הצגת המקור של הדף "משפט הפירוק של האן"

{{סימון מתמטי}}

ב[[מתמטיקה]], ובפרט ב[[תורת המידה]], '''משפט הפירוק של האן''' הוא [[משפט (מתמטיקה)|משפט]] הקובע כי [[מרחב מדיד]] עם [[מידה מסומנת]] ניתן לפירוק לקבוצה חיובית וקבוצה שלילית.

למשפט חשיבות רבה בתורת המידה והוא מהווה בסיס למרבית ההוכחות של [[משפט הפירוק של ז'ורדן]], [[משפט הפירוק של לבג]] ו[[משפט רדון־ניקודים|משפט רדון-ניקודים]].

המשפט הוכח לראשונה במאמר מאת [[הנס האן]] בשנת [[1921]].<ref>{{צ-מאמר|מחבר=Hans Hahn|שם=Theorie der reellen Funktionen|כתב עת=SpringerLink|doi=10.1007/978-3-642-52624-4#toc|קישור=https://link.springer.com/book/10.1007/978-3-642-52624-4#toc}}</ref>

== מבוא ומונחים בסיסיים ==
עבור מרחב מדיד כלשהו <math>(\Omega,\Sigma)</math>, '''מידה מסומנת''' היא פונקציה <math>\mu:\Sigma\to\mathbb{R}\cup\{-\infty,\infty\}</math> (כאשר <math>\mathbb{R}</math> הוא [[שדה המספרים הממשיים]]) המקיימת [[סיגמא-אדיטיביות|סיגמא-חיבוריות]], מתאפסת עבור [[הקבוצה הריקה]] ומקבלת לכל היותר את אחד הערכים <math>\infty</math> ו-<math>-\infty</math> (לא את שניהם).

קבוצה <math>P\in\Sigma</math> תקרא '''קבוצה חיובית''' אם ורק אם לכל <math>\Sigma \ni B\subseteq P</math> מתקיים <math>\mu(B)\ge 0</math>.

קבוצה <math>N\in\Sigma</math> תקרא '''קבוצה שלילית''' אם ורק אם לכל <math>\Sigma \ni B\subseteq N</math> מתקיים <math>\mu(B)\le 0</math>.

משפט הפירוק של האן מאפשר להפריד את <math>\Omega</math> לקבוצה חיובית וקבוצה שלילית.

== ניסוח מתמטי ==
עבור מרחב מדיד <math>(\Omega,\Sigma)</math> ומידה מסומנת <math>\mu</math> קיימות קבוצות <math>P,N\in\Sigma</math> כך ש:<ref>{{קישור כללי|כתובת=https://planetmath.org/hahndecompositiontheorem|כותרת=Hahn decomposition theorem|אתר=planetmath.org|תאריך_וידוא=2023-07-15}}</ref>

# <math>P</math> חיובית לפי <math>\mu</math>.
# <math>N</math> שלילית לפי <math>\mu</math>.
# <math>P\cup N=\Omega</math>.
# <math>P\cap N=\emptyset</math>.

== תקציר ההוכחה ==
מאחר ש-<math>\mu</math> מקבלת לכל היותר את אחד הערכים <math>\infty</math> ו-<math>-\infty</math> אבל לא את שניהם, ניתן להניח [[ללא הגבלת הכלליות|בלי הגבלת הכלליות]] כי היא אינה מקבלת את הערך <math>\infty</math> (אחרת מוכיחים את המשפט עבור המידה המסומנת <math>-\mu</math>).

ראשית מוכיחים את הלמה הבאה: לכל <math>A\in \Sigma</math> קיימת <math>\Sigma\ni P\subseteq A</math> חיובית כך ש-<math>\mu(P)\ge \mu(A)</math>.<ref>{{קישור כללי|כתובת=https://www.ams.org/journals/proc/1980-080-02/S0002-9939-1980-0577778-7/S0002-9939-1980-0577778-7.pdf|הכותב=RAOUF DOSS|כותרת=THE HAHN DECOMPOSITION THEOREM|אתר=American Mathematical Society|תאריך=October 1980|שפה=en}}</ref>

לאחר מכן מגדירים ב-<math>s:=\sup{\{\mu(A)\mid A\in\Sigma\}}</math>. לפי הגדרת ה[[אינפימום וסופרמום|סופרימום]] קיימת סדרה <math>\{P_n\}\subseteq \Sigma</math> כך ש-<math>\mu(P_n)\to s</math>. בגלל הלמה ניתן להניח כי הסדרה מורכבת מקבוצות חיוביות בלבד. מגדירים <math>P:=\bigcup{P_n}</math> ומאחר ומדובר באיחוד של קבוצות חיוביות, <math>P</math> היא קבוצה חיובית. כמו כן, לפי בניית הסדרה <math>\{P_n\}</math>, בהכרח מתקיים כי <math>\mu(P)=s</math>.

כעת מגדירים <math>N:=\Omega \backslash P</math>. ברור כי <math>N</math> מדידה וכי <math>P\cap N=\emptyset</math>.

כדי לסיים את ההוכחה יש להוכיח כי <math>N</math> היא קבוצה שלילית. לשם כך לוקחים <math>\Sigma\ni B\subseteq N</math> כלשהי. לפי חיבוריות של <math>\mu</math>:

<math>\mu(B)+s=\mu(B)+\mu(P)=\mu(B\cup P)\le s</math>

כאשר אי השוויון הימני נובע מהגדרת הסופרימום. מחסירים את <math>s</math> משני האגפים (ניתן לעשות זאת כי בהכרח <math>s\ne\infty</math>) ומתקבל <math>\mu(B)\le 0</math>. הדבר נכון לכל <math>B</math> כזו, ועל כן <math>N</math> היא קבוצה שלילית. ''מ.ש.ל.''

== יחידות ==
בעוד שמשפט הפירוק אינו מוכיח יחידות של הפירוק, ניתן להוכיח כי הפירוק יחיד עד כדי [[קבוצה ממידה אפס]].

בהינתן שני פירוקים לפי משפט הפירוק של האן <math>P,N</math> ו-<math>P',N'</math> ניתן להסיק כי הקבוצות <math>P'\cap N</math> ו-<math>P\cap N'</math> הן בהכרח ממידה אפס, זאת מאחר שהן תת-קבוצות הן של קבוצה חיובית והן שלילית. לכן:

<math>\begin{align}\mu(P\Delta P')=\mu((P \backslash P')\cup(P' \backslash P))=\mu(P \backslash P')+\mu(P' \backslash P)\\
=\mu(P \cap N')+\mu(P' \cap N)=0+0=0
\end{align}</math>

<math>\begin{align}
\mu(N\Delta N')=\mu((N \backslash N')\cup(N' \backslash N))=\mu(N \backslash N')+\mu(N' \backslash N)\\
=\mu(N \cap P')+\mu(N' \cap P)=0+0=0
\end{align}</math>

כלומר, ה[[הפרש סימטרי|הפרשים הסימטריים]] בין הקבוצות החיוביות ובין הקבוצות השליליות הם ממידה אפס.

== הערות שוליים ==
{{הערות שוליים|יישור=שמאל}}

[[קטגוריה:משפטים בתורת המידה]]