הצגת המקור של הדף "משפט הפירוק של ויירשטראס"

ב[[אנליזה מרוכבת]], '''משפט הפירוק לגורמים של ויירשטראס''' קובע כי כל [[פונקציה שלמה]] ניתן לייצג כמכפלה שמערבת את ה[[אפס (אנליזה מרוכבת)|אפס]]ים שלה. בנוסף, לכל סדרה השואפת לאינסוף ניתן לבנות פונקציה שלמה אשר האפסים שלה הם איברי הסדרה.

באופן רחב יותר, כל [[פונקציה מרומורפית]] אפשר לייצג כמכפלה המערבת את האפסים שלה, ה[[קוטב (אנליזה מרוכבת)|קטבים]] שלה ועוד [[פונקציה הולומורפית]] שונה מ-0 הקשורה אליה.

המשפט קרוי על שם [[קארל ויירשטראס]].

== מוטיבציה ==
מ[[המשפט היסודי של האלגברה]] נובע שכל [[פולינום]] ניתן להציג בצורה: <math>p(z)=a\prod_{i=1}^n(z-a_i)</math> כאשר <math>a_1,\ldots,a_n</math> הם האפסים של הפולינום. כמו כן, לכל סדרה סופית <math>a_1,\ldots,a_n</math> קיים פולינום שאלו אפסיו.

משפט הפירוק של ויירשטראס מכליל תוצאה זו לפונקציות שלמות כלליות ולסדרות אינסופיות של אפסים.

מכיוון שמכפלה אינסופית לא בהכרח [[התכנסות (מתמטיקה)|מתכנסת]], הרחבת המשפט היסודי של האלגברה באופן זה אינה מיידית. [[תנאי הכרחי]] להתכנסות של מכפלה אינסופית של מספרים הוא שערכם המוחלט ישאף ל-1. לכן, אם אנו רוצים ש-<math>\prod_n(z-a_n)</math> יתכנס, אנו רוצים פונקציה שערכה המוחלט יישאר ליד 1 כאשר היא מקבלת קלטים בסביבת השורשים שלה.

== הגורמים האלמנטרים ==
הגורמים האלמנטריים מוגדרים באופן הבא:
:<math>E_n(z) = \begin{cases} (1 -z) & \text{if }n=0, \\ (1-z)\exp \left( \frac{z^1}{1}+\frac{z^2}{2}+\cdots+\frac{z^n}{n} \right) & \text{otherwise}. \end{cases} </math>
לכל n טבעי.

חשיבותם מודגמת בלמה הבאה:
:<math>\vert 1 - E_n(z) \vert \leq \vert z \vert^{n+1}.</math>
עבור z עם [[ערך מוחלט]] קטן-שווה ל-1 ו-n טבעי.

==שתי הצורות של המשפט==
===קיומה של פונקציה שלמה עם סדרת אפסים נתונה===
תהי <math>\{a_n\}</math> סדרת [[מספר מרוכב|מספרים מרוכבים]] שונים מ-0 אשר שואפת לאינסוף.
אם <math>\{p_n\}</math> היא סדרת [[מספר טבעי|מספרים טבעיים]] כך שלכל r>0 מתקיים: : <math> \sum_{n=1}^\infty \left( r/|a_n|\right)^{1+p_n} < \infty,</math>
אז הפונקציה : <math>f(z) = \prod_{n=1}^\infty E_{p_n}(z/a_n)</math> היא שלמה עם אפסים בדיוק ב-<math>a_n</math>. 
אם אחד המספרים בסדרה <math>\{a_n\}</math> מופיע m פעמים אז הוא יהיה אפס מסדר m.
נשים לב כי סדרת הטבעיים תמיד קיימת (ניתן למשל לקחת פשוט את הסדה {n}) אך אינה יחידה ולכן הפונקציה הנ"ל אינה יחידה.

===משפט הפירוק של ויירשטראס===
תהי ''f'' פונקציה שלמה עם אפסים <math>\{a_n\}</math> (שונים מ-0) אשר חוזרים על עצמם בסדרה בהתאם לריבוי שלהם.
נניח גם שלפונקציה יש אפס ב-z=0 והוא מסדר m>0 כלשהו.
אז, יש פונקציה שלמה g וסדרה <math>\{p_n\}</math> של טבעיים כך ש:
: <math>f(z)=z^m e^{g(z)} \prod_{n=1}^\infty E_{p_n}\!\!\left(\frac{z}{a_n}\right).</math>{{הערה|שם=conway|{{citation|last=Conway|first=J. B.|title=Functions of One Complex Variable I, 2nd ed.|publisher=Springer|location=springer.com|year=1995|isbn=0-387-90328-3}}}}
====דוגמאות לפירוק לגורמים של פונקציות שלמות====
*  <math>\sin \pi z = \pi z \prod_{n\neq 0} \left(1-\frac{z}{n}\right)e^{z/n} = \pi z\prod_{n=1}^\infty \left(1-\frac{z^2}{n^2}\right)</math>
*  <math>\cos \pi z = \prod_{n\neq 0} \left(1-\frac{2z}{2n-1}\right)e^{2z/(2n-1)} = \prod_{n=1}^\infty \left( 1 - \frac{4z^2}{(2n-1)^2} \right) </math>

== ראו גם ==
* [[משפט מיטאג-לפלר]]

==קישורים חיצוניים==
* {{MathWorld}}

== הערות שוליים ==
{{הערות שוליים}}

[[קטגוריה:משפטים באנליזה מרוכבת]]