הצגת המקור של הדף "משפט הערך הממוצע של קושי"

[[Image:Cauchy.svg|left|ממוזער|306px|המחשה גאומטרית של משפט הערך הממוצע של קושי: קיים משיק ל[[מסילה (מתמטיקה)|מסילה]] <math>(f(t),g(t))</math> שמקביל לישר המחבר את <math>(f(a),g(a))</math> עם <math>(f(b),g(b))</math>.]]
ב[[חשבון אינפיניטסימלי]], '''משפט הערך הממוצע של קושי''' הוא הכללה של [[משפט הערך הממוצע של לגראנז']] עבור זוג [[פונקציה|פונקציות]]. למשפט מספר שימושים מועילים, דוגמת הוכחת [[כלל לופיטל]].

==ניסוח פורמלי==

תהיינה <math>\ f</math> ו-<math>\ g</math> פונקציות רציפות בקטע <math>\left[a,b\right]</math> וגזירות בקטע <math>\left(a,b\right)</math>. נניח שהנגזרת של <math>g'(x)\neq 0</math> לכל <math>x \in \left(a,b\right)</math>. אזי קיימת נקודה <math>c\isin (a,b)</math> כך שמתקיים <math>\frac{f'(c)}{g'(c)}=\frac{f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)}</math>. 

'''הערה''': מכך שהנגזרת אינה מתאפסת בקטע <math>\left(a,b\right)</math> ומ[[קונטרה פוזיטיב]] ל[[משפט רול]] מתקבל <math>g(b)\ne g(a)</math> ולכן אין [[חלוקה באפס]]. 

[[משפט הערך הממוצע של לגראנז']] הוא [[מקרה פרטי]] של משפט הערך הממוצע של קושי, עבור <math>\ g(t) = t</math>. 

==הוכחה==
ראשית נשים לב כי אם <math>\ g(b)= g(a)</math> אז על פי [[משפט רול]] קיימת נקודה <math>\ x\isin(a,b)</math> כך ש-<math>\ g'(x)=0</math>, וזאת בסתירה להנחה. לכן בהכרח <math>\ g(b)\ne g(a)</math>.

כעת נגדיר פונקציה חדשה: <math display="block">\ F(x)=(f(x)-f(a))-\frac{f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)}(g(x)-g(a))</math>פונקציה זו נבנית מהפונקציות <math>\ f,g</math> באמצעות פעולות אלמנטריות של חיבור, חיסור, וכפל, ולכן, כמו <math>\ f,g</math>, היא רציפה בקטע <math>\ [a,b]</math> וגזירה בקטע <math>\ (a,b)</math>.

אם נציב, נקבל את השוויון  <math>\ F(a)=F(b)=0</math>. לכן F מקיימת את תנאי משפט רול, ומכאן שקיימת נקודה <math>\ c\isin(a,b)</math> כך ש-<math>\ F'(c)=0</math>.

אבל <math>\ F'(x)=f'(x)-\frac{f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)}g'(x)</math>. ולכן: <math>\ f'(c)=\frac{f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)}g'(c) </math>.

על פי הנתון, <math>\ g'(c)\ne 0</math> ולכן ניתן לחלק, ולקבל <math>\ \frac{f'(c)}{g'(c)}=\frac{f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)}</math>, כמבוקש.


{{אנליזה מתמטית}}

==קישורים חיצוניים==
* {{MathWorld}}

[[קטגוריה:משפטים באנליזה|קושי]]
[[קטגוריה:אוגוסטן לואי קושי]]

[[en:Mean value theorem#Cauchy's_mean_value_theorem]]