]] מקבילים), <math>\ x^2+y^2+z^2=0</math> (נקודה),  <math>\ x^2+y^2-z^2=0</math> ([[חרוט]] כפול), <math>\ x^2+y^2=0</math> ([[ישר]]), <math>\ x^2=0</math> (מישור) או <math>\ x^2-y^2=0</math> (זוג מישורים נחתכים).

במעט יותר מאמץ אפשר לטפל גם ביריעות ריבועיות לא הומוגניות, כדוגמת <math>\ x^2+2yz+4z=1</math>. בדרך כלל, הזזה של המרחב מאפשרת להביא את היריעה המתוארת על ידי משוואה לא הומוגנית, לצורה הומוגנית.

== הוכחת המשפט ==

נניח ש- <math>\ A,A'</math> שתי מטריצות אלכסוניות מעל הממשיים, ושהן חופפות זו לזו, כלומר, קיימת מטריצה הפיכה T כך ש-<math>\ A' = T^{tr} A T</math>. אפשר להניח שאברי האלכסון בכל אחת מן המטריצות מסודרים - החיוביים קודמים לכל האחרים. נסמן ב- <math>\ k,k'</math> את מספר המקדמים החיוביים בשני האלכסונים. מנקודת המבט של תבניות ריבועיות, אפשר לנסח הנחה זו כך: קיים בסיס <math>\ v_1,\dots,v_n</math> כך ש- <math>\ v_i^{tr}A v_i>0</math> עבור <math>\ i\leq k</math>, ו- <math>\ v_i^{tr} A v_i \leq 0</math> אחרת; וכך גם עבור <math>\ A'</math>, בשינויים המתחייבים. 

נסמן ב- <math>\ P</math> את המרחב הנפרש על ידי <math>\ v_1,\dots,v_k</math>, וב- <math>\ ,N</math> את המרחב הנפרש על ידי n-k הווקטורים האחרים בבסיס המתאים ל- A. באופן דומה, נגדיר <math>\ P',N'</math> עבור המטריצה <math>\ A'</math>. קל לראות שכל וקטור שונה מאפס במרחב <math>\ P</math> מקיים <math>\ x^{tr}Ax>0</math>, בעוד שלכל וקטור במרחב <math>\ N'</math> מתקיים <math>\ x^{tr}T^{tr}ATx=x^{tr}A'x\leq 0</math>. לכן, לכל וקטור y במרחב <math>\ T(N')</math> מתקיים <math>\ y^{tr}Ay\leq 0</math>. הוכחנו שהמרחבים מוכרחים להיחתך טריוויאלית: <math>\ P\cap T(N')</math>. לכן סכומם הוא [[סכום ישר]], וה[[ממד (אלגברה ליניארית)|ממדים]] מקיימים 
<math>\ n-\dim(N)+\dim(N') = \dim(P)+\dim(N') = \dim(P+N') \leq n</math>; לכן <math>\ n-k=\dim(N) \geq \dim(N')=n-k'</math>. 
אבל טענה זו נכונה גם בחילופי התפקידים, ולכן <math>\ k=k'</math>. באופן דומה גם <math>\ s=s'</math>.

== ראו גם ==
* [[תבנית ריבועית]]
* [[גופי סיבוב של חתכי חרוט]]
* [[אלגברה ליניארית]]
*[[ג'יימס ג'וזף סילבסטר]]

==קישורים חיצוניים==
* {{MathWorld}}

[[קטגוריה:משפטים באלגברה ליניארית|התמדה של סיליבסטר]]
[[קטגוריה:משפטים בגאומטריה|התמדה של סיליבסטר]]
[[קטגוריה:תבניות ריבועיות|התמדה של סיליבסטר]]