הצגת המקור של הדף "משפט הפירוק של הלמהולץ"

ב[[פיזיקה]] וב[[מתמטיקה]], ובפרט בתחום של [[אנליזה וקטורית]], '''משפט הפירוק של הלמהולץ''', הידוע גם בשם '''המשפט היסודי של האנליזה הווקטורית''', קובע שכל [[שדה וקטורי]] תלת-ממדי, [[פונקציה גזירה|גזיר ברציפות פעמיים]], הדועך מהר מספיק באינסוף, יכול להיות מוצג כסכום של [[שדה וקטורי סולנואידי|שדה סולנואידי]] ו[[שדה וקטורי משמר|שדה משמר]]. פירוק כזה ידוע כ'''פירוק הלמהולץ'''. המשפט נקרא על שמו של הפיזיקאי [[הרמן פון הלמהולץ]].

מאחר שלכל שדה סולונואידי קיים [[פוטנציאל וקטורי (מתמטיקה)|פוטנציאל וקטורי]], ולכל שדה משמר קיים [[פוטנציאל סקלרי]], משפט הפירוק קובע שכל שדה המקיים את תנאי המשפט יכול להיות מוצג על ידי: <math>\mathbf{F}= -\nabla\phi + \nabla\times \mathbf{A}</math>. כאשר <math>\phi</math> הוא הפוטנציאל הסקלרי ו-<math>\mathbf{A}</math> הוא הפוטנציאל הווקטורי.

== ניסוח ==
יהי <math>\mathbf{F}</math> שדה וקטורי גזיר ברציפות פעמיים המוגדר בתחום <math>\mathbf{V}\subseteq\R^3</math> ויהי <math>\mathbf{S}</math> המשטח התוחם את <math>V</math>. אזי קיימים שדה סולונואידי <math>\mathbf{R}=\nabla\times\mathbf{A}</math> ושדה משמר <math>\mathbf{D}= -\nabla \phi</math>. כך ש-<math>\mathbf{F}= \mathbf{D} + \mathbf{R} = -\nabla\phi + \nabla\times \mathbf{A}</math>. כאשר מתקיים:

: <math>\phi(\mathbf{r})= \frac{1}{4\pi}\iiint_V \frac{\nabla'\cdot \mathbf{F}(\mathbf{r}')}{|\mathbf{r}-\mathbf{r}'|}d\mathbf{V}' -\frac{1}{4\pi}\oiint_S \hat{n}'\cdot \frac{\mathbf{F}(\mathbf{r}')}{|\mathbf{r}-\mathbf{r}'|}d\mathbf{S}' </math>

: <math>\mathbf{A}(\mathbf{r})= \frac{1}{4\pi}\iiint_V \frac{\nabla'\times \mathbf{F}(\mathbf{r}')}{|\mathbf{r}-\mathbf{r}'|}d\mathbf{V}' -\frac{1}{4\pi}\oiint_S \hat{n}'\times \frac{\mathbf{F}(\mathbf{r}')}{|\mathbf{r}-\mathbf{r}'|}d\mathbf{S}' </math>

כאשר <math>\nabla'</math> הוא אופרטור ה[[נבלה (סימן)|דל]] ביחס ל-<math>\mathbf{r}'</math>.

פירוקים אלו אינם ייחודיים מכיוון שאם <math>\phi, \mathbf{A}</math> מקיימים את הפירוק ו-<math>\Phi</math> הוא [[פונקציה הרמונית|שדה הרמוני]] (כלומר שדה המקיים: <math>\nabla^2\Phi = 0</math> כאשר <math>\nabla^2</math> הוא [[לפלסיאן]] וקטורי) אז מתקיים:

: <math>-\nabla (\phi+\nabla\Phi) + \nabla\times (\mathbf{A} + \nabla \times \Phi) = -\nabla \phi + \nabla\times \mathbf{A} - \nabla(\nabla\Phi) + \nabla\times(\nabla \times\Phi) = -\nabla \phi + \nabla\times \mathbf{A} - \nabla^2\Phi = \mathbf{F} </math>

אם <math>\mathbf{V}=\R^3</math>, ו-<math>\mathbf{F}</math> דועכת מהר יותר מ-<math>\frac{1}{r}</math> בגבול <math>\mathbf{r}\to\infty</math> אזי מתקיים:

: <math>\phi(\mathbf{r})= \frac{1}{4\pi}\iiint_V \frac{\nabla'\cdot \mathbf{F}(\mathbf{r'})}{|\mathbf{r}-\mathbf{r}'|}d\mathbf{V}' </math>

: <math>\mathbf{A}(\mathbf{r})= \frac{1}{4\pi}\iiint_V \frac{\nabla'\times \mathbf{F}(\mathbf{r'})}{|\mathbf{r}-\mathbf{r}'|}d\mathbf{V}' </math>

במקרה זה הפירוק המתקבל הוא הפירוק היחידי עבורו <math>\phi, \mathbf{A}</math> דועכים לאפס בגבול <math>\mathbf{r}\to\infty</math>.

== פיתוח ==
הפיתוח של פירוק הלמהולץ מסתמך על חישוב באמצעות [[פונקציית גרין]] של אופרטור הלפלסיאן:

: <math>\delta^3(\mathbf{r}-\mathbf{r}') = \nabla^2 \left( -\frac{1}{4\pi}\frac{1}{|\mathbf{r}-\mathbf{r}'| }\right)</math>

מתקיים:

: <math>\begin{align}
\mathbf{F}(\mathbf{r}) &= \int_V \mathbf{F}\left(\mathbf{r}'\right)\delta^3 (\mathbf{r}-\mathbf{r}')\mathrm{d}V'= \\
&=\int_V\mathbf{F}(\mathbf{r}')\left(-\frac{1}{4\pi}\nabla^2\frac{1}{\left|\mathbf{r}-\mathbf{r}'\right|}\right)\mathrm{d}V'= \\
&=-\frac{1}{4\pi}\nabla^2 \int_V \frac{\mathbf{F}(\mathbf{r}')}{\left|\mathbf{r}-\mathbf{r}'\right|}\mathrm{d}V' =_{\nabla^2\mathbf{V}=\nabla(\nabla\cdot\mathbf{V}) - \nabla\times(\nabla\times\mathbf{V})} \\
&=-\frac{1}{4\pi}\left[\nabla\left(\nabla\cdot\int_V\frac{\mathbf{F}(\mathbf{r}')}{\left|\mathbf{r}-\mathbf{r}'\right|}\mathrm{d}V'\right)-\nabla\times\left(\nabla\times\int_V\frac{\mathbf{F}(\mathbf{r}')}{\left|\mathbf{r}-\mathbf{r}'\right|}\mathrm{d}V'\right)\right]= \\
&= -\frac{1}{4\pi} \left[\nabla\left(\int_V\mathbf{F}(\mathbf{r}')\cdot\nabla\frac{1}{\left|\mathbf{r}-\mathbf{r}'\right|}\mathrm{d}V'\right)+\nabla\times\left(\int_V\mathbf{F}(\mathbf{r}')\times\nabla\frac{1}{\left|\mathbf{r}-\mathbf{r}'\right|}\mathrm{d}V'\right)\right] =_{\nabla\frac{1}{|\mathbf{r}-\mathbf{r}'| }= -\nabla'\frac{1}{|\mathbf{r}-\mathbf{r}'| }} \\
&=-\frac{1}{4\pi}\left[-\nabla\left(\int_V\mathbf{F}(\mathbf{r}')\cdot\nabla'\frac{1}{\left|\mathbf{r}-\mathbf{r}'\right|}\mathrm{d}V'\right)-\nabla\times\left(\int_V\mathbf{F} (\mathbf{r}')\times\nabla'\frac{1}{\left|\mathbf{r}-\mathbf{r}'\right|}\mathrm{d}V'\right)\right]
\end{align}</math>

כאשר הלפלסיאן בשורה השנייה הוא לפלסיאן סקלרי, ובשלישית הוא לפלסיאן וקטורי. כעת לפי הזהויות הווקטוריות:

: <math>\begin{align}
\mathbf{a}\cdot\nabla\psi &=-\psi(\nabla\cdot\mathbf{a})+\nabla\cdot (\psi\mathbf{a}) \\
\mathbf{a}\times\nabla\psi &=\psi(\nabla\times\mathbf{a})-\nabla \times (\psi\mathbf{a})
\end{align}
</math>

נקבל:

: <math>\begin{align}
\mathbf{F}(\mathbf{r})=-\frac{1}{4\pi}\bigg[
&-\nabla\left(-\int_{V}\frac{\nabla'\cdot\mathbf{F}\left(\mathbf{r}'\right)}{\left|\mathbf{r}-\mathbf{r}'\right|}\mathrm{d}V'+\int_{V}\nabla'\cdot\frac{\mathbf{F}\left(\mathbf{r}'\right)}{\left|\mathbf{r}-\mathbf{r}'\right|}\mathrm{d}V'\right)
\\&
-\nabla\times\left(\int_{V}\frac{\nabla'\times\mathbf{F}\left(\mathbf{r}'\right)}{\left|\mathbf{r}-\mathbf{r}'\right|}\mathrm{d}V'
- \int_{V}\nabla'\times\frac{\mathbf{F}\left(\mathbf{r}'\right)}{\left|\mathbf{r}-\mathbf{r}'\right|}\mathrm{d}V'\right)\bigg] = \\
-\frac{1}{4\pi}\bigg[&-\nabla\left(-\int_{V}\frac{\nabla'\cdot\mathbf{F}\left(\mathbf{r}'\right)}{\left|\mathbf{r}-\mathbf{r}'\right|}\mathrm{d}V'+\oint_{S}\hat{n}'\cdot\frac{\mathbf{F}\left(\mathbf{r}'\right)}{\left|\mathbf{r}-\mathbf{r}'\right|}\mathrm{d}S'\right)
\\&
-\nabla\times\left(\int_{V}\frac{\nabla'\times\mathbf{F}\left(\mathbf{r}'\right)}{\left|\mathbf{r}-\mathbf{r}'\right|}\mathrm{d}V'
- \oint_{S}\hat{n}'\times\frac{\mathbf{F}\left(\mathbf{r}'\right)}{\left|\mathbf{r}-\mathbf{r}'\right|}\mathrm{d}S'\right)\bigg]
\end{align}</math>

ולכן: <math>\mathbf{F}= -\nabla\phi + \nabla\times \mathbf{A}</math>. כאשר מתקיים:

: <math>\phi(\mathbf{r})= \frac{1}{4\pi}\int_V \frac{\nabla'\cdot \mathbf{F}(\mathbf{r}')}{|\mathbf{r}-\mathbf{r}'|}d\mathbf{V}' -\frac{1}{4\pi}\oint_S \hat{n}'\cdot \frac{\mathbf{F}(\mathbf{r}')}{|\mathbf{r}-\mathbf{r}'|}d\mathbf{S}' </math>
: <math>\mathbf{A}(\mathbf{r})= \frac{1}{4\pi}\int_V \frac{\nabla'\times \mathbf{F}(\mathbf{r}')}{|\mathbf{r}-\mathbf{r}'|}d\mathbf{V}' -\frac{1}{4\pi}\oint_S \hat{n}'\times \frac{\mathbf{F}(\mathbf{r}')}{|\mathbf{r}-\mathbf{r}'|}d\mathbf{S}' </math>

אם <math>V=\R^3</math> ו-<math>\mathbf{F}(\mathbf{r}') </math> האינטגרלים המשטחיים מתאפסים.

במקרה דו-ממדי ניתן להחליף את פונקציית גרין התלת-ממדית <math>G= \left( -\frac{1}{4\pi}\frac{1}{|\mathbf{r}-\mathbf{r}'| }\right)</math> בפונקציית גרין הדו-ממדית <math>G=\frac{1}{2\pi}\ln(|\mathbf{r}-\mathbf{r}'|)</math> ולקבל פיתוח דומה למקרה הדו-ממדי.

== לקריאה נוספת ==
<div class="mw-content-ltr">
* George B. Arfken and Hans J. Weber, ''Mathematical Methods for Physicists'', 4th edition, Academic Press: San Diego (1995) pp. 92–101
* Rutherford Aris, ''Vectors, tensors, and the basic equations of fluid mechanics'', Prentice-Hall (1962), OCLC 299650765, pp. 70–72
</div>

==קישורים חיצוניים==
* {{MathWorld}}

{{בקרת זהויות}}

[[קטגוריה:אנליזה וקטורית]]
[[קטגוריה:משפטים באנליזה]]