הצגת המקור של הדף "משפט היחידות (אנליזה מרוכבת)"

{{מקורות|נושא=מדעי הטבע|רמה=מחפש}}
ב[[אנליזה מרוכבת]], '''משפט היחידוּת''' (או '''משפט הזהות''') קובע ש[[פונקציה הולומורפית]] נקבעת בכל תחומה על פי ערכיה בקבוצה קטנה יחסית של נקודות.

==ניסוח פורמלי==
יהיו <math>f</math> ו-<math>g</math> [[פונקציה הולומורפית|פונקציות הולומורפיות]] המוגדרות בקבוצה [[מרחב קשיר|קשירה]] ו[[קבוצה פתוחה|פתוחה]] <math>D</math>, ותהי <math>A\subseteq D</math> קבוצה בעלת [[נקודת הצטברות]] ב-<math>D</math> כך ש-<math>f(z)=g(z)</math> לכל <math>z\in A</math>, אזי <math>f(z)=g(z)</math> לכל <math>z\in D</math>.

==הערות==
*התנאי של-<math>A</math> תהיה נקודת הצטברות ב-<math>D</math> הכרחי. הפונקציות <math>f(z)=\sin (1/z)</math> ו-<math>g(z)=0</math> הן שתי פונקציות שונות שהולומורפיות במישור הנקוב <math>D=\mathbb C \setminus\{0\}</math>, ומתאפסות בקבוצה <math>A=\{1/n\pi : n\in \mathbb Z \}</math> שנקודת ההצטברות היחידה שלה היא 0.
*האנלוג הממשי של המשפט אינו נכון. <math>f(x)=x^3</math> ו-<math>g(x)=|x^3|</math> הן פונקציות שונות ה[[פונקציה גזירה|גזירות]] בכל הישר הממשי ומזדהות בקטע <math>[0,\infty)</math>. על כן משפט היחידות מחזק את ההבנה שגזירות במובן המרוכב היא תנאי חזק בהרבה מגזירות במובן הממשי.

==הוכחה==
נקדים להוכחת המשפט שלוש [[למה (מתמטיקה)|למות]] שימושיות.

===למות ===
תהי <math>f</math> פונקציה הולומורפית המוגדרת בקבוצה פתוחה <math>D</math>. תהי <math>S=\{ z\in D : f(z)=0 \}</math> קבוצת ה[[אפס (אנליזה מרוכבת)|אפס]]ים של <math>f</math>. תהי <math>S'</math> [[הקבוצה הנגזרת]] של <math>S</math> ב-<math>D</math> (קבוצת כל נקודות ההצטברות שלה ב-<math>D</math>). שלוש הלמות הבאות מתקיימות באופן טריוויאלי אם <math>S'</math> [[הקבוצה הריקה|ריקה]], ולכן נניח שאינה כזו.
*'''למה 1''' - <math>S'\subseteq S</math>:
יהי <math>a\in S'</math>. <math>a</math> נקודת הצטברות של <math>S</math> ולכן קיימת סדרה <math>\{a_n\}_n</math> כך שלכל n, <math>a_n\in S</math>, וכן <math>a= \lim_{n\to \infty} a_n </math>. <math>f</math> [[פונקציה רציפה|רציפה]] ולכן <math>f(a)=\lim_{n\to \infty} f(a_n) =\lim_{n\to \infty} 0 =  0</math>. ומכאן ש-<math>a\in S</math>.

*'''למה 2''' - <math>S'</math> [[קבוצה סגורה]]:
תהי <math>a</math> נקודת הצטברות של <math>S'</math>. לפי למה 1 <math>S'\subseteq S</math>, ולכן <math>a</math> נקודת הצטברות של <math>S</math>, כלומר <math>a\in S'</math>. <math>S'</math> מכילה את כל נקודות ההצטברות שלה ולכן היא סגורה.

*'''למה 3''' - <math>S'</math> [[קבוצה פתוחה]]:
יהי <math>a\in S'</math>. עלינו להוכיח כי קיימת [[סביבה (מתמטיקה)|סביבה]] של <math>a</math> המוכלת ב-<math>S'</math>. מההולומורפיות של <math>f</math> ב-<math>D</math> נובע כי ניתן לפתח את <math>f</math> ל[[טור חזקות]] בעיגול <math>U</math> סביב <math>a</math>:
:<math>f(z)=\sum_{n=0}^\infty a_n(z-a)^n</math>
[[הוכחה על דרך השלילה|נניח על דרך השלילה]] כי לא כל המקדמים בטור הם 0. משמע קיים <math>m</math> טבעי קטן ביותר כך ש-<math>a_m\ne 0</math>. נסמן:
:<math>h(z)=\sum_{n=0}^\infty a_{m+n}(z-a)^n</math>
<math>h</math> מתכנס ב-<math>U</math> לפי מבחן ההשוואה עם <math>f^{(m)}</math>. <math>h(a)=a_m\ne 0</math>. מכיוון ש-<math>h</math> רציפה, קיימת סביבה <math>V\subseteq U</math> של <math>a</math> כך שלכל <math>z\in V</math> מתקיים <math>h(z)\ne 0</math>. על כן לכל <math>z\in V\setminus \{a\}</math> מתקיים:
:<math>f(z)=(z-a)^mh(z)\ne0</math>
ולכן <math>a</math> [[נקודה מבודדת]] ב-<math>S</math> בסתירה להגדרת <math>S'</math>. על כן הנחת השלילה שגויה ו-<math>a_n = 0</math> לכל <math>n</math> טבעי. מכאן שלכל <math>z\in U</math> מתקיים <math>f(z)=0</math>, ולכן <math>U\subseteq S</math>. אולם בעיגול כל נקודה היא נקודת הצטברות ולכן <math>U\subseteq S'</math>.

===הוכחת משפט היחידות===
נגדיר <math>S=\{z\in D: f(z)=g(z)\} = \{z\in D : (f-g)(z)=0\}</math>. לפי למה 2 ולמה 3 <math>S'</math> היא קבוצה פתוחה וסגורה. מכיוון ש-<math>D</math> קבוצה קשירה, מתקיים <math>S'=\empty</math> או <math>S'=D</math>. אולם <math>A'\subseteq S'</math> ולפי הנתון <math>A'</math> אינה [[הקבוצה הריקה|ריקה]]. מכאן ש-<math>S'=D</math>, ולכן לפי למה 1 <math>S=D</math>. משמע <math>f(z)=g(z)</math> לכל <math>z\in D</math>.

==מסקנות==
*יהיו <math>f</math> ו-<math>g</math> פונקציות הולומורפיות המוגדרות בקבוצה קשירה ופתוחה <math>D</math>, ותהי נקודה <math>a</math> ב-<math>D</math> כך שלכל <math>n</math> טבעי <math>f^{(n)}(a)=g^{(n)}(a)</math>, אזי <math>f(z)=g(z)</math> לכל <math>z\in D</math>. זאת מכיוון שלשתי הפונקציות אותו [[טור טיילור]] סביב <math>a</math>, ולכן הן מזדהות בעיגול סביב <math>a</math>.

*כל אפס של פונקציה הולומורפית שאינה פונקציית האפס הוא אפס מבודד (קיימת לו [[סביבה נקובה]] שאין בה אפסים). אחרת לפי עקרון היחידות זו פונקציית האפס.
**לפונקציה הולומורפית שאינה פונקציית האפס יש [[מספר בן מנייה]] של אפסים. זאת מכיוון שלכל אפס מבודד ניתן להתאים באופן [[התאמה חד-חד-ערכית|חד-חד-ערכי]] נקודה במישור עם קואורדינטות [[מספר רציונלי|רציונליות]].

* אם לפונקציה הולומורפית יש [[המשכה אנליטית]] מקבוצה עם נקודת הצטברות לקבוצה פתוחה וקשירה, אז המשכה זו יחידה. מסקנה זו מצדיקה למשל את הרחבת פונקציית ה[[אקספוננט]] וה[[פונקציה טריגונומטרית|פונקציות הטריגונומטריות]] מ[[הישר הממשי]] לכל [[המישור המרוכב]] באמצעות [[נוסחת אוילר (אנליזה מרוכבת)|נוסחת אוילר]].

* המשכה אנליטית שומרת על יחסים פונקציונליים. כל זהות בין פונקציות הולומורפיות המוגדרת על ידי פונקציה הולומורפית בכמה משתנים נשמרת גם אחרי המשכה אנליטית של הפונקציות. למשל הזהות הממשית <math>\sin^2 z+\cos^2 z =1</math> מתקיימת גם ל-<math>z</math> מרוכב.

[[קטגוריה:משפטים באנליזה מרוכבת|יחידות]]