הצגת המקור של הדף "משפט הופקינס-לויצקי"

'''משפט הופקינס-לויצקי''' (Hopkins–Levitzki theorem) הוא משפט ב[[תורת החוגים]], הקובע כי כל [[חוג (מבנה אלגברי)|חוג]] [[חוג ארטיני|ארטיני]] שמאלי הוא גם [[חוג נתרי|נתרי]] שמאלי. הטענה נכשלת מעל [[מודול (מבנה אלגברי)|מודולים]] כלליים. המשפט נקרא על שם [[צ'ארלס הופקינס]] ו[[יעקב לויצקי]].

==הוכחה==
מספיק להוכיח כי לחוג יש [[סדרת הרכב|סדרה נורמלית]]. יהי <math>J=Jac(R)</math> [[רדיקל ג'ייקובסון]] של החוג. ידוע כי רדיקל ג'ייקובסון הוא [[אידיאל נילי|נילפוטנטי]], נניח <math>J^k=0</math>. נביט בשרשרת:
<math display="block">R \supseteq J \supseteq \dots \supseteq J^k=0</math>
כל גורם שלה הוא מהצורה <math>M_i = J^{i-1}/J^i</math>; זהו מודול ארטיני מעל <math>R/J</math>, ולכן [[מודול פשוט למחצה|פשוט למחצה]]. לכל מודול פשוט למחצה יש סדרת הרכב, ולכן גם לחוג כולו, כדרוש.

ניתן לתת הוכחה מעט מסובכת יותר תוך שימוש ב[[רדיקל (תורת החוגים)|רדיקל הראשוני]].

==הכללות==
למשפט יש מספר ניסוחים כלליים יותר, והמשותף לכולם הוא שהם מקשרים בין [[תנאי שרשרת (מתמטיקה)|תנאי השרשרת העולה]] לתנאי השרשרת היורדת.

חוג <math>R</math> נקרא '''עיקרי-למחצה''' (semiprimary) אם <math>J(R)</math> [[אידיאל נילי]] ו-<math>R/J(R)</math> [[חוג פשוט למחצה]]. אחד ההכללות למשפט היא שמודול מעל חוג עיקרי-למחצה הוא בשקילות ארטיני, נתרי ובעל סדרת הרכב (כלומר, כל אחד מהתנאים גורר את האחרים).

הגרסה הקודמת נובעת מגרסה זו, שכן כל חוג ארטיני שמאלי הוא עיקרי-למחצה.

==דוגמה נגדית למודול כללי==
כאמור, המשפט נכון רק עבור חוגים: לא כל מודול שמאלי ארטיני הוא שמאלי נתרי. למשל, נביט ב[[חבורה הקוואזי-ציקלית]] <sup>{{אנ|Prüfer group}}</sup>
<math>\mathbb{Z}(p^\infty)=\mathbb{Z}\left[\frac{1}{p}\right]/\mathbb{Z}</math>. יש בה שרשרת עולה אינסופית <math>\left\langle \frac{1}{p} \right\rangle \subset \left\langle \frac{1}{p^2} \right\rangle \subset \dots</math>, ולכן איננה נתרית. היא כן ארטינית, שכן כל שרשרת <math>\left\langle \frac{1}{n_1} \right\rangle \supseteq \left\langle \frac{1}{n_2} \right\rangle \supseteq \dots</math> גוררת <math>n_i|n_{i-1}</math>, ולכן יש איבר קטן ביותר, כלומר היא סופית.

[[קטגוריה:תורת החוגים]]
[[קטגוריה:משפטים באלגברה]]