הצגת המקור של הדף "משפט הקטגוריה של בר"

'''משפט הקטגוריה של בר''' (Baire) הוא משפט מרכזי ב[[אנליזה פונקציונלית]] וב[[טופולוגיה קבוצתית]]. המשפט קובע כי כל [[מרחב מטרי שלם]] וכל [[מרחב רגולרי]] [[מרחב קומפקטי מקומית|קומפקטי מקומית]] הם [[מרחב בר (טופולוגיה)|מרחבי בר]].<ref>{{קישור כללי|כתובת=https://mathworld.wolfram.com/|הכותב=Eric W. Weisstein|כותרת=Baire Category Theorem|אתר=mathworld.wolfram.com|שפה=en|תאריך_וידוא=2023-08-29}}</ref>

המשפט מהווה בסיס מרכזי להוכחת משפטים חשובים אחרים, ביניהם [[משפט ההעתקה הפתוחה]], [[משפט הגרף הסגור]] ו[[משפט בנך-שטיינהאוס]]. המשפט מוכיח כי המרחבים <math>\mathbb{R}^n</math> הם מרחבי בר עם הטופולוגיה הסטנדרטית.

המשפט הוכח לראשונה בשנת [[1899]] על-ידי ה[[מתמטיקאי]] ה[[צרפתים|צרפתי]] [[רנה-לואי בר]].<ref>{{צ-ספר|שם=Sur les fonctions de variables réelles|קישור=https://books.google.com/books?id=cS4LAAAAYAAJ|מו"ל=Bernardoni de C. Rebeschini|שנת הוצאה=1899|מחבר=René Baire|שפה=fr}}</ref>

== מונחים בסיסיים ==
בהינתן [[מרחב טופולוגי]] <math>X</math> וטופולוגיה <math>\mathcal{T}</math>:
* קבוצה <math>N\subseteq X</math> תקרא [[קבוצה דלילה]] [[אם ורק אם]] לכל [[קבוצה פתוחה]] לא [[הקבוצה הריקה|ריקה]] <math>U\in \mathcal{T}</math> קיימת [[תת-קבוצה]] פתוחה לא ריקה <math>\mathcal{T}\ni V\subseteq U</math> כך ש-<math>N\cap V=\emptyset </math>. לחלופין, הפנים של הסגור של <math>N</math> ריק.
* קבוצה <math>A\subseteq X</math> תקרא [[קבוצה מקטגוריה ראשונה]] אם ורק אם היא יכולה להכתב כ[[איחוד (מתמטיקה)|איחוד]] [[קבוצה בת מנייה|בן מניה]] של קבוצות דלילות.
* המרחב <math>X</math> כולו ייקרא [[מרחב בר (טופולוגיה)|מרחב בר]] אם ורק אם לכל תת-קבוצה <math>A\subseteq X</math> מקטגוריה ראשונה יש [[פנים (טופולוגיה)|פנים]] ריק.

באופן כללי קבוצה מקטגוריה ראשונה אינה בהכרח דלילה. כך לדוגמה, [[שדה המספרים הרציונליים|המספרים הרציונליים]] הם קבוצה מקטגוריה ראשונה (כאיחוד בן מנייה של יחידונים, שהם דלילים), והפנים של הסגור שלהם הוא כל [[הישר הממשי]].

==ניסוח המשפט==
למשפט שני ניסוחים:

'''משפט בר הראשון:''' יהי <math>X</math> [[מרחב מטרי]] [[מרחב שלם|שלם]]. אזי, <math>X</math> הוא מרחב בר.

'''משפט בר השני: יהי <math>X</math>''' [[מרחב רגולרי]] [[מרחב קומפקטי מקומית|קומפקטי מקומית]]. אזי <math>X</math> הוא מרחב בר. הדבר נכון בפרט כאשר '''<math>X</math>''' הוא [[מרחב האוסדורף]] קומפקטי מקומית.

==תקציר הוכחת המשפט==
נתון מרחב טופולוגי <math>X</math> וטופולוגיה <math>\mathcal{T}</math> העונה לתנאים של אחד המשפטים לעיל. כמו כן, נתונה קבוצה מקטגוריה ראשונה <math>A\subseteq X</math>. כדי להוכיח ש-<math>X</math> הוא מרחב בר, יש להוכיח כי הפנים של <math>A</math> ריק. מספיק להוכיח כי לכל קבוצה פתוחה <math>U\in \mathcal{T}</math> קיימת נקודה שאינה ב-<math>A</math>, כלומר <math>U\cap A^\complement \neq \emptyset</math>.<ref>{{קישור כללי|כתובת=https://www.ucl.ac.uk/~ucahad0/3103_handout_7.pdf|הכותב=Alan Sokal|כותרת=THE BAIRE CATEGORY THEOREM AND ITS CONSEQUENCES|אתר=University College London|תאריך=2013|שפה=en}}</ref>

כיוון ש-<math>A</math> קבוצה מקטגוריה ראשונה, ניתן להגדיר <math>A=\bigcup A_n</math> כאשר <math>A_n</math> קבוצות דלילות. בונים [[סדרה (מתמטיקה)|סדרה]] של [[קבוצה קומפקטית|קבוצות קומפקטיות]] <math>\{B_n\}_{n=1}^\infty</math> כך שלכל <math>n\in\mathbb{N}</math>:
# <math>\operatorname{Int}(B_n)</math> (הפנים של <math>B_n</math>) לא ריק, ולכן גם <math>B_n</math> לא ריק.
# <math>B_n\subseteq U\cap A_n ^\complement </math>
# <math>B_{n+1}\subset\operatorname{Int}(B_n)</math>.

יש לשים לב כי בשתי גרסאות המשפט מובטח כי כל קבוצה קומפקטית היא [[קבוצה סגורה|סגורה]], לכן <math>B_n</math> קבוצות סגורות. כאשר מדובר במרחב מטרי, <math>B_n</math> נבנים בעזרת [[כדור (טופולוגיה)|כדורים סגורים]]. במקרה של מרחב טופולוגי קומפקטי מקומית, בונים את <math>B_n</math> על-ידי לקיחת [[סביבה (מתמטיקה)|סביבה]] קומפקטית לאיבר כלשהו מ-<math>B_{n-1}</math> העומדת בתנאים.

כעת מגדירים <math>B:=\bigcap_{n=1}^\infty{B_n}</math>. יש להוכיח כי <math>B</math> אינו ריק. מניחים בשלילה כי <math>B</math> קבוצה ריקה. לכן משפחת ה[[משלים (מתמטיקה)|משלימים]] <math>\{ B_n^\complement \}_{n=2}^\infty</math> היא כיסוי פתוח של <math>B_1</math>. בגלל הקומפקטיות של <math>B_1</math> קיים תת-כיסוי סופי. ניתן להסיק מכך כי קיים <math>n\ge 2</math> כך ש-<math>B_1\subseteq B_n^\complement</math>. מצד שני <math>\emptyset\ne B_n\subset B_1</math>, וזו סתירה.

מכיוון ש-<math>B</math> אינו ריק, קיים <math>x\in B</math>. לכל <math>n\in\mathbb{N}</math> מתקיים <math>x\in B\subseteq B_n\subseteq U\cap A_n^\complement</math>. לכן:

<math>x\in U\cap\bigcap_{n=1}^\infty{A_n^\complement}=U\cap\left(\bigcup_{n=1}^\infty{A_n}\right)^\complement=U\cap A^\complement</math>

משמע <math>U\cap A^c \neq \emptyset</math>, ובכך מוכיחים את המשפט. '''מ.ש.ל.'''

==מסקנות מן המשפט==
* במרחב [[רציפות|הפונקציות הרציפות]] עם [[מטריקה|מטריקת]] המקסימום, אוסף הפונקציות [[נגזרת|הגזירות]] בנקודה אחת לפחות הוא קבוצה מקטגוריה ראשונה. מכאן, [[כמעט כל#הכול פרט לקבוצה דלילה|כמעט כל]] הפונקציות הרציפות אינן גזירות אפילו בנקודה אחת. יש לשים לב שהמשפט אינו קונסטרוקטיבי, דהיינו, הוא אינו מראה כיצד בונים פונקציה כזו. דוגמה ראשונה ל[[פונקציית ויירשטראס|פונקציה רציפה שאינה גזירה באף נקודה]] ניתנה על ידי [[קארל ויירשטראס|ויירשטראס]] בשנת [[1872]].
* כאמור, ניתן להסיק ממשפט הקטגוריה של בר מספר משפטים חשובים באנליזה פונקציולית, ביניהם [[משפט ההעתקה הפתוחה]], [[משפט הגרף הסגור]] ו[[משפט בנך-שטיינהאוס]].
* קבוצת הנקודות ה[[מספר רציונלי|רציונליות]] על הישר הממשי אינה קבוצת <math>G_\delta</math> (קבוצה הניתנת להצגה כ[[חיתוך (מתמטיקה)|חיתוך]] בן מנייה של [[קבוצה פתוחה|קבוצות פתוחות]]).
* אין פונקציה שרציפה בכל נקודה רציונלית ואינה רציפה באף נקודה אי-רציונליות ([[פונקציית רימן]] מקיימת את המקרה ההפוך).
* [[סדרת פונקציות]] רציפות ש[[התכנסות נקודתית|מתכנסת נקודתית]] מתכנסת לפונקציה רציפה [[כמעט בכל מקום]] (אינה רציפה בקבוצה מקטגוריה ראשונה).

== הערות שוליים ==
{{הערות שוליים|יישור=שמאל}}
[[קטגוריה:משפטים בטופולוגיה|קטגוריה של בר]]
[[קטגוריה:משפטים באנליזה פונקציונלית|קטגוריה של בר]]