הצגת המקור של הדף "משפט הכדור השעיר"

[[קובץ:Baby hairy head DSCN2483.jpg|ממוזער|ראש מסורק של תינוק]]

'''משפט הכדור השעיר''' (הנקרא לעיתים גם משפט הקיפוד{{הערה|שם=Renteln|{{cite book
 | last1  = Renteln
 | first1 = Paul 
 | title  = Manifolds, Tensors, and Forms: An Introduction for Mathematicians and Physicists
 | publisher = Cambridge Univ. Press
 | date   = 2013
 | location = 
 | page  = 253
 | language = 
 | url    = https://books.google.com/books?id=uJWGAgAAQBAJ&pg=PA253&dq=hairy+ball+theorem
 | doi    = 
 | id     = 
 | isbn   = 1107659698
 }}}}) הוא משפט ידוע ב[[טופולוגיה אלגברית]] שבניסוחו הפופולרי טוען שאי אפשר לסרק כדור שעיר (כלומר לשטח את שערותיו) באופן חלק (כלומר רציף) בלי להשאיר נקודה קרחת או שיערה בולטת. 

הנסוח המתמטי והכללי יותר אומר שאין [[שדה וקטורי]] על [[ספירה (גאומטריה)|ספירה]] n ממדית כש-n זוגי{{הערה|שם=Burns|{{cite book
 | last1  = Burns
 | first1 = Keith
 | last2  = Gidea
 | first2 = Marian
 | title  = Differential Geometry and Topology: With a View to Dynamical Systems
 | publisher = CRC Press
 | date   = 2005
 | location = 
 | pages  = 77
 | language = 
 | url    = https://books.google.com/books?id=tV9sTDnaf40C&pg=PA77&dq=hairy+ball+theorem
 | doi    = 
 | id     = 
 | isbn   = 1584882530
 }}}}{{הערה|שם=Schwartz|{{cite book
 | last1  = Schwartz
 | first1 = Richard Evan 
 | title  = Mostly Surfaces
 | publisher = American Mathematical Society
 | date   = 2011
 | location = 
 | pages  = 113–114
 | language = 
 | url    = https://books.google.com/books?id=sS2IAwAAQBAJ&pg=PA113&dq=hairy+ball+theorem
 | doi    = 
 | id     = 
 | isbn   = 0821853686
 }}}} (הגדרה הכוללת את הספירה הרגילה - כלומר מעטפת הכדור שבה n=2) המשיק לספירה בכל נקודה ושאינו מתאפס באף נקודה. המשמעות עבור הספירה הרגילה היא שאם ''f'' היא [[פונקציה]] רציפה המחזירה [[מרחב וקטורי|וקטור]] תלת־ממדי לכל נקודה על הספירה כך ש (''f''(''p'' תמיד משיקה לספירה בנקודה ''p'', אזי קיימת לפחות נקודה ''p'' אחת שעבורה ''f''(''p'') = ''0''. הטענה והוכחתה ניתנו על ידי [[אנרי פואנקרה|פואנקרה]] ו[[לויצן אגברטוס יאן בראואר|בראואר]].

==נביעת הטענה ממשפט פואנקרה-הופף==
[[קובץ:Hairy ball one pole.jpg|ממוזער|איור 1: שדה וקטורי על כדור עם נקודה קריטית אחת בעלת אינדקס 2. ראו גם [[:File:Hairy ball one pole animated.gif|גרסת אנימציה של הכדור]].]]
ראשית כמה הגדרות:
* '''אינדקס''' של [[נקודה קריטית]] מבודדת: ראו את הכדור עם השדה הווקטורי הרציף שבאיור 1. על הכדור ניתן להבחין ב''נקודה קריטית'' אחת (כלומר בנקודה שבה הווקטור הוא וקטור האפס). דמינו [[מעגל]] קטן מסביב לנקודה זאת כך שמסומנות עליו השעות כמו בשעון. כעת שימו נקודה על "שעה 12" והניעו אותה בכיוון השעון לאורך המעגל. כשהנקודה בשעה 12 הווקטור של השדה מצביע "צפונה" (במישור התמונה). כשהנקודה תגיע ל"שעה 1" הווקטור כבר יצביע לכוון "צפון מזרח" בערך. ב"שעה 3" הווקטור יצביע "דרומה" ועד "שעה 6" הוא ישלים סיבוב שלם ויצביע שוב "צפונה". בין "שעה 6" בחזרה ל"שעה 12" בכיוון השעון הווקטור של הנקודה ישלים עוד סבוב שלם נוסף. סך הכל במהלך הסבוב של הנקודה בכיוון השעון הווקטור של השדה ישלים שני סבובים בכיוון השעון. על כן ה''אינדקס'' של הנקודה הקריטית הזאת מוגדר להיות 2. באופן כללי מסכמים את כל הסיבובים השלמים שעושה וקטור השדה במהלך סבוב הנקודה סביב המעגל בכיוון השעון, כשסיבוב שלם של וקטור השדה עם כוון השעון נספר כ 1, וסבוב שלם של וקטור השדה נגד כוון השעון נספר כ 1-. לנקודות קריטיות יכולים להיות ערכי אינדקס שונים בהתאם לשדה הווקטורי המקיף אותן. להגדרה פורמלית יותר של האינדקס של נקודה קריטית ראו{{הערה|Michael Henle, '''A Combinatorial Introduction to Topology''', Dover publications, New York, 1979, עמ' 50-48.}}.
* '''[[מאפיין אוילר]]''' של [[משטח (טופולוגיה)|משטח]] דו־ממדי (כמו ספירה רגילה או [[טורוס]] למשל) הוא הערך <math>\chi=V-E+F \,\!</math> כאשר E מייצג את מספר ה[[צלע (גאומטריה)|צלעות]], F מייצג את מספר ה[[פאה (גאומטריה)|פאות]] ו-V מייצג את כמות ה[[צומת (תורת הגרפים)|צמתים]] של [[פאון|פאונים]] המחלקים את המשטח. פואנקרה הראה{{הערה|Michael Henle, '''A Combinatorial Introduction to Topology''', Dover publications, New York, 1979, עמ' 168-167.}} שערך זה נשאר קבוע עבור משטח ללא תלות בצורת הפאון, ולכן הערך הוא ''מאפיין'' של המשטח. קל לראות שמאפיין אוילר של ספירה הוא 2 וזה של טורוס הוא 0. 

[[קובץ:Hairy doughnut.png|ממוזער|איור 2: טורוס בעל מאפיין אוילר 0 ניתן לסרק בקלות בצורה חלקה ללא קרחות או שערות עומדות]]
משפט [[אנרי פואנקרה|פואנקרה]]-[[היינץ הופף|הופף]]{{הערה|Michael Henle, '''A Combinatorial Introduction to Topology''', Dover publications, New York, 1979, עמ' 206-200.}} אומר שעבור שדה וקטורי V רציף ומשיק למשטח [[קבוצה קומפקטית|קומפקטי]], [[מרחב קשיר|קשיר]] ו[[יריעה אוריינטבילית|אוריינטבילי]] סכום האינדקסים של הנקודות הקריטיות של V שווה למאפיין אוילר של המשטח. במקרה של כדור (או כל צורה [[הומיאומורפיזם|שקולה טופולוגית]] לכדור) מאפיין אוילר הוא כאמור 2, ולכן סכום האינדקסים של הנקודות הקריטיות שווה ל 2, ומכאן שקיימת לפחות נקודה קריטית אחת (כמו באיור 1). לטורוס כאמור מאפיין אוילר 0 ולכן לא חייבת להיות לו נקודה קריטית ומשפט ה"כדור השעיר" אינו תקף. ואמנם קל לראות שניתן "לסרק" טורוס באופן חלק ללא קרחות או שערות עומדות - ראו איור 2.

==השלכות==
===ציקלונים===
למשפט הכדור השעיר יש השלכות מפתיעות בתחום ה[[מטאורולוגיה]]{{הערה|Clifford A. Pickover, '''The Math Book''', Sterling Publishing, New York, 2009, עמ' 326.}}. הטלת כיוון הרוחות על פני כדור הארץ מהווה שדה וקטורי רציף ולכן, לפי משפט הכדור השעיר, בכל רגע נתון יש על כדור הארץ לפחות מקום אחד בו הרכיב האופקי של הרוח הוא 0, כלומר מקום בו אין רוח או מקום בו לרוח יש רק רכיב ניצב לאדמה. במונחים מטאורולוגים, הנקודה הקריטית הזאת תימצא במרכז של [[ציקלון]] או [[אנטי-ציקלון]]. ליתר דיוק, כיוון שאוויר ה[[אטמוספירה]] הוא רב שכבתי הרי שבכל שכבה קיימת נקודה שכזאת.

===גרפיקה ממוחשבת===
לעיתים קרובות [[תוכנה|תוכנת מחשב]] המבצעת חישובים לצורך [[גרפיקה ממוחשבת]] זקוקה לחשב וקטור תלת־ממדי ניצב לוקטור נתון אחר. ממשפט הכדור השעיר נובע שאי אפשר לכתוב פונקציה אחת רציפה שתבצע משימה זאת עבור כל וקטור קלט אפשרי. כדי להשתכנע בכך, דמיינו ספירה סביב מוקד מסוים, והניחו שהפונקציה מקבלת כל פעם כקלט וקטור המצביע מהמוקד אל מקום כלשהו על הספירה. על הפונקציה לחשב וקטור ניצב לוקטור הקלט, או במילים אחרות וקטור [[משיק]] לספירה. ממשפט הכדור השעיר נובע שלא קיימת פונקציה רציפה שתחזיר תמיד וקטורים לא מאופסים.

===פונקציה מספירה על עצמה===
ממשפט הכדור השעיר נובע שלכל פונקציה רציפה מספירה על עצמה יש או [[נקודת שבת]] (נקודה הממופה לעצמה) או נקודה הממופה לנקודה ה[[נקודות אנטיפודיות|אנטיפודית]] שלה (כלומר לנקודה הנמצאת בדיוק מולה מעבר למרכז הספירה). כדי להשתכנע בכך, תהי ''s'' הפונקציה הממפה את הספירה על עצמה, כלומר כל נקודה ''p'' על הספירה ממופה ל (''s''(''p'' שגם היא על הספירה. כעת נגדיר שדה וקטורי רציף (''v''(''p'' עבור הנקודות של הספירה כדלהלן: עבור כל נקודה ''p'' שעל הספירה ניקח את המישור המשיק לספירה בנקודה ''p'' - נקרא למישור זה ''M''. נקרא לנקודה האנטיפודית ל''p'' בשם ''q''. כעת נבצע [[הטלה סטריאוגרפית]] ל (''s''(''p'' ממרכז ההטלה ''q'' אל המישור ''M''. במילים אחרות, נעביר ישר בין ''q'' ל (''s''(''p'', ונסמן את המפגש של ישר זה עם המישור ''M'' בשם ''vp''. ערך השדה הווקטורי (''v''(''p'' יוגדר להיות הווקטור בין ''p'' ל''vp'' שהוא וקטור משיק לספירה בנקודה ''p''. כיוון ששדה ''v'' כזה הוא רציף הרי שנובע ממשפט הכדור השעיר שיש נקודה ''p'' בה הוא מתאפס, או במילים אחרות ש v''(''p'')=0'' ולכן ''s''(''p'')=''p''.
נימוק זה תקף רק אם (''s''(''p'' אינו שווה בעצמו ל ''q'', כיוון שהטלה סטריאוגרפית אינה מוגדרת עבור מרכז ההטלה עצמו. לסכום, או שקיימת ''p'' כך ש ''s''(''p'')=''p'' או שקיימת ''p'' כך ש ''s''(''p'')=''q''.

==ראו גם==
* [[אנרי פואנקרה]]
* [[טופולוגיה אלגברית]]
* [[מאפיין אוילר]]
* [[ספירה (גאומטריה)]]

==קישורים חיצוניים==
{{ויקישיתוף בשורה}}
* {{Citation |first1=Murray |last1=Eisenberg |first2=Robert |last2=Guy |title=A Proof of the Hairy Ball Theorem |journal=The American Mathematical Monthly |volume=86 |issue=7 |year=1979 |pages=571–574 |doi=10.2307/2320587}}
* {{MathWorld}}

==הערות שוליים==
{{הערות שוליים|יישור=ימין}}

[[קטגוריה:טופולוגיה אלגברית]]
[[קטגוריה:טופולוגיה]]