הצגת המקור של הדף "משפט הקיום והיחידות (משוואות דיפרנציאליות)"

ב[[מתמטיקה]], בחקר [[משוואה דיפרנציאלית|משוואות דיפרנציאליות]], '''משפט הקיום והיחידות''', הוא משפט חשוב על [[קיום ויחידות|הקיום והיחידות]] של פתרונות לסוג מסוים של [[בעיית התחלה|בעיות התחלה]].

המשפט נקרא גם '''משפט פיקאר-לינדלוף''' (Picard-Lindelöf), '''משפט הקיום של פיקאר''' או '''משפט קושי-ליפשיץ''' על שמם של המתמטיקאים: [[אמיל פיקאר]], [[ארנסט לינדלוף]], [[רודולף ליפשיץ]] ו[[אוגוסטן לואי קושי]].

==משפט הקיום והיחידות==

יהי <math>D</math> [[מלבן]] סגור המכיל את הנקודה <math>(t_0,y_0)</math>. תהי <math>f</math> [[פונקציה]] בשני משתנים, שהיא [[פונקציה חסומה|חסומה]] ו[[פונקציה רציפה (אנליזה)|רציפה]] ב-<math>D</math>, המקיימת שם את [[תנאי ליפשיץ]] ביחס למשתנה השני. אז קיימת פונקציה אחת ויחידה <math>y</math> המוגדרת בקטע פתוח סביב <math>t_0</math> וגזירה שם, הפותרת את המשוואה הדיפרנציאלית <math>y'(t) = f(t,y(t))</math> לכל <math>t</math> בקטע, ובנוסף מקיימת את '''תנאי ההתחלה''' <math>y(t_0) = y_0</math>.

==סקירת ההוכחה==
[[הוכחה]] פשוטה לקיום הפתרון היא על ידי קירוב ההולך ומשתפר (השיטה נקראת גם [[איטרציות פיקארד]]):

נגדיר

<math>\varphi_0(t)=y_0 \,\!</math>

וגם

<math>\varphi_i(t)=y_0+\int_{t_0}^{t}f(s,\varphi_{i-1}(s))\,ds</math>

אז ניתן להראות, באמצעות [[משפט נקודת השבת של בנך]], שהסדרה של <math>\varphi_i</math> (הנקראת [[איטרציה|איטרציות]] פיקארד) [[גבול (מתמטיקה)|מתכנסת]] [[גבול (מתמטיקה)|וגבולה]] הוא הפתרון לבעיה.

שימוש ב[[הלמה של גרינוול|למה של גרינוול]] (Grönwall) על <math>|\varphi(t)-\psi(t)|</math>, כאשר <math>\varphi</math> ו-<math>\displaystyle \psi</math> הם שני פתרונות, יראה ש-<math>\varphi(t)\equiv\psi(t)</math>, ולכן הפתרון הוא יחיד.

==לקריאה נוספת==
* M. E. Lindelöf, ''Sur l'application de la méthode des approximations successives aux équations différentielles ordinaires du premier ordre''; Comptes rendus hebdomadaires des séances de l'Académie des sciences. Vol. 114, 1894, pp. 454-457. או בגרסה מקוונת http://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k3074r/f454.table . (במאמר זה לינדלוף מראה הכללות לגישות קודמות בהן נקט פיקארד.)

==קישורים חיצוניים==
* [https://web.archive.org/web/20100616152308/http://www.krellinst.org/UCES/archive/classes/CNA/dir2.6/uces2.6.html נקודת שבת והאלגוריתם של פיקאר]
* [https://web.archive.org/web/20130926055011/http://math.fullerton.edu/mathews/n2003/picarditerationmod.html איטרציית פיקאר]
* [http://www.math.byu.edu/~grant/courses/m634/f99/lec4.pdf הוכחה למשפט פיקאר-לינדלוף]

[[קטגוריה:משוואות דיפרנציאליות|הקיום והיחידות]]
[[קטגוריה:משפטים באנליזה|הקיום והיחידות]]