הצגת המקור של הדף "משפט הוויראליות"

ב[[מכניקה]] ובייחוד ב[[מכניקה אנליטית]] וב[[מכניקה סטטיסטית]], '''משפט הוויראליות''' מקשר בין הממוצע על הזמן של ה[[אנרגיה קינטית|אנרגיה הקינטית]] של המערכת, <math>\left\langle T \right\rangle</math>, והממוצע על הזמן של ה[[אנרגיה פוטנציאלית|אנרגיה הפוטנציאלית]] ,<math>\left\langle U \right\rangle</math>.
המשפט קובע שבמערכת שתנועתה סופית, כלומר מערכת בה גם בזמן אינסוף המרחק בין הגופים סופי, ושהאנרגיה הפוטנציאלית שלה היא [[פונקציה הומוגנית]] מסדר <math>\ k </math> של הקואורדינטות, אזי: <math> 2 \left\langle T \right\rangle = k \left\langle U \right\rangle </math>.

==ניסוח המשפט==

נגדיר ממוצע על הזמן של גודל כלשהו: <math>\ \left\langle f \right\rangle = \lim_{\tau \rarr \infty} \frac{1}{\tau} \int_0^{\tau} f(t)dt </math>. המשפט קובע שבמערכת בה התנועה מוגבלת לאזור סופי של המרחב לכל זמן, והאנרגיה הפוטנציאלית שלה לא תלויה במהירויות, מתקיים: <math> 2 \left\langle T \right\rangle = \sum_{a=1}^N \left\langle \mathbf{r}_a \cdot \frac{\partial U}{\partial \mathbf{r}_a} \right\rangle</math>. כאשר <math>\ T</math> היא האנרגיה הקינטית הכוללת של המערכת, <math>\ U </math> האנרגיה הפוטנציאלית ו<math> \mathbf{r}_a </math> הקואורדינטות המוכללות.

אם האנרגיה הפוטנציאלית היא פונקציה הומוגנית מסדר <math>\ k </math> של הקואורדינטות אזי המשפט מקבל את הצורה <math> 2 \left\langle T \right\rangle = k \left\langle U \right\rangle </math>.

==הוכחה==
האנרגיה הקינטית <math>\ T </math> היא פונקציה הומוגנית מסדר שני של המהירויות, לכן על פי [[פונקציה הומוגנית#משפט אוילר לפונקציות הומוגניות|משפט אוילר לפונקציות הומוגניות]] נקבל: <math> 2T = \sum_{a=1}^N \mathbf{v}_a \cdot \frac{\partial T}{\partial \mathbf{v}_a} </math>.

במערכת מכנית בה האנרגיה הפוטנציאלית לא תלויה במהירויות מתקיים: <math> \frac {\partial T}{\partial \mathbf{v}_a}= \frac {\partial L}{\partial \mathbf{v}_a}= \mathbf{p}_a </math>. כאשר <math>\ L </math> הוא ה[[לגראנז'יאן]] ו<math> \mathbf{p}_a </math> הם התנעים המוכללים.

לכן נקבל:
:<math> 2T = \sum_{a=1}^N \mathbf{p}_a \cdot \mathbf{v}_a = \frac {d}{dt} (\sum_{a=1}^N \mathbf{p}_a \cdot \mathbf{r}_a) - \sum_{a=1}^N \mathbf{r}_a \cdot \frac{d \mathbf{p}_a}{dt} </math>.

נזכור כעת ש: <math> \frac {d \mathbf{p}_a}{dt} = - \frac {\partial U}{\partial \mathbf{r}_a} </math> ולכן:
:<math> 2T = \frac {d}{dt} (\sum_{a=1}^N \mathbf{p}_a \cdot \mathbf{r}_a) + \sum_{a=1}^N \mathbf{r}_a \cdot \frac{\partial U}{\partial \mathbf{r}_a} </math>.

נסמן: <math> F(t) = \sum_{a=1}^N \mathbf{p}_a(t) \cdot \mathbf{r}_a(t) </math>. כעת נבצע ממוצע על פי הזמן עבור האיבר השמאלי בביטוי הימני:
:<math> \lim_{\tau \rarr \infty} \frac{1}{\tau} \int_0^{\tau} \frac {d}{dt} F(t) dt = \lim_{\tau \rarr \infty} \frac {F(\tau)-F(0)}{\tau} =0 </math>. וזאת משום שהתנועה סופית ולכן <math>\ F(\tau) </math> ו <math>\ F(0) </math> סופיים.

לכן: <math> \left\langle 2T \right\rangle = 2 \left\langle T \right\rangle = 0 + \left\langle \sum_{a=1}^N \mathbf{r}_a \cdot \frac{\partial U}{\partial \mathbf{r}_a} \right\rangle = \sum_{a=1}^N \left\langle \mathbf{r}_a \cdot \frac{\partial U}{\partial \mathbf{r}_a} \right\rangle </math>.

כאשר <math>\ U </math> היא פונקציה הומוגנית מסדר <math>\ k</math> של הקואורדינטות אז על פי משפט אוילר לפונקציות הומוגניות נקבל: <math> \sum_{a=1}^N \mathbf{r}_a \cdot \frac{\partial U}{\partial \mathbf{r}_a} = kU </math> ולפיכך: <math>\ 2 \left\langle T \right\rangle = \left\langle kU \right\rangle =k \left\langle U \right\rangle </math>.

==מסקנות ושימושים==
===בעיית קפלר===
{{הפניה לערך מורחב|בעיית קפלר}}
מסקנה פשוטה של המשפט מתקבלת עבור [[בעיית קפלר]]. עבור [[כבידה#הכבידה במכניקה הקלאסית - על פי ניוטון|כח משיכה ניוטוני]] מתקיים: <math>\ k = -1 </math> ולכן <math>2 \left\langle T \right\rangle = - \left\langle U \right\rangle</math> ומכאן <math> E = \left\langle T \right\rangle + \left\langle U \right\rangle= -\left\langle T \right\rangle </math>. כאשר <math>\ E </math> היא האנרגיה הכוללת של המערכת. מכאן ניתן להסיק שאם תנאי המשפט מתקיימים אזי האנרגיה בהכרח שלילית. כלומר תנועה למרחק סופי תתקיים [[אם ורק אם]] האנרגיה שלילית. תוצאה זו זהה לתוצאה הידועה לנו מפתרון בעיית קפלר הנותנת תנועה אליפטית או מעגלית אם האנרגיה שלילית. עבור שאר האפשרויות תתקבל תנועה לא סופית.

===גלקסיות===
{{הפניה לערך מורחב|בעיית המסה החסרה}}
אם נצפה אזור ביקום שמלא באופן חריג ב[[גלקסיה|גלקסיות]], ניתן להניח שהגלקסיות הללו נעו ביחד זמן ממושך, ולכן ניתן להפעיל את משפט הוויראליות. כיון שהכוח הפועל הוא כוח משיכה גרביטציוני, מתקיים הקשר: <math>2 \left\langle T \right\rangle = - \left\langle U \right\rangle </math>. ממדידות של [[אפקט דופלר]] ניתן למצוא את המהירויות היחסיות של הגלקסיות ואז מהפעלת משפט הוויראליות ניתן למצוא את ה[[מסה]] הכוללת של האזור כולל ה[[חומר אפל|חומר האפל]] שבו. כאשר ביצע [[פריץ צוויקי]] את המדידות האלו בשנת 1933, הוא גילה שהמסה הכוללת של האזור בו צפה גדולה בהרבה מהמסה של החומר הנראה באזור זה. גילוי זה גרם לצוויקי לחזות את קיומו של החומר האפל.

==לקריאה נוספת==
<div style="direction: ltr;">
* L.D. Landau and E.M. Lifshitz. (1960). Mechanics. Pergamon Press
*H. Goldstein. (1980). Classical Mechanics (2nd ed.). Addison–Wesley
</div>

[[קטגוריה:מכניקה]]
[[קטגוריה:משפטים פיזיקליים|ויראליות]]