הצגת המקור של הדף "משפט הערך הממוצע של גאוס"

ב[[מתמטיקה]], '''משפט הערך הממוצע של גאוס''' הוא שמם של שני [[משפט (מתמטיקה)|משפט]]ים דומים:
* משפט הערך הממוצע של גאוס ב[[אנליזה מרוכבת]]: הערך ש[[פונקציה הולומורפית]] מקבלת בנקודה הוא [[ממוצע של פונקציה|ממוצע]] הערכים שהיא מקבלת ב[[מעגל]] סביב הנקודה.
* משפט הערך הממוצע של גאוס לפונקציות הרמוניות: הערך ש[[פונקציה הרמונית]] מקבלת בנקודה הוא ממוצע הערכים שהיא מקבלת ב[[ספירה (גאומטריה)|ספירה]] סביב הנקודה.

הדמיון בין המשפטים אינו מקרי. החלק הממשי והמרוכב של פונקציה הולומורפית הן פונקציות הרמוניות. 

משפט הערך הממוצע של גאוס ב[[אנליזה מרוכבת]] משמש ככלי מרכזי להוכחת תכונות חשובות של [[פונקציה הולומורפית|פונקציות הולומורפיות]], כגון [[משפט היחידות (אנליזה מרוכבת)|משפט היחידות]] ו[[משפט השאריות]]. בנוסף, משפט הערך הממוצע של גאוס לפונקציות הרמוניות משמש בהוכחת תכונות חשובות של פונקציות הרמוניות כמו [[עקרון המקסימום]] ההרמוני. השימוש במשפטים אלו רחב גם בתחומים אחרים של המתמטיקה והפיזיקה, במיוחד בבעיות פוטנציאל ובתורת השדות.

==פונקציות הולומורפיות==
תהי <math>f</math> פונקציה הולומורפית, ויהי <math>0\le r</math> כך שהעיגול ברדיוס <math>r</math> סביב נקודה <math>z_0</math> מוכל בתחום של <math>f</math>. אזי:
:<math>f(z_0) = {1 \over 2\pi} \int_0^{2\pi} {f(z_0+re^{i\theta})}\, d\theta </math>

===הוכחה===
יהי <math>C = \{z : |z-z_0|=r\}</math>. לפי [[נוסחת האינטגרל של קושי]]:
:<math>f(z_0) = {1 \over 2\pi i} \oint_C {f(z) \over z-z_0}\, dz </math>

<math>z_0+re^{i\theta}, \theta\in [0,2\pi)</math> היא פרמטריזציה של המעגל <math>C</math>. לכן:
:<math>f(z_0) = {1 \over 2\pi i} \int_0^{2\pi} {\frac{f(z_0+re^{i\theta})}{re^{i\theta}}ire^{i\theta}}\, d\theta =  {1 \over 2\pi} \int_0^{2\pi} {f(z_0+re^{i\theta})}\, d\theta</math>

==פונקציות הרמוניות==
מהשוויון הנ"ל ניתן להסיק שוויון אנלוגי ל[[פונקציה הרמונית|פונקציות הרמוניות]].

נניח ש-<math>u</math> פונקציה הרמונית ב[[תחום פשוט קשר]] [[קבוצה פתוחה|פתוח]]. לפי משפט מאנליזה מרוכבת, היא מהווה חלק ממשי של פונקציה אנליטית <math>f</math> על התחום. עבור <math>f</math> מתקיים השוויון לעיל, ולכן אם נוציא חלק ממשי נקבל (בגלל שאינטגרל על פונקציה מרוכבת בגבולות ממשיים מוגדר להיות האינטגרל על החלק הממשי שלה ואנטגרל על החלק המדומה שלה כפול i) : 

<math>u(z_0)={1 \over 2\pi} \int_0^{2\pi} {u(z_0+re^{i\theta})}\, d\theta</math>

תכונה זו נקראת '''תכונת הערך הממוצע''' לפונקציות הרמוניות. לפי משפט, פונקציה היא הרמונית אם ורק אם היא מקיימת את תכונת הערך הממוצע.

(כאשר <math>u(z)=u(Rez,Imz)</math>). להכללה של העקרונות הללו ראו [[גרעין פואסון]].

==ראו גם==
* [[עקרון המקסימום]]
* [[גרעין פואסון]]

==קישורים חיצוניים==
*[http://mathworld.wolfram.com/GausssMean-ValueTheorem.html משפט הערך הממוצע של גאוס ב-Wolfram Mathworld]
[[קטגוריה:משפטים באנליזה מרוכבת|ערך ממוצע של גאוס]]
[[קטגוריה:קרל פרידריך גאוס]]