הצגת המקור של הדף "משפט היינה-בורל"

'''משפט היינה-בורל''' הוא משפט יסודי ב[[אנליזה מתמטית]], הקובע ש[[קבוצה (מתמטיקה)|קבוצה]] ב[[הישר הממשי|ישר הממשי]] היא [[קבוצה קומפקטית|קומפקטית]] [[אם ורק אם]] היא [[קבוצה סגורה|סגורה]] ו[[קבוצה חסומה|חסומה]]. המשפט חל באותה מידה על קבוצות של וקטורים, כלומר תת-קבוצות של ה[[מרחב אוקלידי|מרחבים האוקלידיים]] <math>\mathbb{R}^n</math>.

האפיון של קבוצות קומפקטיות שנותן משפט היינה-בורל אינו נכון בכל [[מרחב מטרי]], ודרכו מצביע המשפט על כך שמערכת האקסיומות של המרחבים האוקלידיים חזקה מזו של מרחבים מטריים אחרים.

המשפט קשור לשני משפטים חשובים אחרים - [[משפט בולצאנו-ויירשטראס]] וה[[הלמה של קנטור|למה של קנטור]] - ואפשר להסיק אותם בקלות יחסית זה מזה.

המשפט קרוי על שם המתמטיקאים [[אדוארד היינה]] ו[[אמיל בורל]].

== רקע ==
הקומפקטיות היא תכונה מרכזית בטופולוגיה, והיא קשורה לתכונות חשובות רבות אחרות. משפט היינה-בורל קובע, כאמור, שבמרחבים האוקלידיים אפשר לאפיין אותה באמצעות שתי דרישות פשוטות יחסית: שהקבוצה המדוברת תהיה סגורה וחסומה. כיוון אחד של האפיון הזה נכון בכל מרחב מטרי: כל קבוצה קומפקטית היא תמיד סגורה וחסומה. ההפך אינו נכון.

אפיון אחר, כללי יותר, קובע ש(בכל מרחב מטרי), קבוצה היא קומפקטית אם ורק אם היא [[מרחב מטרי שלם|שלמה]] ו[[קבוצה חסומה כליל|חסומה כליל]]. הדרישה השנייה, שהקבוצה תהיה חסומה כליל, חזקה יותר מכך שהקבוצה תהיה חסומה סתם, אלא שקבוצה חסומה המוכלת בקבוצה קומפקטית היא גם חסומה כליל. בנוסף לזה, אם המרחב עצמו שלם, אז כל קבוצה סגורה היא שלמה, ולכן במרחבים שלמים קבוצה היא קומפקטית אם ורק אם היא סגורה וחסומה כליל. אפיונים אלה מכלילים את משפט היינה-בורל.

==הוכחה באמצעות הלמה של קנטור==
כל קבוצה קומפקטית במרחב מטרי היא סגורה וחסומה. הקושי הוא להוכיח שקבוצה סגורה וחסומה היא קומפקטית. כדי להוכיח זאת, מספיק להראות את הטענות הבאות.
#תיבה במרחב <math>d</math>-ממדי היא קבוצה קומפקטית: נניח שיש [[כיסוי (טופולוגיה)|כיסוי]] פתוח של התיבה שאין לו תת-כיסוי סופי. נחלק את התיבה ל-<math>2^d</math> "רבעים", על ידי חלוקת כל אחד מצירי התיבה לשניים. לפי ההנחה, לאחד מאלה אין תת-כיסוי סופי. נמשיך באופן כזה, ונקבל סדרת תיבות המוכלות כל אחת בקודמתה, עם [[קוטר]] ה[[גבול של סדרה|שואף]] לאפס. לפי [[הלמה של קנטור]], חיתוך כל התיבות בסדרה הוא נקודה אחת. אחת הקבוצות בכיסוי מכסה את הנקודה הזו, ולכן מכילה תיבה מן הסדרה שלנו - אבל זהו כיסוי סופי לאותה תיבה, בסתירה לאופן בחירת התיבות בסדרה.
#כל קבוצה [[חסם|חסומה]] מוכלת ב[[תיבה_(גאומטריה)|תיבה]] סגורה כלשהי: משום שכל כדור מוכל בתיבה.
#תת קבוצה [[קבוצה סגורה|סגורה]] של [[קבוצה קומפקטית]], אף היא קומפקטית: בהינתן קבוצה סגורה <math>B</math> המוכלת בקבוצה קומפקטית <math>A</math>, נתבונן ב[[כיסוי (טופולוגיה)|כיסוי]] פתוח של <math>B</math>. נצרף לכיסוי הפתוח הזה את ההפרש <math>A\setminus B</math> וקיבלנו כיסוי פתוח של <math>A</math>, שיש לו תת-כיסוי סופי. נסיר ממנו את <math>A\setminus B</math> ונקבל תת-כיסוי סופי של הכיסוי של <math>B</math>.

==קישורים חיצוניים==
* {{MathWorld}}

[[קטגוריה:ערכים שבהם תבנית בריטניקה אינה מתאימה]]
[[קטגוריה:מרחבים מטריים]]
[[קטגוריה:משפטים באנליזה|היינה-בורל]]
[[קטגוריה:משפטים בטופולוגיה|היינה-בורל]]
[[קטגוריה:קומפקטיות]]