הצגת המקור של הדף "משפט הורוויץ (אנליזה מרוכבת)"

'''משפט הורוויץ''' הוא [[משפט (מתמטיקה)|משפט]] ב[[אנליזה מרוכבת]] בדבר האפסים של [[סדרת פונקציות]] [[פונקציה הולומורפית|הולומורפיות]] ה[[התכנסות במידה שווה|מתכנסת במידה שווה]] על תתי [[קבוצה קומפקטית|קבוצות קומפקטיות]].

המשפט נקרא על שמו של [[אדולף הורוויץ]], [[מתמטיקאי]] שעסק רבות בתורת הפונקציות המרוכבות. בהוכחת [[משפט ההעתקה של רימן]] יש שימוש במשפט הורוויץ.

תהי <math>\{ f_n : \Omega \to \mathbb{C} \}</math> [[סדרת פונקציות]] [[פונקציה הולומורפית|הולומורפיות]] על תחום [[קבוצה פתוחה|פתוח]] ו[[מרחב קשיר|קשיר]] <math>\Omega</math>. נניח שהסדרה [[התכנסות במידה שווה|מתכנסת במידה שווה]] על כל תת-[[קבוצה קומפקטית]] לפונקציה <math>f</math>. אם לפונקציית הגבול יש שורש <math>z_0</math> מסדר <math>m</math>, אז החל ממקום מסוים, לכל <math>f_k</math> יש בדיוק <math>m</math> שורשים בסביבה מספיק קטנה של <math>z_0</math>. בנוסף, כאשר <math>k \to \infty</math> השורשים שואפים ל-<math>z_0</math>.

== הוכחה ==
<math>f</math> אינה זהותית 0 ולכן האפסים שלה מבודדים, בפרט קיים <math>r>0</math> כך ש<math>f</math> אינה מתאפסת ב <math>\bar{B}(z_0,r)\backslash z_0</math>. 

כעת מ[[עקרון הארגומנט]] <math>\frac{1}{2\pi i}\int_{\partial B(z_0,r)} f'(z) / f(z) dz = N_f(B(z_0,r))=m</math>. 

<math>f_k</math> [[התכנסות במידה שווה|מתכנסת במידה שווה]] ל<math>f</math> על [[קבוצה קומפקטית|תתי קבוצות קומפקטיות]] ולכן ממשפט ויירשטראס <math>f'_k </math> [[התכנסות במידה שווה|מתכנסת במידה שווה]] ל<math>f'</math> על תתי קבוצות קומפקטיות, בנוסף <math>f</math> אינה מתאפסת על <math>\partial B(z_0,r)</math> ,<math>f</math> רציפה ו<math>\partial B(z_0,r)</math> היא [[קבוצה קומפקטית]] ולכן מ[[משפטי ויירשטראס|משפט ויירשטראס]] קיים <math>\delta>0</math> כך ש <math>|f|>\delta</math> על <math>\partial B(z_0,r)</math>, מ[[התכנסות במידה שווה]] החל ממקום מסוים <math>|f_k|>\frac{\delta}{2}</math> על <math>\partial B(z_0,r)</math>. על כן נקבל כי <math>f'_k/f_k \rightarrow f'/f</math> ב[[התכנסות במידה שווה|מידה שווה]] על <math>\partial B(z_0,r)</math>.

לכן,  <math>\frac{1}{2\pi i}\int_{\partial B(z_0,r)} f'(z) / f(z) dz =\lim_{k \to \infty} \frac{1}{2\pi i}\int_{\partial B(z_0,r)} f_k'(z) / f_k(z) dz</math>

מ[[עקרון הארגומנט]] <math>\frac{1}{2\pi i}\int_{\partial B(z_0,r)} f_k'(z) / f_k(z) dz = N_{f_k}(B(z_0,r))
</math> ובפרט זהו [[מספר שלם]], על כן זו [[סדרה מתכנסת]] של מספרים שלמים ולכן החל ממקום מסוים היא קבועה ושווה לגבול שלה כלומר

<math>\frac{1}{2\pi i}\int_{\partial B(z_0,r)} f_k'(z) / f_k(z) dz = m
</math> 

ומ[[עקרון הארגומנט]]  ינבע של<math>f_k
</math> יש בדיוק <math>m
</math> שורשים בסביבה זו.

==מסקנות==
* גרסה נפוצה של המשפט היא - אם בסדרת פונקציות כנ"ל אף פונקציה לא מתאפסת, אז פונקציית הגבול היא או אפס זהותית, או שאיננה מתאפסת אף היא.
* אם בסדרת פונקציות כנ"ל כל פונקציה היא [[פונקציה חד-חד-ערכית|חד-חד-ערכית]], אז פונקציית הגבול היא או חד חד ערכית או קבועה.

==קישורים חיצוניים==
* {{MathWorld}}

[[קטגוריה:משפטים באנליזה מרוכבת|הורוויץ]]