הצגת המקור של הדף "משפט היחידות של דיריכלה"

'''משפט היחידוֹת של דיריכלה''' הוא אחד מהמשפטים היסודיים ב[[תורת המספרים האלגברית]]. הדוגמה הפשוטה ביותר למשפט זה היא ההבחנה שבמספרים השלמים, רק ל- <math>\ \pm 1</math> יש הפכי ביחס לכפל, שגם הוא שלם. המשפט מראה שגם כאשר עוברים לטפל במספרים שלמים מטיפוס כללי יותר, דהיינו, [[שלם אלגברי|שלמים אלגבריים]] ב[[שדה מספרים]], רק ל'מעט' מספרים ההפכי הוא שלם.

המשפט קובע כי:
* חבורת ה[[איבר הפיך|איברים ההפיכים]] ב[[חוג השלמים בשדה מספרים|חוג השלמים]] של [[שדה מספרים]] היא [[חבורה אבלית|חבורה]] [[חבורה נוצרת סופית|נוצרת סופית]].

מן המשפט נובע שכמו כל [[חבורה אבלית נוצרת סופית]], אפשר להציג את החבורה המדוברת כ[[סכום ישר]] של [[חבורת פיתול|תת חבורה מפותלת]], שהיא במקרה זה [[חבורה ציקלית]] המורכבת מ[[שורש יחידה|שורשי יחידה]], ותת-חבורה אבלית [[חבורה חופשית|חופשית]]. המשפט של דיריכלה מאפשר גם לחשב את [[דרגה (תורת החבורות)|דרגת]] החבורה החופשית.

== דוגמאות ==
מספר x ב[[תחום שלמות]] R נקרא [[איבר הפיך]], אם גם המספר <math>\ x^{-1}</math> שייך לאותו חוג. אוסף האיברים ההפיכים בתחום שלמות נתון מהווה [[חבורה אבלית]] כפלית, הנקראת '''חבורת ההפיכים''' של החוג (באנגלית: group of units, כלומר חבורת היחידות, ומכאן שם המשפט). לדוגמה, ב[[חוג המספרים השלמים|חוג השלמים]] <math>\ \mathbb{Z}</math>, האיברים ההפיכים הם <math>\ \{1,-1\}</math>, וב[[חוג השלמים של גאוס]] <math>\ \mathbb{Z}[\sqrt{-1}]</math>, האיברים ההפיכים הם <math>\ \{\pm 1, \pm \sqrt{-1}\}</math>. אלו הן חבורות סופיות.

התנהגות מעט שונה רואים בחוג <math>\ \mathbb{Z}[\sqrt{6}]</math>, שאבריו מהצורה <math>\ a+b\sqrt{6}</math>, כאשר <math>\ a,b</math> מספרים שלמים. בחוג הזה, האיברים ההפיכים הם אלו שעבורם <math>\ a^2-6b^2=\pm 1</math> - כלומר, הזוג <math>\ a,b</math> פותר את ה[[משוואה דיופנטית|משוואה הדיופנטית]] הקלאסית הידועה בשם [[משוואת פל]]. הפתרון הקטן ביותר למשוואה זו הוא <math>\ a=5, b=2</math>, וכך מתברר שכל האיברים ההפיכים בחוג הם, [[עד כדי (מתמטיקה)|עד כדי]] סימן, חזקות של <math>\ u=5+2\sqrt 6</math>. חבורת ההפיכים [[איזומורפיזם|איזומורפית]] ל- <math>\ \mathbb{Z}/2\times \mathbb{Z}</math>.

עבור כל [[שדה מספרים]], האיברים ההפיכים בחוג השלמים הם בדיוק אלו שה[[נורמה (אלגברה)|נורמה]] שלהם היא <math>\ \pm 1</math> (מצד אחד הכפליות של הנורמה מבטיחה שלאיבר הפיך יש נורמה הפיכה, ומצד שני הנורמה של איבר שווה למכפלת הצמודים שלו). אם בוחרים בסיס לחוג השלמים, אפשר לתרגם את התנאי הזה למשוואה במקדמים. המשוואה המתקבלת היא הכללה של משוואת פל הקשורה בתבנית הנורמה המתאימה.

== הדרגה של חבורת ההפיכים ==
נניח ש- K הוא [[שדה מספרים]], כלומר, [[הרחבה של שדות|הרחבה]] מ[[ממד (אלגברה ליניארית)|ממד]] סופי של [[שדה המספרים הרציונליים]]. כל שדה כזה אפשר לשכן, בדרכים שונות, ב[[שדה המספרים המרוכבים]]. כמה מבין שיכונים אלה מסתפקים ב[[שדה המספרים הממשיים|ערכים ממשיים]]. אם נסמן ב- r את מספרם של השיכונים הממשיים וב- 2s את מספרם של השיכונים שאינם ממשיים (שהוא תמיד [[מספר זוגי|זוגי]]), אז r+2s שווה לממד של K מעל הרציונליים.

משפט דיריכלה קובע שהדרגה של חבורת ההפיכים בחוג השלמים של K שווה ל- r+s-1. לשדה
<math>\ \mathbb{Q}</math> יש רק שיכון אחד, ממשי, וחבורת ההפיכים של חוג השלמים שלו, <math>\ \mathbb{Z}</math>, היא אכן חבורה סופית, מדרגה אפס. חבורת הפיכים סופית יש גם לחוג השלמים <math>\ \mathbb{Z}[\sqrt{-1}]</math> של <math>\ \mathbb{Q}[\sqrt{-1}]</math>, שלו יש רק זוג שיכונים מרוכבים. לעומת זאת, לשדה <math>\ \mathbb{Q}[\sqrt{6}]</math> יש שני שיכונים ממשיים, וכך דרגתה של חבורת ההפיכים בחוג השלמים <math>\ \mathbb{Z}[\sqrt{6}]</math> שווה לאחד, כפי שראינו.

== סקירת ההוכחה ==
הרעיון המרכזי בהוכחה הוא ההעתקה של החבורה הכפלית של השדה K אל המכפלה <math>\ V=\mathbb{R}^r\times \mathbb{R}^s</math>, לפי הנוסחה <math>
\alpha  \to \left( {\log \left| {\sigma _1 \alpha } \right|,...,\log \left| {\sigma _r \alpha } \right|,2\log \left| {\sigma _{r + 1} \alpha } \right|,...,2\log \left| {\sigma _{r + s} \alpha } \right|} \right)
</math>. כאן <math>\ \sigma_i</math> הם השיכונים השונים של K (מסודרים כך שהשיכונים הממשיים מופיעים ראשונה). העתקה זו היא 'כמעט שיכון' - רק שורשי היחידה בשדה (שמספרם סופי) עוברים לאפס.

מתברר שכאשר מצמצמים את ההעתקה הזו לאוסף ההפיכים של חוג השלמים, מתקבל [[סריג (טופולוגיה)|סריג]], דהיינו תת-חבורה [[קבוצה דיסקרטית|דיסקרטית]] של V. עובדה טופולוגית זו, הנמצאת בליבו של הטיעון, נובעת מכך שיש רק מספר סופי של שלמים אלגבריים שכל הצמודים שלהם קטנים (בערכם המוחלט) מחסם נתון. אם ממשיכים את השיכון אל הממשיים על ידי סיכום הרכיבים, תמונתו של כל איבר שווה ללוגריתם הערך המוחלט של הנורמה שלו, וכך הגרעין כולל בדיוק את האיברים ההפיכים. מנימוקים אלה נובע שחבורת ההפיכים של חוג השלמים נוצרת סופית, ודרגתה לכל היותר <math>\ r+s-1</math>.

כדי להוכיח שהדרגה שווה לחסם המדובר, יש להראות שדרגת הסריג שווה לממד של V. לשם כך נעזרים ב[[משפט מינקובסקי]], המאפשר לאתר איברים בעלי תכונות מתאימות ולבנות בסיס לסריג.

[[קטגוריה:משפטים בתורת המספרים|יחידות של דיריכלה]]
[[קטגוריה:משפטים באלגברה|יחידות של דיריכלה]]
[[קטגוריה:תורת המספרים האלגברית]]